第１８讲　　平面向量与解析几何

在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。

一、知识整合

平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。

二、例题解析

例1、（20##年全国高考题）椭圆的焦点为FF，点P为其上的动点，当∠FP F为钝角时，点P横坐标的取值范围是___。

解：F₁（－,0）F₂（,0）,设P（3cos,2sin）

为钝角

∴  

     =9cos²－5＋4sin²=5 cos²－1<0

     解得：  ∴点P横坐标的取值范围是（）

点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。

例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P是圆(x-3)²+(y-4)²=4上的一动点，求的最大值和最小值。

分析：因为O为AB的中点，所以故可利用向量把问题转化为求向量的最值。

解：设已知圆的圆心为C，由已知可得：

又由中点公式得

所以

             =

             =

             =

又因为 点P在圆(x-3)²+(y-4)²=4上,                                 

所以  且                                                                

所以

即  故

所以的最大值为100，最小值为20。

点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。

例3、（20##年天津高考题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过△ABC的（  ）

（A）外心      （B）内心     （C）重心     （D）垂心

分析：因为同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知是与∠ABC的角平分线（射线）同向的一个向量，又，知P点的轨迹是∠ABC的角平分线，从而点P的轨迹一定通过△ABC的内心。

反思：根据本题的结论，我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤；

（1）   由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量；

（2）   求出角平分线的方向向量

（3）   由点斜式或点向式得出角平分线方程。{直线的点向式方程：过P（），其方向向量为，其方程为}

例4、（20##年天津）已知常数，向量，经过原点以为方向向量的直线与经过定点以为方向向量的直线相交于点，其中．试问：是否存在两个定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．

（本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力.）

解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.

∵，  ∴=（λ，a），=（1，－2λa）.

因此，直线OP和AP的方程分别为   和 .

消去参数λ，得点的坐标满足方程.

整理得  ……①       因为所以得：

（i）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

   （ii）当时，方程①表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点；

   （iii）当时，方程①也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点.

点评：本题以平面向量为载体，考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。去掉平面向量的背景，我们不难看到，本题即为下题：

在△OAP中，O（0，0）、A（0，a）为两个定点，另两边OP与AP的斜率分别是，求P的轨迹。

而课本上有一道习题（数学第二册（上）第96页练习题4）：

三角形ABC的两个顶点A、B的坐标分别是（-6，0）、（6，0），边AC、BC所在直线的斜率之积等于，求顶点C的轨迹方程。通过本例可见高考题目与课本的密切关系。

例5．（20##年天津卷理22）椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点F（c，0）（）的准线与x轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.

  （1）求椭圆的方程及离心率；

（2）若，求直线PQ的方程；

（3）设（），过点P且平行于准线的直线与椭圆相交于另一点M，证明.

分析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力.

（1）解：由题意，可设椭圆的方程为.

  由已知得解得

所以椭圆的方程为，离心率.

（2）解：由（1）可得A（3，0）.

设直线PQ的方程为.由方程组

       得

依题意，得.

设，则，   ① .    ②

由直线PQ的方程得.于是

.    ③

∵，∴.    ④

由①②③④得，从而.

所以直线PQ的方程为或

（2）证明：.由已知得方程组

  注意，解得

因，故

.

而，所以.

三、总结提炼

由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识。应充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性，在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题，逐步树立运用向量知识解题的意识。

第二篇：平面向量和解析几何专题复习探讨

平面向量和解析几何专题复习探讨

平面向量是高中数学新增内容，它具有代数形式和几何形式的双重身份，是数形结合的典范，能与中学数学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点。

解析几何是高中数学的重点内容，也是高考中的重头戏，而平面向量与解析几何交汇命题是近两年来新高考的一个亮点。

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二、考点分析

1．以平面向量为背景的解析几何命题趋势逐渐显现

回顾近几年来平面向量与解析几何交汇命题可以说经历了三个阶段：20xx年天津（21）题只是数学符号上的整合；20xx年新课程卷（20）题用平面向量的语言描述解析几何中元素的关系，可谓是知识点层面上的整合；20xx年有6份试卷，20xx年有10份试卷涉及平面向量与圆锥曲线交汇综合，考查方式上升到应用层面。由此可知，考查的综合程度、难度逐年加大。

