小船渡河问题
对于平面直角坐标系的建立及应用，在前面教学中多处地方都已经给学生提到，学生已经熟悉。所以说对于刚接触矢量学习不久的高一学生来说，利用平行四边形法则去求解相关问题，就不如利用平面直角坐标系直观、简单。下面我们就利用平面直角坐标系来解决船头不朝河对岸的小船渡河问题。从而让看似学生没有接触过的问题简化成学生已知的问题。
（1）小船船头朝向上游与河岸成
立平面坐标系，把速度夹角，如图8（甲）所示。沿着河岸和垂直河岸方向建分解到坐标轴上，如图8（乙）所示。经过标量计算后，小船在X轴上具有速度，在Y轴上具有速度。而小船的实际运动是以速度做匀速直线运动到达对岸O点。
注：
（2）小船船头朝向下游与河岸成夹角，如图9（甲）所示。同样的沿着河岸和垂直= 河岸方向建立平面坐标系，把速度
后，小船在X轴上具有速度
速直线运动到达对岸O点。
分解到坐标轴上，如图9（乙）所示。经过标量计算。而小船的实际运动是以做匀，在Y轴上具有速度
注：
总之，万变不离其宗，一切教学活动都应该从学生角度去考虑。让学生从现象去认识本质，又从本质去发现现象。
小船渡河
两种情况：①船速大于水速；②船速小于水速。
两种极值：①渡河最小位移；②渡河最短时间。
例1. 一条宽度为L的河，水流速度为v水，已知船在静水中速度为v船，那么：
（1）怎样渡河时间最短？
（2）若v船?v水，怎样渡河位移最小？
（3）若v船?v水，怎样渡河船漂下的距离最短？
解析：（1）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如图4所示。设船头斜向上游与河岸成任意角θ。这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为v1?v船sin?，渡河所需要的时间为t? LL?，可以看出：L、v船一定时，t随sinθ增大而减小；当??90?时，v1v船sin?
L。
v船sin??1（最大）。所以，船头与河岸垂直tmin?
图4
（2）如图5所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于L，必须使船的合速度v的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ，所以有v船cos??v水，即??v水
v船。
图5
因为0?cos??1，所以只有在v船?v水时，船才有可能垂直河岸渡河。
（3）若v船?v水，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？
如图6所示，设船头v船与河岸成θ角。合速度v与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据cos??v船
v水
图6 v船船头与河岸的夹角应为??，船沿河漂下的最短距离为：
v水
xmin?(v水?v船cos?)?L v船sin?
Lv水L ?cos?v船此时渡河的最短位移：s?
误区：不分条件，认为船位移最小一定是垂直到达对岸；将渡河时间最短与渡河位移最小对应。
练习
1.一小船以恒定的船速过河，当行至河中央时，水流速度突然变大，则小船渡河时间将（ ）
A增大 B减小 C不变 D不能确定
2．小船在静水中速度为3m/s，它在一条流速为4m/s，河宽为150m的河流中渡河，则（ ）
A 小船不可能垂直河岸到达对岸
B 小船渡河时间至少为30s
C 小船渡河时间至少为50s
D 小船若在50s内渡河，到达对岸时被冲下150m
3.已知船速V1大约水速V2，欲横渡河宽为L的河，下列说法正确的是（ ）
A 船头垂直河岸正对彼岸航行，渡河时间最短
B 船头垂直河岸正对彼岸航行，实际航程最短
C 船头朝上游转过一定角度，使实际航行垂直河岸，航程最短
D 船头朝上游转过一定角度，使实际航速增大，渡河时间最短
4.（2005祁东联考）小河宽为d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，v水?kx，k?4v0，x是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速d
度为v0，则下列说法中正确的是（ ）答案：A
A. 小船渡河的轨迹为曲线
B. 小船到达离河岸d处，船渡河的速度为v0 2
C. 小船渡河时的轨迹为直线
D. 小船到达离河岸3d/4处，船的渡河速度为v0
5.一艘小船在100m宽的河中横渡到对岸，已知水流速度为2m/s，小船在静水
中的速度是4m/s，求：
要使船以最短的时间渡到对岸，船头所指方向与河岸间的夹角为多大？船渡到对岸所需最短时间是多少？船发生的位移是多大？
要使船以最短的距离到对岸，船头所指方向与河岸间的夹角多大？船到对岸所需时间是多少？
6 、 河宽d=200m ，水流速度为v1=3m/s，船在静水中的速度是v2=4m/s，求： ⑵ 欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船经过的位移是多大？
⑵ 欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间多长？
第二篇：小船渡河的问题
小船渡河的问题
在高中物理教学中，往往遇到小船在水有一定流速的河中渡河的问题。这类问题一般有小船渡河的时间最小，位移最小，速度最小三种情况：
问题一：小船如何渡河时间最小，最小时间为多少？
分析及解答：设河宽为d，小船在静水中的速度为V船，水流速度为V水，如图1中的甲。将船对水的速度沿平行河岸方向和垂直河岸方向正交分解。沿平行河岸方向的速度不影响渡河的快慢，小船渡过河时时间与垂直河岸方向的速度有关，当小船垂直河岸渡过河时时间最小，即最小时间为tmin=d/V船。
[例题1]：河宽60m,小船在静水中的速度为4m/s,水流速度为3m/s。求小船渡河的最小时间是多少，小船实际渡河的位移为多大？
分析及解答：如图1中的乙，当小船垂直河岸渡过河时时间最小，即最小时间为tmin=d/V船。
∴tmin=d/V船=60/4=15(s)。
小船实际渡河的位移SAB=V合tmin=5*15=75(m).
