项目编号：12011345
RLC串联电路暂态过程研究
【实验目的】
1． 观察RC串联电路的暂态波形。
2． 观察RL串联电路的暂态波形。
3． 研究RLC串联电路的电路参数与其暂态过程的关系。
4． 观察二阶电路过阻尼、临界阻尼和欠阻尼三种情况下的响应波形。利用响应波形，
计算二阶电路暂态过程的有关参数。
5． 掌握观察动态电路状态轨迹的方法
【实验仪器】
名 称 数量 型号
1．函数信号发生器 1台
2．示波器 1台
3．电阻 5只 10Ω×1、200Ω×1、1kΩ×1、2kΩ×1、10kΩ×1
4. 电容 2只 0.01μF×1 ，1μF×1
5. 电感 1只 10mH×1
6. 桥形跨接线和连接导线 若干
7. 实验用9孔方板 一块 
【实验原理】
暂态过程：
存在电感或电容的电路在接通或断开电源的短暂时间内，电路从一个稳定状态转变到另一个稳定状态，这个过程称为暂态过程。暂态过程一般很短，但出现在这过程中的某些现象却非常重要。例如，某些暂态过程中出现比稳态时大数倍及数十倍的电压或电流。因此暂态过程一方面有可能严重威胁电气设备和人身安全，另一方面在电子电路中也可以巧妙的应用。例如日光灯中的镇流器。因此，在物理学和工程技术中暂态过程的研究是很重要的。
1. 
RC串联电路的暂态过程
如图一所示的RC串联电路，当开关接通“1”充电时，电容两端电压逐渐增大到电源电压E时达到稳定。充电结束后，把开关接通“2”放电，电容两端电压逐渐减小到0时达到稳定。电路方程为：
图一 RC串联电路
充电过程
放电过程
注意到
，
，上式可写成
充电过程
放电过程 （1）
初始条件
充电开始时
放电开始时 （2）
解方程（1），并利用初始条件（2） 可得
充电过程
放电过程 （3）
令
，称为RC电路的时间常数，它反映RC电路暂态过程中电容电压和电阻电压变化的快慢。图二是RC暂态过程的波形图。
图二 RC暂态过程的波形
2. 
RL串联电路的暂态过程
如图三所示的RL串联电路，当开关接通“1”时，电路开始有电流，电流逐渐增大到最大值
时达到稳定。电流达到最大值后，把开关接通“2”，此时电流不能直接降到零，而逐渐消失。电路方程为：
图三 RL串联电路
电流增长过程
电流消失过程
注意到，
，上式可写成
电流增长过程
电流消失过程 （4）
初始条件为
电流开始增长时
电流开始消失时 （5）
解方程（4），并利用初始条件（5） 可得
电流增长过程
电流消失过程
电流增长过程
电流消失过程 （6）
令
，称为RL电路的时间常数。图四是RC暂态过程的波形图。
图四 RL暂态过程的波形
3. RLC串联电路的暂态过程
用二阶微分方程来描述的电路称为二阶方程。如图五所示的RLC串联电路就是典型的二阶电路。
放电过程：
开关K先合向“1”使电容充电至
，
时刻再把开关K合向“2”放电。在放电过程中的电路方程为：
图五 RLC串联电路
将 
，
，
代入上式得
（7）
上式（7）中：每一项均为电压，第一项是电感上的电压
，第二项是电阻上的电压
，第三项是电容上的电压
，即回路中的电压之和为零。各项都是电容上的电压的函数。这里是二阶方程。
初始条件为：
, （8）
（9）
上式（8）中，由于电容两端电压不能突变，因此电容上电压在开关接通前后瞬间都是相等的，都等于信号电压
。
上式（9）中，由于电感电流不能突变，因此
。而电容电压对时间的变化率等于电感上电流，因此也等于零。
充电过程：
开关K先合向“2”使电容放电完，时刻再把开关K合向“1”充电。在充电过程中的电路方程为：
（10）
同样初始条件为：
, （11）
（12）
放电过程(7-9)式或充电过程(10-12)式，在三个不同的条件下，有三种解。即，由R、L、C串联形成的二阶电路在选择了不同的参数以后，会产生三种不同的响应，即过尼状态，欠阻尼（衰减振荡）和临界阻尼三种情况。
令
，
，且
时，再令
，
且
时，再令
，
。 求解过程参考附录一.
