第三章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

3、函数零点的求法：

1 （代数法）求方程的实数根；

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、基本初等函数的零点：

①正比例函数仅有一个零点。

②反比例函数没有零点。

③一次函数仅有一个零点。

④二次函数．

（1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．

⑤指数函数没有零点。

⑥对数函数仅有一个零点1.

⑦幂函数，当时，仅有一个零点0，当时，没有零点。

5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把转化成，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数（基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数零点的个数。

6、选择题判断区间上是否含有零点，只需满足。

7、确定零点在某区间个数是唯一的条件是:①在区间上连续，且②在区间上单调。

8、函数零点的性质：

从“数”的角度看：即是使的实数；

从“形”的角度看：即是函数的图象与轴交点的横坐标；

若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为不变号零点；

若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为变号零点．

9、二分法的定义

对于在区间，上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

10、给定精确度ε，用二分法求函数零点近似值的步骤：

（1）确定区间，，验证，给定精度；

（2）求区间，的中点；

（3）计算：

①若=，则就是函数的零点；

②若<，则令=（此时零点）；

③若<，则令=（此时零点）；（4）判断是否达到精度；即若，则得到零点值（或）；否则重复步骤（2）~（4）．

11、二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点。

12、解决应用题的一般程序：

① 审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

② 建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

③ 解模：求解数学模型，得出数学结论；

④ 还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．

13、函数的模型

 

14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：

一次函数模型：

二次函数模型：

幂函数模型：

指数函数模型：（＞0，）

利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型

2.4.1 函数的零点 测试题

一、选择题

１．函数ｆ（ｘ）＝ｘ－的零点是（　　）

Ａ．０　Ｂ．１　Ｃ．２　Ｄ．无数个

２．函数ｆ（ｘ）＝的零点是（　　）

Ａ．　１，２，３　Ｂ．－１，１，２　Ｃ．０，１，２　Ｄ．－１，１，－２

３．若函数ｆ（Ｘ）在［０，４］上的图像是连续的，且方程ｆ（ｘ）＝０在（０，４）内仅有一个实数根，则发ｆ（０）ｆ（４）的值（　）

Ａ．大于０　Ｂ．小于０　Ｃ．等于０　Ｄ．无法判断

４．若函数ｆ（ｘ）＝ｍ＋８ｍｘ＋２１，当ｆ（ｘ）＜０时－７＜ｘ＜－１，则实数ｍ的值为（　）

Ａ．１　Ｂ．２　Ｃ．３　Ｄ．４

５．ｆ（ｘ）＝，方程ｆ（４ｘ）＝ｘ的根是（　　　）

Ａ．－２　Ｂ．２　Ｃ．－０．５　Ｄ．０．５

6．设函数)f(x)= 在[-1,1]上为增函数,且,则方程f(x)在[-1,1]内

A .可能有3个实数根      B .可能有2个实数根

C. 有唯一的实数根        D .没有实数根

7．设f(x) = ，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是     （   ）

                 A．[0，1]  B．[1，2]   C．[－2，－1]   D．[－1，0]

8．给出下列三个函数的图象；07徐州三练） 3．方程2x+x-4=O的解所在区间为

    A．(-1，0)   B．(0，1)       C．(1，2)       D．(2，3)

9.已知函数y=f(x)在定义域内是单调函数,则方程f(x)=c(c为常数)的解的情况(   )

A.有且只有一个解   B.至少有一个解

C.至多有一个解     D.可能无解,可能有一个或多个解

二、填空题：

10．关于ｘ的方程２ｋ－２ｘ－３ｋ＝０的两根一个大于１，一个小于１，则实数的取值范围　　　　　　　　．

11．若函数ｆ（ｘ）＝－ａｘ－ｂ的两个零点时２和３，则函数ｇ（ｘ）＝ｂ－ａｘ－１的零点　　　　　　　．

三、解答题

12．已知函数ｆ（ｘ）＝２（ｍ－１）－４ｍｘ＋２ｍ－１

（１）ｍ为何值时，函数图像与ｘ轴有一个公共点．

（２）如果函数的一个零点为２，求ｍ的值．

13．已知二次函数f（x）=a+bx（ａ，ｂ是常数且ａ０）满足条件：ｆ（２）＝０．方程有等根

（１）求f（x）的解析式；

（２）问：是否存在实数ｍ，ｎ使得ｆ（ｘ）定义域和值域分别为［ｍ，ｎ］和［２ｍ，２ｎ］，如存在，求出ｍ，ｎ的值；如不存在，说明理由．

第三章检测题

一、选择题

1、下列函数有2个零点的是（     ）

A、            B、

C、             D、

2、用二分法计算在内的根的过程中得：

，，，则方程的根落在区间（     ）

A、     B、     C、      D、

3、一商店把货物按标价的九折出售，仍可获利20%，若该货物的进价为每件21元，则

每件的标价应为（     ）

A、27.27元        B、28元          C、29.17元          D、30元

4、某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10%），仍可获利10%（相对进

货价），则该家具的进货价是（     ）

A、108元       B、105元         C、106元          D、118元

5、若方程有两个解，则实数的取值范围是（     ）

A、         B、         C、           D、

6、给右图的容器甲注水，下面图像中哪一个图像可以大致刻画容器中水的高度与时间的

函数关系：（    ）

 

