数学物理方程与特殊函数第二、三章作业

时间：2024.4.13

习题 2.1

4. 一根长为L、截面面积为1的均匀细杆，其x=0端固定，以槌水平击其x=L端，使之获得冲量I。试写出定解问题。

解：由题意可知定解问题为：

2?u?(Y/? )u?auxxttxx??, uxx?0?0 ?ux?0?0

?, utt?0?0 , (0?x?L??) , ut??ut?0?0 t?0?I/(?? ) , (L???x?L)

习题 2.2

3. 设物体表面的绝对温度为u，它向外辐射出去的热量，按斯特凡—玻尔兹曼定律正比于u4，即dQ=k u4dSdt，设物体与周围介质之间，只有热辐射而无热传

(x,y,z,t) 导，周围介质的绝对温度为已知函数? 。试写出边界条件。

解：由题意可知：

?k?udsdt??(u4??4)dsdt ?n

∴边界条件为： ?u

?ns???

k(u4??4)

习题 2.3

4. 由静电场Gauss定理??E?dS?

S1?0????dV，求证：▽?E?V?，并由此导出静?0

电势u所满足的Poisson方程。

证明：由题意可知由静电场高斯定理：

??E?dS????divEdV?

SV1?0????dV V

∴ divE??? ? ▽?E? ?0?0

习题 2.4

2. (1) uxx?2uxy?3uyy?0

解：由题意可知：

△=12－1×(-3)=4﹥0 => 双曲型

dydy?dy????2?3?0 => ?3 或 -1 dxdx?dx?2

???3x?y令 ?

???x?y

??x ?y??3 ?1??则 Q?? ???1????x ?y???1

? a12???1??1 1??3 1??0 8??a11?a11 a12?T?3 ?QQ??=> ???a a??1 ??1 ???1 ??8 ? ??a a1?310?????????1222??1222?

??L??c??0 b??? b12?L??c??0 c?f?0 ∴ 16u???0 ? u?f(?)?g(?)?f(3x?y)?g(x?y)

(5) 16uxx?16uxy?3uyy?0

解：由题意可知：

△=82－16×3=16﹥0 => 双曲型

dy31dy?dy?? 或 16???16?3?0 => dx44dx?dx?2

???3x?4y令 ? ??x?4y?

??x ?y??3 ?4??则 Q?? ????4???x ?y???1 ?

? a12???4??16 8?? 3 1 ??0 ?32??a11?a11 a12?T?3 ?QQ?=> ???a a??1 ?? ???4 ????32 ? ??a a?48 3?40?????????1222??1222?

??L??c??0 b??? b12?L??c??0 c?f?0 ∴ ?64u???0 ? u?f(?)?g(?)?f(3x?4y)?g(x?4y)

习题 2.5

2.试证明：若V(x,t,?)是定解问题

?Vtt?a2Vxx?0, 0?x?L, t??? , Vx?L?0?Vx?0?0

?, Vtt???f(x,?)?Vt???0

的解，则u(x,t)??V(x,t;?)d?是定解问题 0t

?utt?a2uxx?f(x,t), 0?x?L, t?0? , ux?L?0?ux?0?0

?, utt?0?0?ut?0?0

的解。

证明：由题意可知：

ut?0?0 utt?0?V(x,0;?)?0

其次，因V(x,t,?)是齐次定解问题的解，因此，

ux?0?0 , ux?L?0

∴ u(x,t)??V(x,t;?)d?是定解问题 0t

?utt?a2uxx?f(x,t), 0?x?L, t?0? , ux?L?0?ux?0?0

?, utt?0?0?ut?0?0

的解。

习题 2.6

1. (3) 证明公式：?(ax)?

证明：由题意可知： ?(x)a (a?0)

???

???(ax)d(ax)?1 ?a ??(ax)d(x)?1 ????

且??(x)d(x)?1 ????

∴ ?(ax)??????(ax)d(x)?????(x)a??d(x) ?(x)

a (a?0)

习题 3.1

2??X????X?03. (4) ? ?X??hX?x?L?0??Xx?0?0,

解：由题意可知：可分为两种情况来讨论（令???2）

a) 当???2?0时，方程X???0的通解为X(x)=Ax+B. （A、B为任意常数）代入边界条件得X(0)= B=0 [X?(L)+hX(L)]=A+h(AL+B)=0 => (1+hL) A=0

b) 当???2?0时，方程X????X?0的通解为X(x)?x?Bsinx.

（A、B为任意常数）

代入边界条件得

X(0)=A=0

?X?(L)?hX(L)???AsinL?BL?L?hBsinL => BL?hBsinL?0 => L???

