常见二元一次方程组应用的归纳总结

二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下：

一、数字问题

例1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．

分析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：

解方程组，得，因此，所求的两位数是14．

点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于x的方程．一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之．

二、利润问题

例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？

分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0.9x元，获利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折时的卖出价为0.8x元，获利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.

解方程组，解得，

因此，此商品定价为200元．

点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价．利润的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价-进价；二是：利润=进价×利润率（盈利百分数）．特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念．

三、配套问题

例3　某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？

分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数×2=每天生产的螺母数×1．因此，设安排ｘ人生产螺栓，ｙ人生产螺母，则每天可生产螺栓25ｘ个，螺母20ｙ个，依题意，得

，解之，得．

故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母．

点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：

（1）“二合一”问题：如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么甲产品数的ｂ倍等于乙产品数的ａ倍，即；

（2）“三合一”问题：如果甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，那么各种产品数应满足的相等关系式是：．

四、行程问题

例4　在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？

【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，则

，整理，得，解得，

因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时．

点评：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：

“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；

“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离．

五、货运问题

典例5 某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？

分析：“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”．设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨，则

，整理，得，解得，

因此，甲、乙两重货物应各装150吨．

点评：由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度．化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等．

六、工程问题

例6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？

分析：设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，依题意，得

，解得.

点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间”．其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量．

常见列二元一次方程组解应用题的方法：（1）审题，弄清题意及题目中的数量关系；（2）设未知数，可直接设元，也可间接设元；（3）列出方程，根据题目中能表示全部含义的相等关系列出方程；（4）解所列方程；（5）检验解得正确性；（6）写出答案。

简记：（一审）、二设、三列、四解、（五验）、六答。

列二元一次方程组构建数学模型，把实际问题转化为数学问题，在这个思路中，分析实际问题中的数量关系是关键。

列方程组解应用题的常见题型：

（1）和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系式是：较大量=较小量+多余量；

总量=倍数倍量

（2）产品配套问题：解这类问题的基本等量关系式是：加工总量成正比

（3）航速问题：此类问题分水中航行和风中航行两类，基本关系式为：
     1、顺风（流）：航速=静水（无风）中的速度+水（风）速；

     2、逆风（流）：航速=静水（无风）中的速度-水（风）速

（4）速度问题：解这类问题的基本关系式是：路程=速度时间

（5）工程问题：解这类问题的基本关系式为：工作量=工作效率工作时间

   一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题。

（6）增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：

原量（1+增长率）=增长后的量；原量（1-减少率）=减少后的量

（7）盈亏问题：解这类问题的关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量。

（8）数字问题：解这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关的概念、特征及其表示。

（9）几何问题：解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等的计算公式

（10）年龄问题：解这类问题的关键是抓住两个人年龄的增长数相等。

第二篇：有关二元一次方程组的应用题

二元一次方程组应用题

                                        姓名：

1.上杭县某中学七年级学生外出进行社会实践活动，如果每辆车坐45人，那么有15个学生没车坐；如果每辆车坐60人，那么可以空出一辆车。问共有几辆车，几个学生？

2.福建欣欣电子有限公司向工商银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，每年需付出利息8.42万元．甲种贷款每年的利率是12％，乙种贷款每年的利率是13％，求这两种贷款的数额各是多少？

3.上杭教育服装厂要生产一批某种型号的学生服装，已知3米长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用600米长的这种布料生产，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套？共能生产多少套？

4．某商场按定价销售某种电器时，每台可获利48元，按定价的九折销售该电器6台与将定价降低30元销售该电器9台所获得的利润相等．求该电器每台的进价、定价各是多少元？

5．一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果1m³木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有10m³木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌．

6．甲、乙二人在上午8时，自A、B两地同时相向而行，上午10时相距36km，二人继续前行，到12时又相距36km，已知甲每小时比乙多走2km，求A，B两地的距离．

7．某中学组织学生春游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车每日每辆租金为220元，60座客车每日每辆租金为300元．试问：（1）春游学生共多少人？原计划租45座客车多少辆？（2）若租用同一种车，要使每位同学都有座位，怎样租车更合算？

11.武汉市江汉一桥维修工程中拟由甲、乙两个工程队共同完成某项目，从两个工程队的资料可以知

道：若两个工程队合做24天恰好完成；若两队工程队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成，请问：（1）甲、乙两个工程队单独完成该项目各需多少天？（2）已知甲工程队每天的施工费为0.6万元，乙工程队每天的施工费为0.35万元，要使该项目总的施工费不超过22万元，则乙工程队最少施工多少天？

