九上第5章圆的知识集锦

一、          名词解释：

1.         弦——连接圆上任意两点的线段叫做弦。

2.         弧——圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

3.         半圆——圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

4.         等圆——能够完全重合的两个圆叫做等圆。

5.         等弧——在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

6.         圆心角——顶点在圆心的角叫做圆心角。

7.         圆周角——顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

8.外心——三角形外接圆的圆心，是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

8.    内心——三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。

9.    内切圆——与三角形各边相切的圆叫做三角形的内切圆。

10.切线——直线和圆只有一个公共点（直线和圆相切），这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点。

11.切线长——经边圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

12.圆心距——两个圆圆心的距离叫做圆心距。

13.中心——正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

14.扇形——由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。

15.母线——连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。

二、          定理

1.       垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

2.       圆心角、弦、弧定理：（三者是一组等量关系）

①   在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。

3.       圆周角定理：

l  在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

l  半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

4.       切线定理：

l         经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

l         圆的切线垂直于过切点的半径。

5.       切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点到圆心的连线平分两条切线的夹角。

三、          性质

1.          圆既是轴对称图形也是中心对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。圆心是对称中心。

2.          不在同一直线上的三个点确定一个圆。

3.          直角三角形三边为a、b、c，c为斜边，则外接圆的半径；

内切圆的半径

4.正n边形都是轴对称图形，有n条对称轴，，边数是偶数的正多边形也是中心对称图形。

5.两个圆组成的图形一定是轴对称图形，连心线是对称轴，相切两圆的连心线一定经过切点，相交两圆的连心线垂直平分公共弦。

四、          位置关系：

1.          点和圆的位置关系：d是点P到圆心的距离，r是圆的半径

点P在圆外  <=> d > r

点P在圆上  <=> d ＝ r

点P在圆内  <=> d < r

2.          直线与圆的位置关系：d是点P到直线L的距离，r是圆的半径

直线L和⊙O相交 <=> d ＜ r

直线L和⊙O相切 <=> d ＝ r

直线L和⊙O相离 <=> d ＞ r

3.          圆与圆的位置关系：d是两圆心的距离，r₁是大圆的半径，r₂是小圆的半径
外离    <=> d ＞ r₁ + r₂

内含  <=>   d ＜ r₁ - r₂                        （r1>r2）

外切    <=> d = r₁ + r₂    

内切    <=> d = r₁ - r₂                        （r1>r2）

相交    <=> r₁ - r₂ ＜ d ＜ r₁ + r₂   （r1≥r2）

五、          计算公式

1.          弧长公式：         

2.          扇形面积：                

3.          圆锥侧面积：    （l—母线长   r—圆锥底面圆半径）

（L—弧长   r—扇形半径）

4.          圆锥全面积：（侧面积+底面积）

5.          等边三角形的边长为则它的外接圆的半径是内切圆的半径为高为      面积为

6.          两边长为a,b第三边上的高是h的三角形外接圆的直径是

第二篇：九年级圆知识点

九年级数学下册第三章《圆》

一、车轮为什么做成圆形

知识点1 圆的定义

圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形，其中，定点成为圆心，定长称为半径。圆的表示：以O为圆心的圆，记作⊙O。

方法点拨：确定一个圆，只需两个条件：位置及大小，即只需确定圆心和半径。

知识点2 点与圆的位置关系

1、点在圆内 ? d?r ? 点C在圆内；

2、点在圆上 ? d?r ? 点B在圆上；

3、点在圆外 ? d?r ? 点A在圆外；

方法点拨：要确定一个点和圆的位置关系，只需计算该点与圆心的距离，再与半径的大

小作比较即可。

例 如图，在Rt△ABC中，直角边AB?3，BC?4，点E，F分别是BC，AC的

中点，以点A为圆心，AB的长为半径画圆，则点E在圆A的_________，点F在圆A的

_________．

二、圆的对称性

知识点 1圆的对称性

圆是轴对称性图形，其中对称轴是任意一条过圆心的直线；

圆是中心对称图形，其对称中心为圆心；

圆具有旋转不变性，一个圆围绕它的圆心旋转任意角度，都能与原来的图形重合。

方法点拨：圆有无数条对称轴，圆的对称轴是过圆心的每一条直线而不是圆的直径。

知识点 2与圆有关的概念

弦：连接圆上任意两点的线段；直径：经过圆心的弦；弧：圆上任意两点间的部分；同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆；等圆：圆心不同，直经相等的两个圆；等弧：在同圆或等圆中，能够重合的弧；圆心角：顶点在圆心的角

方法点拨：等弧的概念，一定要在同圆或等圆中，而不是弧长相等就行了。

知识点 3垂径定理及逆定理

垂径定理：垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直与弦，并且平分弦所对的弧。

“知一得三”：知道一条直径垂直弦则必平分弦，并且平分弦所对的优、劣弧；知道一条直径平分一条非直径的弦，则该直径垂直弦并且平分弦所对的优、劣弧；知道一条直径平分一条弦所对的优（或劣）弧，则这条直径垂直平分这条弦，并且平分弦所对的劣（或优）弧。

方法点拨：垂径定理涉及垂直关系，所以在求有关弦长，弦心距或半径时，通常是做出圆心到弦的垂线，构成直角三角形求解。

例 P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______． 知识点 4圆心角、弧、弦、弦心距之间的定理及推论

