椭圆知识点
知识点一:椭圆的定义
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 ,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
注意:若,则动点的轨迹为线段;
若,则动点的轨迹无图形.
知识点二:椭圆的标准方程
1.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中
2.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:,其中;注意:1.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时, 才能得到椭圆的标准方程;
2.在椭圆的两种标准方程中,都有和;
3.椭圆的焦点总在长轴上.
当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,;
当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,
知识点三:椭圆的简单几何性质
椭圆:的简单几何性质
1.对称性:对于椭圆标准方程:说明:把换成、或把换成、或把、同时换成、、原方程都不变,所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。
2.范围:椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足,。
3.顶点:①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为 ,,,
③线段,分别叫做椭圆的长轴和短轴,,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4.离心率:
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用表示,记作。
②因为,所以的取值范围是。越接近1,则就越接近,从而越小,因此椭圆越扁;反之,越接近于0,就越接近0,从而越接近于,这时椭圆就越接近于圆。 当且仅当时,,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为。注意: 椭圆的图像中线段的几何特征(如下):
(1);;
(2);;;
(3);;;
5.通径:过焦点,垂直坐标轴,与椭圆相交线段的长。等于
6、弦长公式:(直线与椭圆的交点坐标设而不求)
若直线与圆锥曲线相交于两点A、B,且分别为A、B的横坐标,则=,若分别为A、B的纵坐标,则=,
(若弦AB所在直线方程设为,则=。特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。)
7、圆锥曲线的中点弦问题:(直线和椭圆的交点设而不求)
遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中,以为中点的弦所在直线的斜率k=-
知识点四:椭圆 与 的区别和联系
注意:椭圆,的相同点:形状、大小都相同;参数间的关系都有和,;不同点:两种椭圆的位置不同;它们的焦点坐标也不相同。
规律方法:
1.如何确定椭圆的标准方程?
任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式。此时,椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:两个定形条件;一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。
2.椭圆标准方程中的三个量的几何意义
椭圆标准方程中,三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为:,,且。可借助右图理解记忆: 显然:恰构成一个直角三角形的三条边,其中a是斜边,b、c为两条直角边。
3.如何由椭圆标准方程判断焦点位置
椭圆的焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判断焦点位置的方法是:看,的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。
4.方程是表示椭圆的条件
方程可化为,即,所以只有A、B、C同号,且AB时,方程表示椭圆。当时,椭圆的焦点在轴上;当时,椭圆的焦点在轴上。
5.求椭圆标准方程的常用方法:
①待定系数法:由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型,再定量”;
②定义法:由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。
6.共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
共焦点,则c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为,此类问题常用待定系数法求解。
7.判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据:
① 若把曲线方程中的换成,方程不变,则曲线关于轴对称;
② 若把曲线方程中的换成,方程不变,则曲线关于轴对称;
③ 若把曲线方程中的、同时换成、,方程不变,则曲线关于原点对称。
8.如何求解与焦点三角形△PF1F2(P为椭圆上的点)有关的计算问题?
思路分析:与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时,常考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。最大面积bc焦点 三角的周长=2(a+c)
将有关线段,有关角 ()结合起来,建立、之间的关系.
9.如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系?
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率,因为,,用表示为。
显然:当越小时,越大,椭圆形状越扁;当越大,越小,椭圆形状越趋近于圆。
第二篇:椭圆基础知识点
椭圆
一.椭圆及其标准方程
1.椭圆的定义:平面内与两定点F1,F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆,即点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|=2c};
这里两个定点F1,F2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。
(时为线段,无轨迹)。
2.标准方程:
①焦点在x轴上:(a>b>0); 焦点F(±c,0)
②焦点在y轴上:(a>b>0); 焦点F(0, ±c)
注意:①在两种标准方程中,总有a>b>0,并且椭圆的焦点总在长轴上;
②两种标准方程可用一般形式表示: 或者 mx2+ny2=1
二.椭圆的简单几何性质:
1.范围
(1)椭圆(a>b>0) 横坐标-a≤x≤a ,纵坐标-b≤x≤b
(2)椭圆(a>b>0) 横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a
2.对称性
椭圆关于x轴y轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心
3.顶点
(1)椭圆的顶点:A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)
(2)线段A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于2a,短轴长等于2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4.离心率
(1)我们把椭圆的焦距与长轴长的比,即称为椭圆的离心率,
记作e(),
是圆;
e越接近于0 (e越小),椭圆就越接近于圆;
e越接近于1 (e越大),椭圆越扁;
注意:离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关。
(2)椭圆的第二定义:平面内与一个定点(焦点)和一定直线(准线)的距离的比为常数e,(0<e<1)的点的轨迹为椭圆。
①焦点在x轴上:(a>b>0)准线方程:
②焦点在y轴上:(a>b>0)准线方程:
小结一:基本元素
(1)基本量:a、b、c、e、(共四个量), 特征三角形
(2)基本点:顶点、焦点、中心(共七个点)
(3)基本线:对称轴(共两条线)
5.椭圆的的内外部
(1)点在椭圆的内部.
(2)点在椭圆的外部.
6.几何性质
(1) 最大角
(2)最大距离,最小距离