函数的概念及定义域、值域基本知识点总结

定义域

定义

对应法则值域

映射

函数

性质

奇偶性

对数的性质

单调性周期性

对数

反函数

互为反函数的函数图像关系

对数函数

对数函数的图像和性质

对数恒等式和不等式常用对数自然对数

区间

一元二次函数一元二次不等式

指数函数

根式分数指数

指数方程对数方程

指数函数的图像和性质

积、商、幂与根的对数

函数概念

1．映射的概念

设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为

f:A?B，f表示对应法则

注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。

2．函数的概念

(1)函数的定义：

设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y?f(x),x?A

(2)函数的定义域、值域

在函数y?f(x),x?A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y?f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)x?A称为函数y?f(x)的值域。

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 ??

3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；

（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；

(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析

考点1：映射的概念

例1．（1）A?R，B?{y|y?0}，f:x?y?|x|；

（2）A?{x|x?2,x?N*}，B??y|y?0,y?N?，f:x?y?x2?2x?2；

（3）A?{x|x?0}，B?{y|y?

R}，f:x?y?

上述三个对应是A到B的映射．

例2．若A?{1,2,3,4}，B?{a,b,c}，a,b,c?R，则A到B的映射有个，B到A的映射有个，A到B的函数有个

例3．设集合M?{?1,0,1}，N?{?2,?1,0,1,2}，如果从M到N的映射f满足条件：对M中的每个元素x与它在N中的象f(x)的和都为奇数，则映射f的个数是（ ）

(A)8个 (B)12个 (C)16个 (D)18个

考点2：判断两函数是否为同一个函数

例1．试判断以下各组函数是否表示同一函数？

（1）f(x)?

（2）f(x)?x2，g(x)?3x3； xx?0,?1，g(x)?? x?1x?0;?

（3）f(x)?2nx2n?1，g(x)?(2nx)

（4）f(x)?2n?1（n∈N）； *x

2x?1，g(x)?2x2?x； （5）f(x)?x?2x?1，g(t)?t?2t?1

考点3：求函数解析式

方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；

（2）若已知复合函数f[g(x)]的解析式，则可用换元法或配凑法；

（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)

题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式

2例1．已知二次函数f(x)满足f(2x?1)?4x?6x?5，求f(x)（三种方法）

1?x1?x2

)=例2．（09湖北改编）已知f(，则f(x)的解析式可取为 21?x1?x

题型2：求抽象函数解析式

1f(x)?2f()?3x，求f(x)f(x)例1．已知函数满足 x

函数的定义域

题型1：求有解析式的函数的定义域

（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。

例1.（08年湖北）函数f(x)?1ln(x2?3x?2??x2?3x?4)的定义域为( ) x

A.(??,?4)?[2,??);B.(?4,0)?(0,1)；C. [,?4,0)?(0,1];D. [,?4,0)?(0,1) 题型2：求复合函数和抽象函数的定义域

例1．（2007·湖北）设f?x??lg2?xx??2?，则f????f??的定义域为（ ） 2?x?2??x?

A. ??4,0???0,4?；B. ??4,?1???1,4?；C. ??2,?1???1,2?；D. ??4,?2???2,4? 例2．已知函数y?f(x)的定义域为[a，b]，求y?f(x?2)的定义域

例3．已知y?f(x?2)的定义域是[a，b]，求函数y?f(x)的定义域

例4．已知y?f(2x?1)的定义域是（-2，0），求y?f(2x?1)的定义域

考点5：求函数的值域

1． 求值域的几种常用方法

（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，

如求函数y??sinx?2cosx?4，可变为y??sinx?2cosx?4?(cosx?1)?2解决

（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，

2如函数y?log1(?x?2x?3)就是利用函数y?log1u和u??x?2x?3的值域来求。 2222

22

（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。

如求函数y?2x?13?3?[,] 的值域2x?2x?222

（4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。

（5）利用基本不等式求值域：如求函数y?3x的值域 2x?4

42（6）利用函数的单调性求求值域：如求函数y?2x?x?2(x?[?1,2])的值域

（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域

x?[?3,3]（8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数f(x)?2x?4x?40x，

的最小值。（－48） 32

m，（m>0）的函数，m<0就是单调函数了 x

4三种模型：（1）如y?x?，求（1）单调区间（2）x的范围[3,5]，求值域（3）x? [-1,0)x（9）对勾函数法 像y=x+

?(0,4],求值域

（2）如 y?x?4） 4求（1）[3,7]上的值域 （2）单调递增区间（x?0或x?x?4，

（3）如 y?2x?

1 ， （1）求[-1,1]上的值域 （2）求单调递增区间 x?3

第二篇：函数概念与基本初等函数高中数学知识点总结

函数概念与基本初等函数高中数学知识点总结

函数贯穿整个初中和高中阶段，不但是中考的重要内容，也是高考重要内容，所以参加高考的考生务必重视，酷课网精心为今年考生准备了本章的，希望能给考生带来意想不到的帮助。

一、命题热点

分析近几年的高考试题，可以发现函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，一般以选择题和填空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基本初等函数等，以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.其中函数与方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点。选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势。

20xx年高考热点主要有：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.

二、知识点总结

1．映射：注意: ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一或多对一.

2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；⑤换元法 ；

a?ba2?b2

⑥利用均值不等式 ab?； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；?22

⑧利用函数有界性（a、sin?、cos?等）；⑨平方法；⑩ 导数法

3．复合函数的有关问题:

（1）复合函数定义域求法：

① 若f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a ≤ g(x) ≤ b解出

② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域.

