第十一章 全等三角形

11.1全等三角形

（1）形状、大小相同的图形能够完全重合；

（2）全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形；

（3）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；

（4）平移、翻折、旋转前后的图形全等；

（5）对应顶点：全等三角形中相互重合的顶点叫做对应顶点；

（6）对应角：全等三角形中相互重合的角叫做对应角；

（7）对应边：全等三角形中相互重合的边叫做对应边；

（8）全等表示方法：用“”表示，读作“全等于”（注意：记两个三角形全等时，把表示对应顶点的字

     母写在对应的位置上）

（9）全等三角形的性质：①全等三角形的对应边相等；

                       ②全等三角形的对应角相等；

11.2三角形全等的判定

（1）若满足一个条件或两个条件均不能保证两个三角形一定全等；

（2）三角形全等的判定：①三边对应相等的两个三角形全等；（“边边边”或“SS”S）

                       ②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；（“边角边”或“SAS”）

                       ③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；（“角边角”或“ASA”）

                       ④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（“角角边”或“AAS”）

                       ⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（“斜边直角边”或“HL”）

（3）证明三角形全等：判断两个三角形全等的推理过程；

（4）经常利用证明三角形全等来证明三角形的边或角相等；

（5）三角形的稳定性：三角形的三边确定了，则这个三角形的形状、大小就确定了；（用“SSS”解释）

11.3角的平分线的性质

（1）角的平分线的作法：课本第19页；

（2）角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；

（3）证明一个几何中的命题，一般步骤：

     ①明确命题中的已知和求证；

     ②根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；

     ③经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程；

（4）性质定理的逆定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上；（利用三角形全等来解释）

（5）三角形的三条角平分线相交于一点，该点为内心；

第十二章 轴对称

12.1轴对称

（1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是轴

     对称图形；这条直线叫做它的对称轴；也称这个图形关于这条直线对称；

（2）两个图形关于这条直线对称：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这

     两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点；

（3）轴对称图形与两个图形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分

     能完全重合；而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够

     重合；

（4）轴对称图形与两个图形成轴对称的联系：把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于

      这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。

（5）垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；

（6）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

（7）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；

（8）对称的两个图形是全等的；

（9）垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；

（10）逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；

（11）垂直平分线的尺规作图：书P35

12.2作轴对称图形

（1）作轴对称图形：分别作出原图形中某些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图

     形的轴对称图形；（注意取特殊点）

（2）点（x , y）关于x轴对称的点的坐标为：（x , -y）;

     点（x , y）关于y轴对称的点的坐标为：（-x , y）;

12.3等腰三角形

（1）等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个底角相等（“等边对等角”）；

                       ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；

（2）等腰三角形是轴对称图形，三线合一所在直线是其对称轴；（只有1条对称轴）

（3）等腰三角形的判定：①如果一个三角形有两条边相等；

                       ②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等；（等角对等边）

（4）等边三角形：三条边都相等的三角形；（等边三角形是特殊的等腰三角形）

（5）等边三角形的性质：①等边三角形的三个内角都是60?

                       ②等边三角形的每条边都存在三线合一；

（6）等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一所在直线；（有3条对称轴）

（7）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；

                       ②三个角都相等的三角形是等边三角形；

                       ③有一个角是60?的等腰三角形是等边三角形；

（8）在直角三角形中，如果一个锐角等于30?，那么它所对的直角边等于斜边的一半；

第十三章 实数

13.1平方根

（1）算术平方根：若一个正数x的平方等于a， x² = a ,那么这个正数x叫做a的算术平方根；a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数；

（2）规定：0的算术平方根是0；

（3）许多正有理数的算术平方根都是无限不循环小数；（无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分