12、王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元，其中种茄子每亩用去了1700元，获纯利2600元；种西红柿每亩用去了1800元，获纯利2600元，问王大伯一共获纯利多少元？

21、甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50﹪的利润定价，乙服装按40﹪的利润定价。在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？

25、三个同学去A、B两个超市调查去年和今年“五一节”期间的销售情况。A超市销售额今年比去年增加15%；B超市销售额今年比去年增加10%；两超市销售额去年共为150万元，今年共为170万元。根据以上信息，请你求出A、B两个超市今年“五一节” 期间的销售额.

26.同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。（1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？

（2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？

《一元一次不等式》提高测试

（一）填空题（每空2分，共28分）

1．在下列各题的横线上填入适当的不等号：

（1）若a－b＞0，则a______b；（2）若a－b＜0，则a______b；（3）若a＞b，c______0时，ac＜bc；   

 （4）若a＜b，c______0时，＜；（5）当a＞b，且a＞0，b＞0时，|a|_____|b|； （6）当a＜b，且a＜0，b＜0时，|a|_____|b|．

2．若＞1，则a，b应满足的条件是______． 3．若| x |＜1，则x的取值范围是_________．

4．若|2a＋1|＞2a＋1，则a的取值范围是________．  5．当a_____时，关于x的方程5－a＝3 x＋2的解为负数．  6．若|x－3|＋（2 x＋y－k）²＝0中y为正数，则k________． 7．若a＜－2，则关于x的不等式2 x＞9－ax的解集是_________．   8．若a＜0，则不等式的解集是_______．     9．已知关于x的不等式（3a－2）x＋2＜3的解集是x＞－，则a＝______．

（二）选择题（每小题3分，共24分）

10．已知a＜b，下列各不等式中对任意有理数c都能成立的是…………………（    ）

（A）ac＜bc    （B）ac＞bc    （C）a· | c |＜b· | c |    （D）a－c＜b－c

11．若a＞2，则下列各式中一定正确的是…………………………………………（    ）

（A）a－5＜－3    （B）ab²＞2b²    （C）－10a＜－20    （D）1－a＞3

12．若a＜b＜0，那么下列不等式中一定成立的是………………………………（    ）

（A）＜    （B）ab＜1    （C）＜1    （D）＞1

13．已知不等式组的解集为x＞2，则……………………………（    ）

（A）a＜2    （B）a＝2   （C）a＞2     （D）a≤2

14．不等式组的整数解中最大、最小两数分别为…………………（    ）

（A）0，－1    （B）0，1    （C）0，－2     （D）1，－1

15．如果a＜0，ab＜0，则|b－a＋4|－|a－b－6|化简的结果为……………………（    ）

（A）2    （B）－10    （C）－2    （D）2b－2a－2

16．若不等式组与不等式组解集相同，则…………………（    ）

    （A）a＝，b＝－（B）a＝－，b＝3（C）a＝，b＝－3（D）a＝－3，b＝

17．若方程组的解是正数，那么…………………………………（    ）

（A）a＞3   （B）－5＜a＜3    （C）－3＜a＜6    （D）a≥6

（三）解下列不等式（组）（每小题5分，共20分）

18．x－4（1－x）＜32（x－2）．          19．0≤≤1．

20．                  21．

（四）解答题（每小题7分，共28分）

22．求同时满足2 x＋3≥3（x＋2）与＞的整数x．

23．已知方程组的解为负数，求k的取值范围．

24．已知a是不等式组的整数解，x、y满足方程组，

求代数式（x＋y）（x²－xy＋y²）的值．

25．一批服装，进价是每套320元，进货过程中损耗2%，要使出售后赢利不低于15%，应怎样定价？

答案

1．解：设有x辆车，y个学生，则

      解得

答：有5辆车，240个学生。

2．解；设甲种贷款x万元，乙种贷款y万元，则

     解得

答:甲种贷款42万元，乙种贷款26万元.