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。

三、圆心角和圆周角的关系

知识点 1圆周角的定义

顶点在圆上，两边分别与圆还有另外两个交点的角，叫做圆周角。

方法点拨：判断圆周角时两个特征：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边必须与圆相交；两者缺一不可。 知识点 2圆周角定理

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

方法点拨：在计算圆心角与圆周角时，巧用圆周角定理可以帮助我们实现二者的转化，运用定理的前提是“同一条弧”。

知识点 3圆周角定理的推论

推论一：同弧或等弧所对的圆周角相等:

推论二：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

方法点拨：当题目中有直径时，常利用直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形求解。

例1 如图，在半径为5cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，

则弦AB的长是（ ）

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm

例2、如图，A、B、C、D是⊙O上的三点，∠BAC=30°，

则∠BOC的大小是( )

A、60° B、45° C、30° D、15°

例3、MN是⊙O的直径，弦AB、CD?相交于MN?上的一点P，

∠APM=∠CPM．由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由． _N

四、确定圆的条件

知识点 1确定圆的条件

要确定一个圆，需要确定圆的圆心和半径。经过一点可以确定无数个圆；经过平面上两点可以确定无数个圆；不在同一条直线上的三点确定一个圆。

方法点拨：在确定圆心和半径时，常用到线段的垂直平分线定理及其逆定理。

知识点 2三角形的外接圆和外心

外接圆：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，而这个三角形称为这个圆的内接三角形。

注意：（1）三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等；（2）锐角三角形三边的中垂线的交点在三角形的内部，故锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形三边的中垂线的交点就是斜边的中点，故直角三角形的外心就是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。（p119随堂练习）

方法点拨：在求外接圆半径时，常与垂径定理，勾股定理联合使用。

五、直线和圆的位置关系

知识点 1直线与圆的位置关系

直线和圆的位置关系有三种

1、当直线和圆相交时，d＜r；反过来，当d＜r时，直线和圆相交。

2、当直线和圆相切时，d＝r；反过来，当d＝r时，直线和圆相切。

3、当直线和圆相离时，d＞r；反过来，当d＞r时，直线和圆相离。

直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线；

直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做圆的切线；

直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

知识点 2切线的性质定理和判断定理

切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径。

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。

注意：过圆上一点有且仅有一条切线。

切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直经的直线是圆的切线。

说明：圆的切线必须具备两个条件：①经过直径的一段；②垂直于这条直径。

方法点拨：在证明切线时，常过圆心作直线的垂线；或连接圆心和直线与圆的交点，证明垂直等，作辅助线时，表述要清楚。

知识点 3三角形的内切圆和内心

内切圆：和三角形的三边都相切的圆叫三角形的内切圆，这个三角形叫圆的外切三角形。

三角形的内心：三角形内切圆的圆心，即三角形三条角平分线的交点。

注意：（1）三角形的内心到三角形三边的距离相等；（2）过圆外一点可以作圆的两条切线，且圆外一点到两切点的距离相等。

方法点拨：三角形内切圆将三角形的三边分得3对相等的线段，由于内心又是三条角平分线的交点，从而可以利用角平分线的性质解题。

例1、 在

切？相交？相离？

例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=?∠A．

（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．

（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．

A

六、圆和圆的位置关系

知识点 1圆与圆的位置关系

两圆的位置关系分为五种：外离、外切、相交、内切、内含。

外离（图1）? 无交点 ? d?R?r；

外切（图2）? 有一个交点 ? d?R?r；

相交（图3）? 有两个交点 ? R?r?d?R?r；

内切（图4）? 有一个交点 ? d?R?r；

内含（图5）? 无交点 ? d

?R?r； 中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相

知识点 2两圆相切的位置

如果两圆相切（内切或外切），那么两圆的连心线（经过两圆圆心的直线）必经过切点，即两圆圆心、切点三点共线。

方法点拨：由于相切两圆的连心线经过切点，所以涉及两圆切点的问题时，作连心线是一种常用的添加辅助线的方法。

知识点 3相交两圆的性质

相交两圆的连心线垂直平分公共弦。

方法点拨：当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦，这样就产生了直角三角形，我们可以根据直角三角形的知识进行求解。

例1．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图所示（点O，O′是圆心）

，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．

（1） (2)

例2．如图所示，⊙O的半径为7cm，点A为⊙O外一点，OA=15cm，

求：（1）作⊙A与⊙O外切，并求⊙A的半径是多少？

(2）作⊙A与⊙O相内切，并求出此时⊙A的半径．

七、弧长及扇形的面积

知识点 1弧长公式 一个半径为R的圆，其圆周长为2πR，把整个圆整分成360个扇形，其中每个扇形的圆心角为1°，因此1°的圆心角所对的弧长是整个圆周的1/360,即12?R,故在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长计算公式为360

l?n?R 180

知识点 2扇形面积公式

S扇形?nn?R1?R2，弧长公式l?,所以S扇形?lR，这个公式类似于三角形的面积公式，R相当于三3601802

角形的高，l相当于三角形的底。

八、圆锥的侧面积

圆锥侧面展开图（1）S表?S侧?S底=?Rr??r2；（2）圆锥的体积：V?1?r3

例1．已知扇形的圆心角为120°，面积为300?cm2．

（1）求扇形的弧长；

（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？

例2．操作与证明：如图所示，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a．