（2）复合函数单调性的判定：

①首先将原函数y?f[g(x)]分解为基本函数：内函数u?g(x)与外函数y?f(u)

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性.

4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

5．函数的奇偶性:

?函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 ．．．．

?f(x)是奇函数?f(?x)??f(x)；f(x)是偶函数?f(?x)?f(x).

?奇函数f(x)在0处有定义，则f(0)?0

?在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性

?若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性

6．函数的单调性:

?单调性的定义：

①f(x)在区间M上是增函数??x1,x2?M,当x1?x2时有f(x1)?f(x2)；

②f(x)在区间M上是减函数??x1,x2?M,当x1?x2时有f(x1)?f(x2)；

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?单调性的判定：①定义法：一般要将式子f(x1)?f(x2)化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法

注：证明单调性主要用定义法和导数法。

7．函数的周期性：

(1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有f?x?T??f?x? （其中T为非零常数），则称函数f(x)为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

（2）三角函数的周期：

①y?sinx:T?2?；②y?cosx:T?2? ；③y?tanx:T??；④y?Asin(?x??),y?cos(?x??):T?2?

；⑤y?tan?x:T?? ?

(3)与周期有关的结论：f(x?a)?f(x?a)或f(x?2a)?f(x)(a?0)?f(x)的周期为2a

8．基本初等函数的图像与性质：

?指数函数：y?ax(a?0,a?1)；?对数函数:y?logax(a?0,a?1)；

??幂函数：y?x （??R) ；?正弦函数:y?sinx；?余弦函数：y?cosx ；

2（6）正切函数：y?tanx；⑺一元二次函数：ax?bx?c?0（a≠0）；

⑻其它常用函数：正比例函数：y?kx(k?0)；反比例函数：y?

㈡.

?分数指数幂：am

nka(k?0)；③函数y?x?(a?0)xx ?a?m

n?1

am

n（以上a?0,m,n?N，且n?1）. ?

?.①ab?N?logaN?b； ②loga?MN??logaM?logaN； Mn?logaM?logaN； ④logambn?logab. Nm

logmNlogN?.对数的换底公式:logaN?.对数恒等式:aa?N. logma③loga

9．二次函数：

?解析式：①一般式：f(x)?ax?bx?c；②顶点式：f(x)?a(x?h)?k，(h,k)为顶点； ③零点式：f(x)?a(x?x1)(x?x2) （a≠0）.

?二次函数问题解决需考虑的因素：

①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。 22

?b4ac?b2b二次函数y?ax?bx?c的图象的对称轴方程是x??，顶点坐标是???2a4a?2a2四川特产 WWW.128TC.COM/LIST_24.HTML 输血反应 WWW.SHUXUEJISHU.COM 葡*京*娱*乐*场 PUJINGYULECHANG.ME???。 ?2

10．函数图象：

?图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法 ③导数法

?图象变换：

① 平移变换：ⅰ)y?f(x)?y?f(x?a)，(a?0)———左“+”右“－”；

ⅱ)y?f(x)?y?f(x)?k,(k?0) ———上“+”下“－”；

??y??f(?x)；ⅱ)y?f(x)???y??f(x)； ② 对称变换：ⅰ)y?f(x)??

?x?f(y)； ⅲ) y?f(x)???y?f(?x)； ⅳ)y?f(x)???

③ 翻折变换：

ⅰ)y?f(x)?y?f(|x|)———（去左翻右）y轴右不动，右向左翻（f(x)在y左侧图象去掉）； ⅱ)y?f(x)?y?|f(x)|———（留上翻下）x轴上不动，下向上翻（|f(x)|在x下面无图象）；

11．函数图象（曲线）对称性的证明：

(1)证明函数y?f(x)图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

（2）证明函数y?f(x)与y?g(x)图象的对称性，即证明y?f(x)图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在y?g(x)的图象上，反之亦然。

注：①曲线C1:f(x,y)=0关于原点（0,0）的对称曲线C2方程为：f(－x,－y)=0;

曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为：f(－x, y)=0;

曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为：f(x, －y)=0;

曲线C1:f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为：f(y, x)=0

②f(a+x)=f(b－x) （x∈R）?y=f(x)图像关于直线x=x?0y?x(0,0)y?0a?b对称； 2

特别地：f(a+x)=f(a－x) （x∈R）?y=f(x)图像关于直线x=a对称.

③y?f(x)的图象关于点(a,b)对称?f?a?x??f?a?x??2b.

特别地：y?f(x)的图象关于点(a,0)对称?f?a?x???f?a?x?.

④函数y?f(x?a)与函数y?f(a?x)的图象关于直线x?a对称;

函数y?f(a?x)与函数y?f(a?x)的图象关于直线x?0对称。

12．函数零点的求法：

?直接法（求f(x)?0的根）；?图象法；?二分法.

(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)·f(b)<0 , 则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。

由于本章是非常重要，所以酷课网对本章做了清晰的知识点总结和命题热点,希望考生抓住命题热点，认真看知识点总结，考出很好的成绩，进入理想的大学。 四川特产 WWW.128TC.COM/LIST_24.HTML 输血反应 WWW.SHUXUEJISHU.COM 葡*京*娱*乐*场 PUJINGYULECHANG.ME3