2．试题设计理念——突出知识的交汇和融合

基于高考数学重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，平面向量与解析几何融合交汇的试题便应运而生，试题以解析几何为载体，以探讨直线和圆锥曲线的位置关系为切入点，以向量为工具，着重考查解析几何中的基本的数学思想方法和综合解题能力。近两年，这类试题情境新颖，结合点的选取恰到好处，命题手法日趋成熟。

如（20xx年新课程高考题）已知常数a＞0，向量 c =（0，a）, i=(1,0), 经过原点o以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a），以i-2λc 为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R，试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值，若存在，求出E、F的坐标，若不存在说明理由。

本题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判断曲线的性质。曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及综合解题能力，本题在20xx年高考平面向量试题的基础上又有新的突破和发展，它不再仅仅局限于平面向量的基本计算，它更需要对平面向量知识的深入理解和运用，是一道融合平面向量与解析几何的好题。

又如：湖南理（19）文（21）如图，过抛物线x2＝4y的对称轴上任一点P（0，m）（m＞0），作直线与抛物线交于A、B两点，点P是点Q关于原点的对称点。

（1）设P分AB的比为λ，证明： QP⊥（QA-λ QB ）。

（2）设直线AB的方程是x－2y＋12＝0，过A、B两点的圆与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。

本题尽管第（1）（2）问没有任何联系，且排列顺序值得商榷，但此题将直线和圆、抛物线、向量、线段定比分点等许多内容结合得天衣无缝，方程思想、函数思想、化归思想和数形结合思想贯穿于问题分析和解答的全过程，不失为一道综合考查学生理性思维的优美试题。

3．试题考查方向、题型及难度

由上述统计表便知，近两年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为：

（1）考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标运算、数量积及学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。

（2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。

（3）试题主要涉及：轨迹问题，范围问题、最值定值问题、证明问题、对称问题，试题有时也会是开放探究问题，是高考中的把关题或压轴题，能力要求高、难度大、得分率不高。如20xx年湖南该题理科平均得分2.81分，零分率约为34.43%，难度系数0.2.；文科该题平均得分0.82分，零分率约为60%，难度系数约为0.05。

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三、复习备考建议和策略

在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识结合的不多，很多学生在学习中会就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量解决解析几何问题，而新课程高考则突出了对向量与解析几何的结合考查，并且高考中这部分试题得分率低（湖南卷 理科平均分2.81分，文科0.82分）。这不得不引起我们高三数学教师的高度重视，这要求我们在平时相关部分的教学与复习中应抓住时机，采取措施，讲究策略，提高学生解答这部分试题的能力。

1．吃透考试说明、纵横梳理知识、系统整合

作为高三教师，对于高考“考什么”（知识、要求、能力要求）、“怎样考”（命题者的思路、近三年高考命题的规律和难度）应了如指掌，只有这样，才能对高考数学科的要求把握准确，复习到位，对于平面向量和解析几何专题的复习，应把握好三条线。

第一条线：向量的相关知识——向量的概念及几何表示，向量的加法和减法及几何意义、向量的数量积、向量的坐标运算、向量共线、向量垂直、线段定比分点、向量平移、平面两点间的距离公式。

第二条线：曲线方程、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质。

第三条线：向量和平面解析几何整合，以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的轨迹、范围、最值、定值、对称等典型问题。 如:OA⊥OB,O在以AB为直径的圆上，可以转化为OA?OB=0，将AB=λAC转化为坐标关系。

