《数学物理方程》模拟试题
一、填空题（3分
10=30分）
1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）.
2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） .
3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） .
4.边界条件 
是第（ ）类边界条件，其中
为边界.
5.设函数
的傅立叶变换式为
，则方程
的傅立叶变换为 （ ） .
6.由贝塞尔函数的递推公式有 
（ ） .
7.根据勒让德多项式的表达式有
= （ ）.
8.计算积分 
（ ） .
9.勒让德多项式
的微分表达式为（ ） .
10.二维拉普拉斯方程的基本解是（ ） .
二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：
1.
2.
3. 
三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）
四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）：
五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）：
六、在半径为1的球内求调和函数
，使它在球面上满足
，即所提问题归结为以下定解问题（10分）:
(本题的只与
有关，与
无关)
《数学物理方程》模拟试题参考答案
一、填空题：
1.初始条件，边值条件，定解条件.
2. 
3.
.
4. 三.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
二、试用分离变量法求以下定解问题
1.解 令
，代入原方程中得到两个常微分方程：
，
，由边界条件得到
，对
的情况讨论，只有当
时才有非零解，令
，得到
为特征值，特征函数
，再解
，得到
，于是
再由初始条件得到
，所以原定解问题的解为
2.解令，代入原方程中得到两个常微分方程：
，，由边界条件得到
，对的情况讨论，只有当时才有非零解，令，得到
为特征值，特征函数
，再解，得到
，于是
再由初始条件得到
，所以原定解问题的解为
3.解 由于边界条件和自由项均与t无关，令
，代入原方程中，将方程与边界条件同时齐次化。因此
，再由边界条件有
，于是
，
.再求定解问题
用分离变量法求以上定解问题的解为
故
三.解：
令，代入原方程中，将方程齐次化，因此
，再求定解问题
由达朗贝尔公式得到以上问题的解为
故
四.解 ：
对y取拉普拉斯变换
，对方程和边界条件同时对y取拉普拉斯变换得到
，解这个微分方程得到
，再取拉普拉斯逆变换有
所以原问题的解为.
五.证明：
由公式
有
，令
有
，所以
，又
，所以
.
六．解：
由分离变量法，令
，得到
，由边界条件有
，令
，
，
，
，故
第二篇：数学物理方程与特殊函数-模拟试题及参考答案
成都理工大学
《数学物理方程》模拟试题
一、填空题（3分
10=30分）
1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）.
2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） .
3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） .
4.边界条件 
是第（ ）类边界条件，其中
为边界.
5.设函数
的傅立叶变换式为
，则方程
的傅立叶变换为 （ ） .
6.由贝塞尔函数的递推公式有 
（ ） .
7.根据勒让德多项式的表达式有
= （ ）.
8.计算积分 
（ ） .
9.勒让德多项式
的微分表达式为（ ） .
10.二维拉普拉斯方程的基本解是（ ） .
二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：
1.
2.
3. 
三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分）
四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）：
五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）：
六、在半径为1的球内求调和函数
，使它在球面上满足
，即所提问题归结为以下定解问题（10分）:
(本题的只与
有关，与
无关)
《数学物理方程》模拟试题参考答案
一、填空题：
1.初始条件，边值条件，定解条件.
2. 
3.
.
4. 三.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
二、试用分离变量法求以下定解问题
1.解 令
，代入原方程中得到两个常微分方程：
，
，由边界条件得到
，对
的情况讨论，只有当
时才有非零解，令
，得到
为特征值，特征函数
，再解
，得到
，于是
再由初始条件得到
，所以原定解问题的解为
2.解令，代入原方程中得到两个常微分方程：
，，由边界条件得到
，对的情况讨论，只有当时才有非零解，令，得到
为特征值，特征函数
，再解，得到
，于是
再由初始条件得到
，所以原定解问题的解为
3.解 由于边界条件和自由项均与t无关，令
，代入原方程中，将方程与边界条件同时齐次化。因此
，再由边界条件有
，于是
，
.再求定解问题
用分离变量法求以上定解问题的解为
故
三.解：
令，代入原方程中，将方程齐次化，因此
，再求定解问题
由达朗贝尔公式得到以上问题的解为
故
四.解 ：
对y取拉普拉斯变换
，对方程和边界条件同时对y取拉普拉斯变换得到
，解这个微分方程得到
，再取拉普拉斯逆变换有
所以原问题的解为.
五.证明：
由公式
有
，令
有
，所以
，又
，所以
.
六．解：
由分离变量法，令
，得到
，由边界条件有
，令
，
，
，
，故