     不循环的小数）

（4）平方根：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根；

（即：如果x²=a，那么x叫做a的平方根；用符号表示，读作：正负根号a）

（5）开平方：求一个数a的平方根的运算；（乘方与开平方是互为逆运算）

（6）归纳：①正数有2个平方根，它们互为相反数；

           ②0的平方根是0；

           ③负数没有平方根；（因为任何一个数的平方均不会是负数）

（7）符号只有当a≥0时有意义，a<0时无意义；

（8）规律：

（9）性质：①

           ②（a≥0）

13.2立方根

（1）立方根：一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根；

（即：若x³=a，那么x叫做a的立方根，用符号表示，读作“三次根号a”）

（2）开立方：求一个数的立方根的运算；（立方和开立方是互为逆运算）

（3）归纳：①正数的立方根是正数；

           ②负数的立方根是负数；

           ③0的立方根是0；

（4）规律：

（5）性质：①

           ②

           ③

13.3实数

（1）无理数：无限不循环小数又叫做无理数；

（2）实数：有理数和无理数统称实数；

（3）实数分类：                                              正有理数

       有理数  有限小数或无限循环小数               正实数   正无理数

实数                                          实数   0   

       无理数  无限不循环小数                       负实数    负有理数

                                                              负无理数

（4）实数与数轴上的点都是一一对应的；（即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴

     上每一个点都表示一个实数；）

（5）平面直角坐标系中的点与有序实数对之间也是一一对应的；

（6）有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合实数；

（7）有理数的运算法则及运算性质对实数同样适用；

第十四章 一次函数

14.1变量与函数

（1）变量：数值发生变化的量；

（2）常量：数值是始终不变的量（常数也是常量）；

（3）函数：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有

     唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数；

（4）函数值：如果当x=a时y=b，那么b叫做自变量的值为a时的函数值；

（5）函数的图像：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，

     那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像；

（6）满足函数的点对在该函数图像上，在函数图像上的点满足该函数解析式；

（7）描点法画图像：

     ①列表；（分析自变量取值范围，表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）

     ②描点；（建立直角坐标系时，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表中的点）

     ③连线；（用平滑的曲线按照横坐标从小到大的顺序连接起来）

14.2一次函数

（1）正比例函数：一般地，形如y=kx ( k是常数，k?0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数；

（2）正比例函数图像特征：一些过原点的直线；

（3）图像性质：

     ①当k>0时，函数y=kx的图像经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大y也增大；

     ②当k<0时，函数y=kx的图像经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大y反而减小；

（4）求正比例函数的解析式：已知一个非原点即可；

（5）画正比例函数图像：经过原点和点（1 , k）；（或另外一个非原点）

（6）一次函数：一般地，形如y=kx+b（k、b是常数，k?0）的函数，叫做一次函数；

（7）正比例函数是一种特殊的一次函数；（因为当b=0时，y=kx+b即为y=kx）

（8）一次函数图像特征：一些直线；

（9）性质：

     ①y=kx与y=kx+b的倾斜程度一样，y=kx+b可看成由y=kx平移｜b|个单位长度而得；（当b>0，

       向上平移；当b<0，向下平移）

     ②当k>0时，直线y=kx+b由左至右上升，即y随着x的增大而增大；

     ③当k<0时，直线y=kx+b由左至右下降，即y随着x的增大而减小；

     ④当b>0时，直线y=kx+b与y轴正半轴有交点为（0，b）；

     ⑤当b<0时，直线y=kx+b与y轴负半轴有交点为（0，b）；

（10）求一次函数的解析式：即要求k与b的值；

（11）画一次函数的图像：已知两点；

14.3用函数观点看方程（组）与不等式

（1）解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值；从图像上看，这相当于已知直线y=kx+b，确定它与x轴交点的横坐标的值；

（2）解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围；

（3）每个二元一次方程都对应一个一元一次函数，于是也对应一条直线；

（4）一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解方

     程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解

     方程组相当于确定两条直线交点的坐标；

第十五章 整式的乘除与因式分解

15.1整式的乘法

（1）同底数幂的乘法：（m,n都是正整数）

     即：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；

（2）幂的乘方：（m,n都是正整数）

     即：幂的乘方，底数不变，指数相乘；

（3）积的乘方：（n是正整数）

     即：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得幂相乘；

（4）整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含

                  有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式；

                ②单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加；

                ③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得

                  的积相加；

15.2乘法的公式

（1）平方差公式：

     即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差；

（2）完全平方公式：

即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍；

（3）添括号：①如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；

             ②如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号；

15.3整式的除法

（1）同底数幂的除法：（a?0 , m , n都是正整数，并且m>n）

     即：同底数幂相除，底数不变，指数相减；

（2）规定：

     即：任何不等于0的数的0次幂都等于1；

（3）整式的除法：①单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字

                   母，则把连同它的指数作为商的一个因式；

                 ②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得商相加；

15.4因式分解

（1）因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做因式分解；（也叫做把这个多项式分解

               因式）；

（2）公因式：多项式的各项都有的一个公共因式；

（3）因式分解的方法：

               提公因式法：关键在于找出最大公因式 

                          

                            平方差公式：a² -b² =(a + b)(a - b)

因式分解：     公式法      

                            完全平方公式：(a + b)² = a² + 2ab +b²       

                                          (a - b)² = a² + 2ab +b²

第二篇：八年级数学上11-13章知识点归纳②

许昌县实验中学20##-20##学年八年级数学组

第十二章  轴对称知识要点归纳

三、用坐标表示轴对称：
在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.

