行列式计算方法

1、 定义法：适用于0比较多的行列式．

2、 按行（列）展开 ─ 降阶．适用于某行（列）0较多的行列式.

3、 利用7条基本性质，化为三角形行列式

4、 其他方法

1）、析因子法

例：计算

解：由行列式定义知为的4次多项式．

又，当时，1，2行相同，有， 为D的根．

当时，3，4行相同，有， 为D的根．

故有4个一次因式，

设　

令，则，

即： 　  

2）、  ①、可转为箭形行列式的行列式：

箭形行列式：

箭形行列式解法：把所有的第列的倍加到第1列，得：

某些行列式（关于对角线对称的行列式）可转为箭形行列式计算，例如

         

方法：第2至第行分别减去第1行，转为箭形行列式，自己练习．

②、么型的行列式：

         

解法：第1列的加于第2列；第2列的加于第3列；……；第列的加于第n列，即可变为三角形行列式。

3）、行（列）和相等加于第1列（行）

 

 

  

4）、加边法

适用于除主对角线上元素外，各行对应的元素分别相同，化简可转为箭形行列式．加边法是计算复杂行列式的方法，应多加体会．

a）

b）  

解：a）

 

b）  

 

 

注意：

5）、三对角型行列式── 递推公式法

a） 

解：

即有　　 

于是有　　

同理有　 

即　　       

方法总结：先将行列式表示两个低阶同型的行列式的线形关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶）行列式的值求出的值）．

 解：

∴ 

且 

而　

 

由以上两式解得：    

6）拆项法（主对角线上、下元素相同）

 

解：

         

                     

继续下去，可得：

  

但      

所以：

注：也可以用加边法做 

b）  

解：

　 ①

又：　　　　　②

所以：

，得　．

7）、数学归纳法

a） 证明：   ()

证：当时，，结论成立．

假设时结论成立，即，则对于，将按最后一列拆开，得：

 

所以时结论成立，故原命题得证．

b） 证明：

证：  时，，结论成立．

时，，结论成立．

假设当、时结论成立，则当时，将按第行展开得：

由归纳假设，得：

 

于是时结论亦成立，原命题得证．

c）计算：

解：分析   ；；；……，于是猜想：

同c)方法用数学归纳法证明（自证）．

注：在这里，必须用这样的归纳法，用第二归纳法是不行的！

例如：用第二数学归纳法可以证明以下命题

“若满足，，，则”

但这是一个错误的命题！

    

8）有关范德蒙行列式

范德蒙行列式：

证明：  

于是：

               

即：           

a）

解：比较范德蒙行列式，缺少次幂行，所以应补之．于是考察阶范德蒙行列式

                           （1）

                      （2）

视文字，一方面，由（1）知是行列式中元素的余子式，即：

于是将按其第列展开可得中的系数为．

    另一方面，从的表达式（2）及根与系数的关系知，中的系数为：

∴   

∴   

b）

解：考虑级范德蒙行列式

                          （3）

                     （4）

一方面，由（3）知是行列式中元素的余子式，即

于是将按其第列展开，即知中的系数为

另一方面，由的表达式（4）知，的系数为

∴   

∴   

第二篇：行列式的计算方法总结

行列式的计算方法总结:

1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式.   

2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace定理).

几个特别的行列式:

,,其中分别是阶的方阵.

例子: ,

利用Laplace定理,按第行展开,除级子式外其余由第行所得的级子式均为零.

故,此为递推公式,应用可得

.

3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式.

例:  -----()

           --------(每一列提出相应的公因子)

   --------(将第列加到第一列)

.

其它的例子：特点是除了主对角线,其余位置上的元素各行或各列都相同.

,.

4. 逐行逐列相减法.行列式特点是每相邻两行(列)之间有许多元素相同.用逐行(列)相减可以化出零.

5. 升阶法(或加边法, 添加一行一列,利于计算,但同时保持行列式不变).

例子:

.

例子:

6. 利用范德蒙德行列式.

计算行列式:

解: 令: ,这是一个级范德蒙德行列式.

一方面,由范德蒙德行列式得.可看做是关于的一个次多项式.

另一方面,将按最后一列展开,可得一个关于的多项式,其中的系数与所求行列式的关系为.

由来计算的系数得:,

故有

其它的例子:

  ……每一行提公因子,

7.利用数学归纳法证明行列式.(对行列式的级数归纳)

证明当时,

证明时,将按第一行(或第一列)展开得,利用归纳假设可得.

8. 利用递推公式.

例子: 计算行列式

解: 按第一行展开得: ,将此式化为:

(1) 或 (2)

利用递推公式(1)得:

,即. (3)

利用递推公式(2)得:

,即. (4)

由(3)(4) 解得:

其它的例子

,按第一行展开可得

,此时令则,

变形为,此为递推公式.利用刚才的例子可求得结果.

这里即是方程的两个根.

9. 分拆法.将行列式的其中一行或者一列拆成两个数的和,将行列式分解成两个容易求的行列式的和.

例子:

: 除第一行外,其余各行加上第一行的倍,所得行列式按第一列展开,按第一列展开.

, 故,

由的对称性质,亦可得,这两个式子中削去,可得结论,

.

注: (1) 同一个行列式,可有多种计算方法.要利用行列式自身元素的特点,选择合适的计算方法.

   (2) 以上的各种方法并不是互相独立的,计算一个行列式时,有时需要综合运用以上方法,