A                       B

7、方程根的个数为（     ）

A、0         B、1            C、2                D、3

8、假设银行1年定期的年利率为2%，某人为观看20##年的奥运会，从20##年元旦开始在银行存款1万元，存期1年，第二年元旦再把1万元和前一年的存款本利和一起作为本金再存1年定期存款，以后每年元旦都这样存款，则到20##年年底，这个人的银行存款共有（精确到0.01）（      ）

A、7.14 万元        B、7.58万元         C、7.56万元        D、7.50万元

二、填空题

9、函数的零点是           （必须写全所有的零点）。

10、若，则方程的根为           。

11、若镭经过100年，质量便比原来减少4.24%，设质量为1的镭经过年后剩留量为，则与的函数关系式为＝              。

12、已知函数的图象是连续不断的，有如下对应值表：

  则函数在区间                                有零点。

三、解答题

13、有一块长为20cm，宽为12cm的矩形铁皮，将其四个角各截去一个边长为的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出这个盒子的体积V与边长的函数关系式，并讨论这个函数的定义域。

14、某地兴修水利挖渠，其渠道的横截面为等腰梯形，腰与水平线的夹角为60°，设横截面周长为定值m，问渠道深h为多少时，可使其流量最大？

15、某厂生产一种新型的电子产品，为此更新专用设备和请专家设计共花去了200000元，生产每件电子产品的直接成本为300元，每件电子产品的售价为500元，产量x对总成本C、单位成本P、销售收入R以及利润L之间存在什么样的函数关系？表示了什么实际含义？

16、写一段小作文来说明下图中的图象所对应的函数的实际意义

 

17、纳税是每个公民应尽的义务，从事经营活动的有关部门必须向政府税务部门交纳一定的营业税。某地区税务部门对餐饮业的征收标准如下表

（1）写出每月征收的税金y（元）与营业额x（元）之间的函数关系式；

（2）某饭店5月份的营业额是35000元，这个月该饭店应缴纳税金多少？

18、WAP手机上网每月使用量在500分钟以下（包括500分钟）按30元记费，超过500分钟按0.15元/分钟记费。假如上网时间过短，在1分钟以下不记费，1分钟以上（包括1分钟）按0.5元/分钟记费。WAP手机上网不收通话费和漫游费。

（1）小周12月份用WAP手机上网20小时，要付多少上网费？

（2）小周10月份付了90元上网费，那么他这个月用手机上网多少小时？

（3）你会选择WAP手机上网吗？你是用那一种方式上网的？

第二篇：高中数学人教版必修4知识点精华总结

高中数学必修4知识点

2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．

第一象限角的集合为

第二象限角的集合为

第三象限角的集合为

第四象限角的集合为

终边在轴上的角的集合为

终边在轴上的角的集合为

终边在坐标轴上的角的集合为

3、与角终边相同的角的集合为

4、已知是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度．

6、半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是．

7、弧度制与角度制的换算公式：，，．

8、若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，．

9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，则，，．

10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

11、三角函数线：，，．

12、同角三角函数的基本关系：

；

．

13、三角函数的诱导公式：

，，．

，，．

，，．

，，．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

，．

，．

口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

14、函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．

函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数

的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．

函数的性质：

①振幅：；②周期：；③频率：；④相位：；⑤初相：．

函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为，则，，．

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

16、向量：既有大小，又有方向的量．

数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度．

零向量：长度为的向量．

单位向量：长度等于个单位的向量．

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．

相等向量：长度相等且方向相同的向量．

17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连．

⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：．

⑷运算性质：①交换律：；②结合律：；③．

⑸坐标运算：设，，则．

18、向量减法运算：

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．

⑵坐标运算：设，，则．

设、两点的坐标分别为，，则．

19、向量数乘运算：

⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．

①；

②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．

⑵运算律：①；②；③．

⑶坐标运算：设，则．

20、向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．

设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．

21、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）

22、分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．

23、平面向量的数量积：

⑴．零向量与任一向量的数量积为．

⑵性质：设和都是非零向量，则①．②当与同向时，；当与反向时，；或．③．

⑶运算律：①；②；③．

⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．

若，则，或．

设，，则．

设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

1. 2.

3. 4.

⑸（）；

⑹（）．

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴．

⑵（，）．

⑶．

26、，其中．