问题二：小船如何渡河到达对岸的位移最小，最小位移是多少？
分析及解答：在小船渡河过程中，将船对水的速度沿平行河岸方向和垂直河岸方向正交分解，如图2中的甲。当小船沿平行河岸方向的分速度与水速大小相等，方向相反时，即V1=V水，小船的合速度（V2）就沿垂直河岸方向， 这时渡河到达对岸的位移最小，Smin=d。而渡河时间t=d/V2=d/Vsinθ。
[例题2]：河宽60m,小船在静水中的速度为5m/s,水流速度为3m/s。求小船渡河的最小位移是多少，小船实际渡河的时间为多大？
分析及解答：如图2 中的乙，当小船沿平行河岸方向的分速度V1=V水，小船要垂直河岸方向渡河，这时渡河到达对岸的位移最小，Smin=d=60(m)。而V船与河岸的夹角θ=arc cos(V船/V水)=530。这时小船实际渡河的时间t=d/V2=d/V船sinθ=60/4=15(s).
问题三：小船如何渡河速度最小，最小速度为多少？
分析及解答：将小船渡河运动看作水流的运动（水冲船的运动）和小船相对静水的运动（设水流不流动时船的运动）的合运动。如图3中的甲，要使小船沿直线从A运动到B，小船在静水中的最小速度为多少？根据运动的合成和平行四边形定则，当小船的速度垂直于AB直线时，船速最小，最小船 速为V船=V水sinθ，船速与水速方向的夹角为900+arc sin(V船/V水)。
[例题3]：如图3的乙，一条小船位于100m宽的河岸A点处，从这里向下游100√3米处有一危险区，若水流速度为4m/s，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少多大？
分析及解答：为了使小船避开危险区沿直线AB到达对岸，则小船的合速度方向沿直线AB。根据运动的合成和平行四边形定则，当小船的速度垂直于AB直线时，船速最小，最小船 速为V船=V水sinθ。由几何关系可知：tgθ=√3/3, θ=300。∴V船=4*sin300=2(m/s). 而船速与水速方向的夹角为900+arc sin(V船/V水)=1200。
方法解二：
运动的合成与分解专题中，有一个重要类型题“小船渡河”问题，这类题目主要研究“船怎样行驶，渡河时间、渡河位移最短”。教学实践中，我观察到许多学生是死记硬背记住结论，有时还混淆，怎样让学生利用运动的合成与分解规律理解渡河问题呢？我经过多届学生试验，摸索出一种浅显易懂的讲解方法。
例题：一条宽为d的河，水流速度为V1，船在静水中的速度为V2，那么
（1）怎样渡河时间最短，最短时间为多少？
（2）若V1＜V2，怎样渡河位移最小，最小位移为多少？
（3）若V1 ＞V2，怎样渡河位移最小，最小位移为多少？
（4）若V1 = V2，怎样渡河位移最小，最小位移为多少？
一、渡河时间最短问题
讲授之前，先复习合运动与分运动的关系，（等时性、独立性、等效性、运算法则为三角形定则），然后画图讲解，小船的运动方向可能有三种情况，一是沿河岸上游开船，如轨迹1、2、3，可能向河正对岸开船如轨迹4，可能向河岸下游开船如轨迹5、6、7，由于渡河时间t=S船/V船= S水/V水= S合/V合，而船渡河的分位移容易求，所以利用t=S船/V船计算简单，从船运动的分位移图中可知，当船头垂直正对岸开动时，船的分位移最短，渡河时间最短。
二、渡河位移最短问题
首先分析渡河位移，是指船的实际位移，即合位移。合位移的方向大致有三种，沿河岸上游、垂直河对岸、沿河岸下游，如图2，显然合位移为河宽时，渡河位移最短，而合位移方向即是合速度方向，假设水速方向向右，由三角形定则可知，船速方向应斜向上游某一角度θ，而且由几何关系知，船速只有大于水速时，合速度才可能指向正对岸，最短位移才可能为河宽。此时cosθ= V水/ V船,从而求出θ。
当水速大于船速时，由三角形定则可知，两个分速度应该首尾相接，合速度由第一个矢量的始端指向第二个矢量的末端，船速的可能方向如图3，就像以水速末端为圆心，以船速为半径画的圆一样，对应的合速度方向如图4，由合速度的方向即为合位移方向可知，合位移方向如图4虚线，显然从水速始端做圆的切线时，合位移为最短。此时船速与合速度垂直，船速方向仍应斜向上游某一角度θ，cosθ=V船 / V水，可求出θ，由几何关系可求最短位移Smin=d/ cosθ=d V水/ V船。
讲到这里，学生感觉好象船速大于水速与船速小于水速，求解最短位移的分析方法不同，我们应澄清这一错误认识。我们再按三角形定则，在水速的末端做出船速的可能方向，找出对应的合速度、合位移方向，如图5，由图可知，当船速方向斜向上游某一角度θ，可以使合速度方向恰好指向河正对岸，渡河位移最短。由此可见两种情况下的分析方法是完全一致的。只是当船速大于水速时，采用第一种方法略微简单而已。采用这种讲解方法，还可以轻松回答最棘手的问题-----船速等于水速时最短的渡河位移。仍按三角形定则做图6，由图可知，船速方向与河岸上游的夹角越小，渡河位移就越短，最极限的状态为船速方向刚好与水速方向相反，这时最短渡河位移为河宽。