关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.

注意：关于哪个轴对称,哪个坐标就不变,另一个坐标互为相反数.

点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为（x, －y）.

点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为（－x, y）.

点（x, y）关于原点对称的点的坐标为（－x, －y）.

四、等腰三角形：

1.等腰三角形的性质

①.等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角）

符号语言：∵AB=AC

             ∴∠B=∠C

②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高

互相重合。简记为：三线合一.

符号语言：

∵AB=AC,∠BAD=∠CAD   或∵AB=AC, BD=CD         或 ∵AB=AC, AD⊥BC

∴BD=CD,AD⊥BC          ∴,AD⊥BC，∠BAD=∠CAD    ∴BD=CD, ∠BAD=∠CAD

2、等腰三角形的判定：

  如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边）

符号语言：∵∠B=∠C

∴AB=AC

即△ABC是等腰三角形

五、等边三角形：

1.等边三角形的性质：

①等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°

符号语言：∵△ABC是等边三角形

∴∠A=∠B=∠C=60°

②等边三角形的三条边都相等。

符号语言：∵△ABC是等边三角形

∴AB=BC=AC

2、等边三角形的判定：

  ①三个角都相等的三角形是等边三角形。

符号语言：∵∠A=∠B=∠C

∴△ABC是等边三角形

  ②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

符号语言：∵∠A=∠B，∠A=60°

∴△ABC是等边三角形

③三条边都相等的三角形是等边三角形。

符号语言：∵AB=AC=BC

∴△ABC是等边三角形

3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30⁰，

那么它所对的直角边等于斜边的一半。

   符号语言： ∵∠C＝90°，∠B＝30°

∴AC＝ AB 或者AB＝2AC

第十三章   实数知识要点归纳

一、实数：

1、 无理数：

①无理数是无限不循环小数和开方开不尽的数. 如圆周率、（根号2）等。

无理数，即非有理数的实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。 常见的无理数有大部分的平方根和π等。

②有理数是所有的分数，整数，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。如22/7等。

　　实数分为有理数和无理数。

　　有理数可分为整数和分数。也可分为正有理数，0，负有理数。

除了无限不循环小数以外的数统称有理数。

二、无理数与有理数的区别

1、有理数---能写成两整数之比（能写成分数形式的数）。

比如0.8=； 0.33333……=能写成分数的形式，整数、小数或无限循环小数，都是有理数。

2、无理数---不能写成两整数之比（不能写成分数形式的数）。

无理数只能写成无限不循环小数比如=1.414213562…根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。

另外：，因为本身就不是整数，所以也不是有理数。

3、在数从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的．

即：每一个实数都可以用数轴上的点来表示；数轴上的每一个点都表示一个实数．

4、实数的分类

5、比较两个实数的大小：

两个正实数，绝对值较大的值也较大；两个负实数，绝对值大的值反而小；正数大于零，负数小于零，正数大于负数。

6、六种运算及运算结果

注意：除法运算中除数不为0,而且只有正数及0可以进行开平方运算，

任何一个实数都可以进行开立方运算．

三、记忆口诀：

≈1.41421：意思意思而已

　　≈1.7320：一起生鹅蛋

　　≈2.2360679：两鹅生六蛋(送)六妻舅

　　≈2.6457513：二妞是我，气我一生

　　e≈2.718:粮店吃一把

π≈3.14159，62535，897，932，384，626：

山巅一寺一壶酒,乐尔苦杀吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐尔乐

四、常用的被开方数：

10=100      11=121      12=144      13=169      14=196

    15=225      16=256      17=289      18=324      19=361

1=1          2=8         3=27         4=64        5=125

 6=216        7=343       8=512        9=729