（1） 当电路中的电阻过大了：R>2
时，即时，称为过阻尼状态。其解为：
放电过程： 
（其微分参考附录二）
充电过程： 
（13）
响应中的电压、电流呈现出非周期性变化的特点。其电压、电流波形如图-2（a）所示。
图六 过阻尼状态RLC串联电路电压、电流波形及其状态轨迹
从图六中可以看出，电流振荡不起来。图六（b）中所示的状态轨迹，就是伏安特性。电流由最大减小到零，没有反方向的电流和电压，是因为经过电阻，能量全部给电阻吸收了。
（2） 当电路中的电阻过小了：R<2时，即时，称为欠阻尼状态。其解为：
放电过程：
（其微分参考附录二）
充电过程： 
（14）
响应中的电压、电流具有衰减振荡的特点，此时衰减系数
。
是在
的情况下的振荡频率，称为无阻尼振荡电路的固有角频率。在
时，R、L、C串联电路的固有振荡角频率
将随的增加而下降。其电压、电流波形如图七（a）所示。
图七 欠阻尼状态RLC串联电路电压、电流波形及其状态轨迹
从图七（a）中可见，有反方向的电压和电流，这是因为电阻较小，当过零后，有反充电的现象。从图七（b）中可见，电压和电流间的状态轨迹。
（3） 当电路中的电阻适中：R=2时，即
时, 称为临界状态。其解为：
放电过程：
充电过程：
（15）
此时，衰减系数
，
，暂态过程界于非周期与振荡之间，其本质属于非周期暂态过程。其电压电流图形与图六相似。
【实验步骤】
注意：在实验中用信号发生器的方波来代替图一，三，五中的电源和开关K。
1． 参考图一，串联信号发生器，电阻
，电容
，信号发生器的信号为频率
，幅度
的方波。用示波器测出信号源电压
，电容两端电压，并画出和。
2． 参考图三，串联信号发生器，电阻
，电感
，信号发生器的信号为频率
，幅度的方波。用示波器测出信号源电压，电感两端电压，并画出和。
3． 将电阻，电容，电感串联成如图八所示的接线图，，改变电阻R，分别使电路工作在过阻尼，欠阻尼和衰减振荡状态，测量出输出波形。
图八 二阶电路实验接线图
并进行数据计算，求出衰减系数δ、振荡频率
，并用示波器测量其电容上电压的波形将波形及数据处理，结果填入下表-1。
表-1 
2． 测量不同参数下的衰减系数和波形
保证电路一直处于欠阻尼状态，取三个不同阻值的电阻，用示波器测量输出波形，并计算出衰减系数，将波形和数据填入表-2。
表-2
【研究与讨论】
1、R、L、C串联电路的暂态过程为什么会出现三种不同的工作状态？试从能量转换角度对其做出解释。
2、叙述二阶电路产生振荡的条件，振荡波形如何？
与电路参数R、L、C有何关系？
【参考资料】
1． 教材：大学物理实验，杨广武主编，天津大学出版社2009.
2． 王植恒. 大学物理实验. 北京：高等教育出版社，2008.
3． 王国东. 大学物理实验. 北京：高等教育出版社，2008.
4． 吕斯骅. 新编基础物理实验. 北京：高等教育出版社，2006.
5． 方利广. 大学物理实验. 上海：同济大学出版社，2006.
6． 何焰蓝. 大学物理实验. 北京：机械工业出版社，2010.
【附录一】
令，，且时，再令
，
或时，再令，
。
放电过程： (7)式简化成
（a）
, （b）
（c）
可设 
，并代入式（a）中整理得特征方程：
（d）
(1) 
时，(d) 式有两个实根
此时电容上的电压的一般解为
代入到初始条件（b-c）式，得：
； 
解得：
； 
；
由 
可得
；
； 
（e）
(其中符号两个同时取上面的，两个同时去下面的也可以)
（f）
（2）
时， (a) 式有两个虚根。
代入到初始条件，得：
；
解得：
；
（g）
（3）
时， (a) 式有重根。
此时
是一个解，令一解可用 
代入（a）式可得
代入到初始条件，得：
；
(h)
充电过程：令 
(10-12)式简化成
（i）
, （j）
（k）
则(h)和(a)式，(i)和(b)式，(j)和(c)式一样， 同样解得；
（4）时 ，
(l)
（5）时，
(m)
（6）时，
(n)
【附录二】
（7）电压为 
时
利用(e)的结果
（8）电压为 时，