3.设用x米布料生产上衣，y米布料生产裤子才能配套，则

   解得 

答：用360米生产上衣，240米生产裤子才能配套，共能生产240套。

4．解：设该电器每台的进价为x元，定价为y元．

由题意得．

答：该电器每台的进价是162元，定价是210元．

解析：打九折是按定价的90%销售，利润=售价－进价．

5．解：设用xm³木料做桌面，ym³木料做桌腿．由题意，得

（2）6×50=300（张）．答：用6m³木料做桌面，4m³木料做桌腿恰好能配成方桌，能配成300张方桌．解析：问题中有两个条件：

①做桌面用的木料+做桌腿用的木料=10；②4×桌面个数=桌腿个数．

6．解：设A、B两地相距xkm，乙每小时走ykm，则甲每小时走（y+2）km．

根据题意，得．答：略．

7．解：（1）设参加春游的学生共x人，原计划租用45座客车y辆．

根据题意，得 ．

答：春游学生共240人，原计划租45座客车5辆．

（2）租45座客车：240÷45≈5.3，所以需租6辆，租金为220×6=1320（元）；租60座客车：240÷60=4，所以需租4辆，租金为300×4=1200（元）．

所以租用4辆60座客车更合算．

解析：租车时最后一辆不管几个人都要用一辆，所以在计算车的辆数时用“收尾法”，而不是“四舍五入”．

11．（1）解：设甲独做x天完成，乙独做y完成．

符合题意．

（2）设甲施工a天，乙施工b天．，

解之得b≥40，即乙最少施工40天 

12.解:

21. 解：设甲服装的成本是x元，乙服装的成本是y元，

依题意得。解得x=300，y=200

答：甲、乙两件服装的成本分别为300元、200元

25.解: 设去年A超市销售额为x万元，B 超市销售额为y万元，

由题意得

解得

100（1+15%）=115（万元），50（1+10%）=55（万元）.

答：A，B两个超市今年“五一节” 期间的销售额分别为115万元，

26.    

    解法二：设书包的单价为x元，随身听的单价为y元

    根据题意，得           

    解这个方程组，得

    答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元。      

    （2）在超市A购买随身听与书包各一件需花费现金：

    （元）

    因为，所以可以选择超市A购买。          

    在超市B可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金：

    （元）

    因为，所以也可以选择在超市B购买。

    因为，所以在超市A购买更省钱。  

一元一次不等式参考答案

（一）填空题1．【答案】（1）＞； （2）＜； （3）＜； （4）＞； （5）＞； （6）＜．

2．【答案】a＞b＞0或a＜b＜0．

3．【提示】由| x |＜1知：．         【答案】－1＜x＜1．

4．【提示】根据绝对值的意义，得2a＋1＜0． 【答案】a＜－．

5．【提示】方程的解为x＝．         【答案】a＞3．

6．【提示】由已知，得x＝3，2 x＋y－k＝0，所以y＝k－6＞0．  【答案】k＞6．

7．【提示】不等式变形为（a＋2）x＞9．     【答案】x＜．

8．【提示】因为＞，且a＜0，所以＜．  【答案】x＜．

9．【提示】整理不等式得（3a－2）x＜1，因为其解集是x＞－，只有3a－2＜0才能改变不等号方向，所以 3a－2＝－4．【答案】a＝－．

（二）选择题（每小题3分，共24分）

10．【答案】D．11．【答案】C．12．【答案】D．

13．【提示】解得知a必须不大于2．【答案】D．

14．【提示】解得－1＜x≤1，最大、最小整数应分别是1、0．【答案】B．

15．【提示】由a＜0，ab＜0，得b＞0，∴  b－a＋4＞0，a－b－6＜0，

∴  原式＝（b－a＋4）－（6＋b－a）＝－2．【答案】C．

16．【提示】解得不等式组的解集与比较，可知a＝－，b＝3．【答案】B．

17．【提示】解得  由    知－3＜a＜6．【答案】C．

（三）解下列不等式（组）（每小题5分，共20分）

18．【提示】经整理，得0?x＞180．       【答案】无解．

19．【提示】即解  ．          【答案】－1≤x≤．

20．【答案】＜x＜．   21．【答案】3＜x≤4．

（四）解答题（每小题7分，共28分）

22．【提示】解  得，－4＜x≤－3．【答案】x＝－3．

23．【提示】解方程组，得 所以  【答案】m＜－8．

    24．【提示】（1）先解不等式组求得整数a：2＜a＜4，∴ 　a＝3．

（2）把a的值代入方程组，求得（3）将求得的x、y值代入所求代数式．【答案】7．

25．【答案】（略解）设每套服装定价为x元，根据题意，得≥． x≥374.4．