选修2-2 2.3《数学归纳法（一）》教学设计

                太康县第二高级中学   郭伟峰 

一、教材分析

   数学归纳法是一种重要的数学证明方法，在高中数学内容中占有重要的地位，其中体现的数学思想方法对学生进一步学习数学、领悟数学思想至关重要。数学归纳法的证明过程中展现的推理和逻辑思维让学生体会到数学的严谨和规范。学习数学归纳法后学生对等差等比数列、数列求和、二项式定理、整除问题等问题的解决有了新的方法。首先，我们需要初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法，这是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法，这是促进思维从有限性发展到无限性的一个重要环节，掌握数学归纳法的证明过程是培养严密的推理能力、训练抽象思维能力、体验数学内在美的好素材。

二、教学目标

1．  知识目标

（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，初步理解数学归纳法原理。

（2）  能以递推思想为指导，理解数学归纳法证明数学命题的两个步骤一个结论。

（3）初步会用数学归纳法证明一些与正整数相关的简单的恒等式。

2．  能力目标

（1）通过对数学归纳法的学习，使学生初步掌握观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。

（2） 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想．

（3） 在学习中培养学生大胆猜想，小心求证的辨证思维素质以及发现问题、提出问题的意识和数学交流的能力。

3．  情感目标

（1）通过对数学归纳法原理的探究，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴含的数学思想和辨正唯物主义观点。

（2） 体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟数学的内在美，激发学生学习热情，使学生喜欢数学。

（3） 学生通过置疑与探究，初步形成正确的数学观，创新意识和严谨的科学精神。

三、教学重点与难点

1．教学重点

     借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数有关的简单恒等式，特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用。

2．教学难点

（1 如何理解数学归纳法证题的严密性和有效性。

（2）递推步骤中如何利用归纳假设，即如何利用假设证明当时结论正确。

四、教学方法

     本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出发。在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望。师生之间、学生之间共同探究多米诺骨牌倒下的原理，并类比多米诺骨牌倒下的原理，探究数学归纳法的原理、步骤；培养学生归纳、类比推理的能力，进而应用数学归纳法，证明一些与正整数有关的简单数学命题；提高学生的应用能力，分析问题、解决问题的能力。既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性。

五、教学过程

（一）创设情境，提出问题

情景一：明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子学写字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的．

情境二：平面内三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角和是，于是得出：凸边形内角和是。

   情境三：数列的通项公式为可以求得，，，于是猜想出数列的通项公式为。

情景四：粉笔盒中有10支白色粉笔，怎么证明它们是白色的呢？

结论：情景一二三是由殊事例得出的一般性结论，即不完全归纳法不一定正因此它不能作为一种论证方法，情景四是完全归纳法，结论可靠但要一一核对，不变操

提出问题：如何寻找一个科学有效的方法证明结论的正确性呢？我们本节课要学习的数学归纳法就是解决这一问题的方法之一

（二）实验演示，探索解决问题的方法

 1．几何画板演示动画多米诺骨牌游戏，师生共同探讨：要让这些骨牌全部倒下，必须具备哪些条件呢

①  第一块骨牌必须倒下。

②  两块连续的骨牌，当前一块倒下一定导致后一块倒下。

可以看出，条件②事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。

这样，只要第1块倒下，其他所有的就能够相继倒下。无论多少块，只要①②成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下。

演示小节：数学归纳法原理就如同多米诺骨牌一样。

2． 数学归纳法原理

（1）       当取第一个值（例如等）结论正确；

（2）       假设当时结论正确；

                   证明当时结论也正确。

那么命题对从开始的所有正整数n都正确。

步骤（1）是数学归纳法的基础，步骤（2）建立了递推过程，两者缺一不可，这就是数学归纳法。

（三）迁移应用，理解升华

例1用数学归纳法证明：如果{a_n}是一个等差数列，那么a_n=a₁+(n-1)d对于

一切n∈N*都成立。

证明: (1)当n=1时,左边=a₁,右边=a₁ +（1-1）d=a₁, 结论成立

(2)假设当n=k时结论成立， 即  a_k=a₁+(k-1)d

则 当n=k+1  a_k+1= a_k+d

                         = a₁+(k-1)d+d

                         = a₁+[(k+1)-1]d

∴当n=k+1时，结论也成立。

由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N都成立。

数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。。

主要有两个步骤、一个结论:其中第一步是递推的基础，解决了特殊性；第二步是递推的依据，解决了从有限到无限的过渡。这两步缺一不可。只有第一步，属不完全归纳法；只有第二步，假设就失去了基础。

