数学：第五章《三角形》知识点总结（北师大版七年级下）

一、三角形及其有关概念 

    1、三角形：

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2.三角形的表示：

三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

3.三角形的三边关系：

（1）三角形的任意两边之和大于第三边。（2）三角形的任意两边之差小于第三边。

（3）作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

4.三角形的内角的关系：

（1）三角形三个内角和等于180°。

（2）直角三角形的两个锐角互余。

5、三角形的稳定性：

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

6.三角形的分类：

(1)三角形按边分类：

             不等边三角形  

 底和腰不相等的等腰三角形

         等腰三角形

                         等边三角形

(2)三角形按角分类：

         直角三角形（有一个角为直角的三角形）           

   斜三角形     锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）

     钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）

把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。

7.三角形的三种重要线段：

（1）三角形的角平分线：

定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

性质：三角形的三条角平分线交于一点。交点在三角形的内部。

（2）三角形的中线：

定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。

（3）三角形的高线：

定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的交点在它的直角顶点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；

8.三角形的面积：

三角形的面积=×底×高

二、全等图形：

定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

性质：全等图形的形状和大小都相同。

三、全等三角形      

 1、全等三角形及有关概念：

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

2、全等三角形的表示：

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。

注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、全等三角形的性质：

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

4、三角形全等的判定：

（1）边边边：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

（2）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

（3）角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）

（4）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）

直角三角形全等的判定：

对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

第二篇：最新北师大版数学七年级下册第一章 整式的乘除知识点总结及练习题

☆☆☆ 北师大版数学七年级【下册】

         第一章整式的乘除

一、同底数幂的乘法

同底数幂的乘法法则: (m,n都是正数)是幂的运算中最基本的法则,在应用法则运算时,要

注意以下几点:

①法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是

  一个单项或多项式；

②指数是1时，不要误以为没有指数；

③不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；

④当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为（其中m、n、p均为正数）；

⑤公式还可以逆用：（m、n均为正整数）

二．幂的乘方与积的乘方

1. 幂的乘方法则：(m,n都是正数)是幂的乘法法则为基础推导出来的,但两者不能混淆.

2. .

3. 底数有负号时,运算时要注意,底数是a与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，

如将（-a）³化成-a³

4．底数有时形式不同，但可以化成相同。

  5．要注意区别（ab）ⁿ与（a+b）ⁿ意义是不同的，不要误以为（a+b）ⁿ=aⁿ+bⁿ（a、b均不为零）。

  6．积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（n

     为正整数）。

7．幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

三. 同底数幂的除法

1. 同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,即 (a≠0,m、n都是正数,

  且m>n).

2. 在应用时需要注意以下几点:

①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.

②任何不等于0的数的0次幂等于1,即,如,(-2.5⁰=1),则0⁰无意义.

③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即( a≠0,p是正整数), 而0^-1,0^-3都是无意义的;当a>0时,a^-p的值一定是正的; 当a<0时,a^-p的值可能是正也可能是负的,如,

④运算要注意运算顺序.

四. 整式的乘法

1. 单项式乘法法则:单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：

①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。这时容易出现的错误的是，将系数相乘

  与指数相加混淆；

    ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；

    ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；

    ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；

    ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

2．单项式与多项式相乘

单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

单项式与多项式相乘时要注意以下几点：

①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；

③在混合运算时，要注意运算顺序。

3．多项式与多项式相乘

多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

多项式与多项式相乘时要注意以下几点：

①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多

  项式项数的积；

②多项式相乘的结果应注意合并同类项；

   ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式（mx+a）和（nx+b）相乘可以得到

五．平方差公式

1．平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即。

其结构特征是：

①公式左边是两个二项式相乘，两个二项式中第一项相同，第二项互为相反数；

②公式右边是两项的平方差，即相同项的平方与相反项的平方之差。

六．完全平方公式

1． 完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，

      即；

口决：首平方，尾平方，2倍乘积在中央；

2．结构特征：

①公式左边是二项式的完全平方；

②公式右边共有三项，是二项式中二项的平方和，再加上或减去这两项乘积的2倍。

3．在运用完全平方公式时，要注意公式右边中间项的符号，以及避免出现这样的错误。

七．整式的除法

1．单项式除法单项式

   单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式；

2．多项式除以单项式

   多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。

【典例讲解】

（一）填空题（每小题2分，共计20分）

1．x¹⁰＝（－x³）²·_________＝x¹²÷x^（　　）

  