∴ 边值问题的固有值?n为 tgL??h的正根。

相应的固有函数为 Xn(x)?Bnsinnx

7. 一根长为L的杆，一端固定，另一端受力F0而被拉长。求杆在去掉F0时的振动。设杆的截面积为S，杨氏模量为Y。

解：由题意可知定解问题为：

?utt?a2uxx, 0?x?L, t?0? , uxx?L?0?ux?0?0

?, utt?0?0?ut?0?(F0SY)x

?X????X?0=> ? ?X(0)?0, X(L)?0 ?

?0时，边值问题只有零解。 => 当?

当? ?0时， X(x)=Ax+B. 当A=0，B≠0时，方程满足条件。当? ?0时， X(x)??x?Bsin?x. （A、B为任意常数）代入边值条件得：

X(0)= A=0，X?(L)?B?L?0 =>L?(2n?1)? 2

(2n?1)2?2

(n=0,1,2··)则固有值为?n? ，相应固有函数为4L2

Xn(x)?Bnsin(2n?1)?x（Bn为任意非零常数） 2L

∴ u(x,t)??[Cncos

n?0?(2n?1)?at(2n?1)?at(2n?1)??Dnsin]sinx 2L2L2L

(n=0,1,2··)

代入初始条件为：

?(2n?1)?(2n?1)?a(2n?1)? u(x,0)??(x)??Cnsinx , ut(x,0)??(x)??Dnsinx 2L2L2Ln?0n?0?

?8LF0(?1)n2L(2n?1)??d???Cn??0?(?)sin?L2LSY(2n?1)2?2=> ?

?D?2?LL?(?)sin(2n?1)??d??0n?Ln?a?02L?

8LF0(?1)n(2n?1)?at(2n?1)?x∴ u(x,t)?? (n=0,1,2··) cossin 222L2LSY(2n?1)?n?0?

习题 3.2

2. 一根长为L的细杆侧面和两端绝热，初始时刻细杆上的温度为?(x)。求细杆上的温度变化的规律。其定解问题为：

?ut?a2uxx, 0?x?L, t?0? , uxx?L?0?uxx?0?0

??ut?0??(x)

解：由题意可知定解问题的固有值问题为：

?X????X?0 ???X(0)?0, X(L)?0 ?

?0时，边值问题只有零解。 => 当?

当? ?0时， X(x)=Ax+B. 当A=0，B=0时，边值问题只有零解。当? ?0时， X(x)?x?Bsinx. （A、B为任意常数）代入边值条件得：

·) X?(0)?B?0，X?(L)?AsinL?0 =>L?n? (n=0,1,2·

n?n2?2

x（An为任意非∴固有值为?n?2 ，相应固有函数为Xn(x)?AncosLL

零常数）

又 T?(t)??a2T(t)?0 ? Tn(t)?Cne??nat

∴ u(x,t)?Ane?n2?2a2

Lt22Ln?n?A??(?)cos?d? cosx ， n?0LLL

习题 3.3

4. 求解圆域内Laplace方程Neumann问题：

?1???u?1?2u?0???R, ???????????????2??2?0, ?????? ???u

??R?f(?)????

解：由题意可知Laplace方程一般解为：

a0?nu(?,?)????0(ancosn??bnsinn?) 其中a0为任意常数 2n?1

an???11f(?)cosn?d?b?f(?)sinn?d? （n=1,2，，··） nn?1???n?1???n?Rn?R

习题 3.4

2. 一个长、宽各为a的方形膜，边界固定，膜的振动方程为

?utt?k2(uxx?uyy), 0?x?a, 0?y?a, t?0?? ?ux?0?ux?a?0

???uy?0?uy?a?0

求方形膜振动的固有频率。

解：由题意可知将定解问题进行时空分离和空间变量分离：相应空间固有值问题的固有值为?nm??2

a2?n2?m2 ?

求解关于T(t)的常微分方程，可得通解为：

T(t)?Amncos?

a(n2?m2)t?Bmnsin?

a(n2?m2)t

∴相应的方形膜振动的固有频率

fnm?(n2?m2)

2???(n2?m2)

习题 3.5

2. 求解定解问题：

?ut?a2uxx?Ae??x?0, 0?x?L, t?0? ux?L?0?ux?0?0,

??ut?0?T0

其中，T0是常数。

解：由题意可知定解问题的边值问题为：

?2d2v??x?Ae?0?a2 ?dx?v(0)?0, v(L)?0?

A解得：v(x)?22?a???x1?e??L???e??1?? L??