2．深刻领会新教材的理念和精神，渗透向量思想，培养学生向量意识

复习中以近几年相关内容的高考试题和教材中的例习题为载体，换一个思维角度（用向量方法）去解决这些问题，让学生去品味、去领悟向量的工具作用、逐渐形成应用向量的意识。

x2y2

?例1：（2000全国）椭圆 =1 的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当94

∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标的范围是____________

[分析]应用向量知识，把角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。

例2：已知一个圆的直径的端点是A（x1，y1），B（x2，y2），

求证：圆的方程是（x－x1）（x－x2）＋（y－y1）（y－y2）＝0（高二上P82/3）

[解析]在圆上任取一点P（x，y），则PA⊥ PB?PA?PB=0，容易推出上述方程。

3．专题探讨，形成能力

直线和圆锥曲线的综合问题是高考必考内容，通常以解答的形式出现，且题目有一定的广度和难度，因此复习备考时要把此作为重点内容，且要达到必要的深度，可以设计相关专题进行深入系统地探讨，提高学生解此题的能力。

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专题包括以下内容：

（1）利用向量知识处理共线、垂直、夹角问题。

（2）把向量作为工具去探讨直线和圆锥曲线的综合问题。

4．重视教学反思，帮助学生缩短悟的过程

在作业和教学测试中，我们常会发现这样的现象，虽然有些问题在教学中已反复强化，但学生的解答情况不尽人意，这时，我们责怪学生不用功或悟性差，一切将无济于事。只有冷静反思教学过程的科学性和合理性，反思该问题学生遇到的困难及原因再做出教学调整，才能得到预期的效果。

如在一次测试中有这样一道题，已知O为坐标原点，B（-1，0），C（1，0），点A、P、Q运动时，满足|OA-OB|=2|BC|, AP∥BP,PQ·AC=0, AQ=QC。

（1）求运点P的轨迹E；

（2）过点B作直线l动点P的轨迹E相交于M、N两点，且点B分向量MN的比为2：1，求直线l的方程。

测试结果：该题的得分率不到20%，而本题的绝对难度并不太，运算量也适中，那么，问题出在何处？从答卷来看，一部分学生不能从众多的数学符号和式子中理出个头绪来，无力解答此题，还有一部分学生过早地把向量符号坐标化，由于设“元”太多，而陷于复杂的运算，从而迷失了方向。找到了问题的症结，评讲时即可对症下药，通过师生对话，大家悟出了一个这样的道理：求解解析几何题首先要对几何图形的性质作全面细致的分析，如度量、位置及对称性等。对图形的把握越透彻，解题的目标就越清晰，运算量也就相应地得到控制，本题的叙述方式以向量语言为主，这就要求解答者先把这些信息转化为图形语言，再对几何图形作出整体的分析，然后通过坐标化思想求解。

另外，解题后一定要引导学生进行三思，一思解决“对”，二思解决“优”，三思解决“通”。帮助学生总结解题规律。解答平面解析几何综合题，其实还是有规可循的：

联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布定范围，曲线定义不能忘，引参用参巧解题。分析关系思路畅，数形结合思路明，设而不求方法好，结合向量运算简，选好选准突破口，一点破译全局活。学生掌握了这些规律并加以实践，解答这类综合题也就不畏难了。

四、20xx年平面向量和解析几何交汇命题趋势探讨

依据教育部关于20xx年普通高校招生工作新要求“开展高考自主命题的省市要积极探索考试内容改革，注重能力立意，加强对学生运用所学知识分的问题解决问题的综合素质考查”及考试说明，我们分析：今年的高考数学命题依然会坚持并强化“四考能力”（在基础中考能力，在综合中考能力，在运用中考能力，在新题型中考能力）。这“四考能力”围绕的中心就是考查数学思想方法，平面向量和解析几何都涉及坐标表示和坐标运算，坐标法可以将二者有机结合起来。同时平面向量和解析几何包含着丰富的数学思想方法。因而，20xx年高考数学命题必然会抓住这一契机，以期在新一年的高考命题改革中有更大的突破性。

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