2．4（m－n）³÷（n－m）²＝___________．

 

3．－x²·（－x）³·（－x）²＝__________．

     

4．（2a－b）（）＝b²－4a²．

     

5．（a－b）²＝（a＋b）²＋_____________．

     

6．（）^－2＋p⁰＝_________；4¹⁰¹×0.25⁹⁹＝__________．

      

7．20×19＝（　　）·（　　）＝___________．

  

8．用科学记数法表示－0.0000308＝___________．

　　  

9．（x－2y＋1）（x－2y－1）²＝（    ）²－（    ）²＝_______________．

　　  

10．若（x＋5）（x－7）＝x²＋mx＋n，则m＝__________，n＝________．

       

（二）选择题（每小题2分，共计16分）

11．下列计算中正确的是………………………………………………………………（　　）

  （A）aⁿ·a²＝a²ⁿ   （B）（a³）²＝a⁵   （C）x⁴·x³·x＝x⁷   （D）a^2n－3÷a^3－n＝a^3n－6

12．x^2m＋1可写作…………………………………………………………………………（　　）

  （A）（x²）^m＋1     （B）（x^m）^2＋1     （C）x·x^2m     （D）（x^m）^m＋1

13．下列运算正确的是………………………………………………………………（　　）

（A）（－2ab）·（－3ab）³＝－54a⁴b⁴

（B）5x²·（3x³）²＝15x¹²

（C）（－0.16）·（－10b²）³＝－b⁷

（D）（2×10ⁿ）（×10ⁿ）＝10²ⁿ

14．化简（aⁿb^m）ⁿ，结果正确的是………………………………………………………（　　）

（A）a²ⁿb^mn   （B）   （C）   （D） 

15．若a≠b，下列各式中不能成立的是………………………………………………（　　）

（A）（a＋b）²＝（－a－b）²       （B）（a＋b）（a－b）＝（b＋a）（b－a）

（C）（a－b）²ⁿ＝（b－a）²ⁿ         （D）（a－b）³＝（b－a）³              

16．下列各组数中，互为相反数的是…………………………………………………（　　）

（A）（－2）^－3与2³             （B）（－2）^－2与2^－2 

（C）－3³与（－）³        （D）（－3）^－3与（）³                              

17．下列各式中正确的是………………………………………………………………（　　）

（A）（a＋4）（a－4）＝a²－4       （B）（5x－1）（1－5x）＝25x²－1

（C）（－3x＋2）²＝4－12x＋9x²         （D）（x－3）（x－9）＝x²－27

18．如果x²－kx－ab＝（x－a）（x＋b），则k应为…………………………………（　　）

（A）a＋b   （B）a－b   （C）b－a   （D）－a－b           

（三）计算（每题4分，共24分）

19．（1）（－3xy²）³·（x³y）²； 

（2）4a²x²·（－a⁴x³y³）÷（－a⁵xy²）；

（3）（2a－3b）²（2a＋3b）²；

        （4）（2x＋5y）（2x－5y）（－4x²－25y²）；

（5）（20a^n－2bⁿ－14a^n－1b^n＋1＋8a²ⁿb）÷（－2a^n－3b）；

（6）（x－3）（2x＋1）－3（2x－1）²．

20．用简便方法计算：（每小题3分，共9分）

      （1）98²；              （2）899×901＋1；        （3）（）²⁰⁰²·（0.49）¹⁰⁰⁰． 

（四）解答题（每题6分，共24分）

21．已知a²＋6a＋b²－10b＋34＝0，求代数式（2a＋b）（3a－2b）＋4ab的值．

22．已知a＋b＝5，ab＝7，求，a²－ab＋b²的值．

23．已知（a＋b）²＝10，（a－b）²＝2，求a²＋b²，ab的值．

　　

24．已知a²＋b²＋c²＝ab＋bc＋ac，求证a＝b＝c．

　

（五）解方程组与不等式（25题3分，26题4分，共7分）

25．

　

26．（x＋1）（x²－x＋1）－x（x－1）²＜（2x－1）（x－3）．