令u(x,t)?v(x)??(x,t)，代入原定解问题，得：

?Wt?a2Wxx, 0?x?L, t?0? ?W(0,t)?0, W(L,t)?0

?W(x,0)?T?Ae??x

得：W(x,t)??Ane

n?1??n2?2a2tLsinn?x L

中其2T02Ln??2An?(1?e???cosn?)???An??(T0?Ae)sind??(1?cosn?)? 22220LLn??L?n?

?A???x1?e??L?????1???Ane∴ u(x,t)?v(x)??(x,t)?22?e??a?L?n?1n2?2a2tLsinn?x L

6. 求解定解问题：

?ut?a2uxx?A??uxx?0?ux?L?0

??ut?0?0

解：由题意可知分离变量发可得固有值及固有函数分别为：

(2n?1)2?2

固有值为?n? ， 24L

相应固有函数为Xn(x)?Ansin

n=1,2···）

则 u(x,t)??Tn(t)sin

n?1?(2n?1)?x（An为任意非零常数，2L(2n?1)?x 2L

代入波动方程，并将A按xn展开，得：

(2n?1)?x2L(2n?1)??4A A??Ansin ? An??Asind??02LL2L(2n?1)?n?1?

则

(2n?1)?x??(2n?1)?a?(2n?1)?x?4A(2n?1)?x?T(t)sin?Tsin?sin???n?2L?n2L2L2L?n?1n?1?n?1(2n?1)??

2?4A?(2n?1)?a?T??Tn?(t)???n(2n?1)? 比较可得： ?2L???T(0)?0?n2

?(2n?1)?a?????16AL?2L??∴ Tn(t)?1?e332?(2n?1)?a??22t??? ??

2∴原定解问题解为： ?(2n?1)?a?????16AL??2L?u(x,t)??1?e332?

n?1(2n?1)?a???2t??(2n?1)?x ?sin2L??

习题 3.6

1. 求解定解问题：

?ut?a2uxx?b2u, 0?x?L, t?0??ux?L?u1 ?uxx?0?0,

?22u?(uL)x?t?01?

其中，b和u0是常数。

解：由题意可知：由于边值问题诗非齐次的，首先应该把边界条件齐次化。

令u(x,t)?v(x,t)?W(x)代入波动方程得：

vt?a2(vxx?Wxx)?b2(v?W)

为使方程与边界条件同时齐次化，W(x)需满足：

22?aW?bW?0xx? ? ??Wxx?0?0, Wx?L?u1

b???bx?x?u1???ea?ea? ∴ W(x)??bb????L??aL??a?e?e?

?v?a2v?b2vxx?t?v(x,t)定解问题为：?vxx?0?0, vx?L?0

?22v?(uL)x? W(x) ?t?01?

解得：

v(x,t)??(?1)n

n?0

22?32u1(2n?1)3?3??2(2n?1)2?2a2???b?4L2???t??cos(2n?1)?x?2L222??????b2?(2n?1)?a?t2??16aLu1(?1)4L??e??cos(2n?1)?x?1?22223??2Ln?0(2n?1)[4bL?(2n?1)a?]???n

所以

u(x,t)?W(x)?v(x,t)

?2(2n?1)2?2a2?b???bx?b??t???x???u132u1(2n?1)?4L2??n??aa?? ??be?e?(?1)cosx? ?b??33?L?L(2n?1)?2L?a??n?0?e?ea??

222??????b2?(2n?1)?a?t22n???16aLu1(?1)(2n?1)?4L????e?1cosx?22223???(2n?1)[4bL?(2n?1)a?]2Ln?0??

5. 求解定解问题：

?utt?uxx?g??u(t,0)?0, ux(L,t)?E

?u(0,x)?Ex, u(0,x)?0 t?

其中，g和E是常数。

解：由题意可知：另u(x,t)?X(x)?v(x,t)代入波动方程得

vtt?vxx?Xxx?g

为使方程与边界同时齐次化，X(x)需满足：

??Xxx??g

???Xx?0?0, Xxg? X(x)??x2?(E?gL)x 2x?L?E

v(x,y)的定解问题为：

??v?vtt?xx? ?vx?0?0, vxx?L?0

??v?gx2?gLx, vt?0tt?0?0 ?2?

由分离变量法解得：u(x,t)??16gL2

?31(2n?1)?x(2n?1)?t sinsin?3(2n?1)2L2Ln?0?

g216gL2?1(2n?1)?x(2n?1)?t∴ u(x,t)??x?(E?gL)x? sinsin?332?n?0(2n?1)2L2L

第二篇：数学物理方程与特殊函数第一章课后答案

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