例2：已知数列{a_n}，其通项公式为a_n=2n-1，试猜想该数列的前n项和公式S_n，并用数学归纳法证明你的结论。

解：（1）S₁=a₁=1           S₂= S₁+a₂=1+3=4

S₃= S₂+a₃=4+5=9    S₄= S₃+a₄=9+7=16

(2) 猜想S_n=n²,   问题转化为证明1+3+5+…+(2n-1)=n²

证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。

(2)假设当n=k时等式成立， 即   1+3+5+…+(2k-1)=k²

则 当n=k+1   1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]

                       =k²+[2(k+1)-1]

                       =(k+1)²

∴，当n=k+1时，等式也成立

由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N都成立

注：在用数学归纳法证题时注意以下三句话“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。”

（四）反馈练习，巩固提高

课堂练习：课本第95页练习1，2

（五）课堂小结：让学生归纳本节课所学内容，不足的老师补充。

1归纳法是一种由特殊到一般的推理方法

2数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推思想，证明程序为，两个步骤一个结论。

3数学归纳法的科学性：基础正确，可传递。用有限的步骤证明无限的结论。

（六）布置作业

课本第96页习题2.3A组1.2.

第二篇：数学：2.3《数学归纳法》教案(1)(新人教A版选修2-2)

§2.3 数学归纳法

一、教学目标

1．了解归纳法的意义，培养学生观察、归纳、发现的能力．

2．了解数学归纳法的原理，能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤．

3．抽象思维和概括能力进一步得到提高．

二、教学重点与难点

重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明

一些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。

难点：1、学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的

作用，不易根据归纳假设作出证明；

2、运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

三、教学过程

（一）创设情景

对于数列{an}，已知a1?1， an?1?1?(n=1,2,…), 通过对n=1,2,3,4前4项的n

n

归纳，猜想其通项公式为。这个猜想是否正确需要证明。

一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验证就很麻烦。特别是n可取所有正整数时逐一验证是不可能的。因此，我们需要寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立。

（二）研探新知

1、了解多米诺骨牌游戏。

可以看出，只要满足以下两条件，所有多米诺骨牌就都能倒下：

（1）第一块骨牌倒下；

（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。

思考：你认为条件（2）的作用是什么？

可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：

当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。

这样，要使所有的骨牌全部倒下，只要保证（1）（2）成立。

2、用多米诺骨牌原理解决数学问题。 an?1n

a思考：你认为证明数列的通过公式是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相

似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？

?n1n - 1 -

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0时命题成立；

（2）（归纳递推）假设n=k(k?n0,k?n)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成

立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。 上述证明方法叫做数学归纳法

注意：（1）这两步步骤缺一不可。

（2）用数学归纳法证明命题时，难点和关键都在第二步，而在这一步主要在于合理运用归纳假设，结合已知条件和其他数学知识，证明“当n=k+1时命题成立”。

（3）数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析。

4、例题讲解

例1 课本P94

例2 课本P94

例3．用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n－1)=n2。

证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立.

(2)假设当n=k时，等式成立，就是1+3+5+…+(2k－1)=k2，

那么

1+3+5+…+(2k－1)+［2(k+1)－1］=k2+［2(k+1)－1］=k2+2k+1=(k+1)2。

即当n=k+1时等式也成立。

根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N *都成立。

（三）课堂练习：

n(n?1)

1、用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=2。 ?2、课本P95练习1、2。

（四）小结 ：

数学归纳法的原理和步骤。

（五）布置作业：

课本P96习题A 1、（3）和2。

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