初二数学应知应会知识点第一章 一次函
数
1 函数的定义,函数的定义域、值域、表达式,函数的图像
2 一次函数和正比例函数,包括他们的表达式、增减性、图像
3 从函数的观点看方程、方程组和不等式
第二章 数据的描述
1 了解几种常见的统计图表:条形图、扇形图、折线图、复合条形图、直方图,了解各种图表的特点
条形图特点:
(1)能够显示出每组中的具体数据;
(2)易于比较数据间的差别
扇形图的特点:
(1)用扇形的面积来表示部分在总体中所占的百分比;
(2)易于显示每组数据相对与总数的大小
折线图的特点;
易于显示数据的变化趋势
直方图的特点:
(1)能够显示各组频数分布的情况;
(2)易于显示各组之间频数的差别
2 会用各种统计图表示出一些实际的问题
第三章 全等三角形
1 全等三角形的性质:
全等三角形的对应边、对应角相等
2 全等三角形的判定
边边边、边角边、角边角、角角边、直角三角形的HL定理
3 角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边的距离相等;
到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
第四章 轴对称
1 轴对称图形和关于直线对称的两个图形
2 轴对称的性质
轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线;
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
3 用坐标表示轴对称
点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y),关于y轴对称的点的坐标是(-x,y),关于原点对称的点的坐标是(-x,-y).
4 等腰三角形
等腰三角形的两个底角相等;(等边对等角)
1
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合;(三线合一)
一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。(等角对等边)
5 等边三角形的性质和判定
等边三角形的三个内角都相等,都等于60度;
三个角都相等的三角形是等边三角形;
有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形;
推论:
直角三角形中,如果有一个锐角是30度,那么他所对的直角边等于斜边的一半。 在三角形中,大角对大边,大边对大角。
第五章 整式
1 整式定义、同类项及其合并
2 整式的加减
3 整式的乘法
(1)同底数幂的乘法:
(2)幂的乘方
(3)积的乘方
(4)整式的乘法
4 乘法公式
(1)平方差公式
(2)完全平方公式
5 整式的除法
(1)同底数幂的除法
(2)整式的除法
6 因式分解
(1)提共因式法
(2)公式法
(3)十字相乘法
初二下册知识点
第一章 分式
1 分式及其基本性质
分式的分子和分母同时乘以(或除以)一个不等于零的整式,分式的只不变
2 分式的运算
(1)分式的乘除
乘法法则:分式乘以分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母
除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
(2) 分式的加减
2
加减法法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减;
异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减
3 整数指数幂的加减乘除法
4 分式方程及其解法
第二章 反比例函数
1 反比例函数的表达式、图像、性质
图像:双曲线
表达式:y=k/x(k不为0)
性质:两支的增减性相同;
2 反比例函数在实际问题中的应用
第三章 勾股定理
1 勾股定理:直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方
2 勾股定理的逆定理:如果一个三角形中,有两个边的平方和等于第三条边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
第四章 四边形
1 平行四边形
性质:对边相等;对角相等;对角线互相平分。
判定:两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
对角线互相平分的四边形是平行四边形;
一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。
推论:三角形的中位线平行第三边,并且等于第三边的一半。 2 特殊的平行四边形:矩形、菱形、正方形
(1) 矩形
性质:矩形的四个角都是直角;
矩形的对角线相等;
矩形具有平行四边形的所有性质
判定: 有一个角是直角的平行四边形是矩形;
对角线相等的平行四边形是矩形;
推论: 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
(2) 菱形
性质:菱形的四条边都相等;
菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;
菱形具有平行四边形的一切性质
判定:有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
对角线互相垂直的平行四边形是菱形;
四边相等的四边形是菱形。
(3) 正方形:既是一种特殊的矩形,又是一种特殊的菱形,所以它具有矩形和菱形的所有性质。
3 梯形:直角梯形和等腰梯形
等腰梯形:等腰梯形同一底边上的两个角相等;
3
等腰梯形的两条对角线相等;
同一个底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
第五章 数据的分析
加权平均数、中位数、众数、极差、方差
第一章 一次函数
1 函数的定义,函数的定义域、值域、表达式,函数的图像
2 一次函数和正比例函数,包括他们的表达式、增减性、图像
3 从函数的观点看方程、方程组和不等式
第二章 数据的描述
1 了解几种常见的统计图表:条形图、扇形图、折线图、复合条形图、直方图,了解各种图表的特点
条形图特点:
(1)能够显示出每组中的具体数据;
(2)易于比较数据间的差别
扇形图的特点:
(1)用扇形的面积来表示部分在总体中所占的百分比;
(2)易于显示每组数据相对与总数的大小
折线图的特点;
易于显示数据的变化趋势
直方图的特点:
(1)能够显示各组频数分布的情况;
(2)易于显示各组之间频数的差别
2 会用各种统计图表示出一些实际的问题
第三章 全等三角形
1 全等三角形的性质:
全等三角形的对应边、对应角相等
2 全等三角形的判定
边边边、边角边、角边角、角角边、直角三角形的HL定理
3 角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边的距离相等;
到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
第四章 轴对称
1 轴对称图形和关于直线对称的两个图形
2 轴对称的性质
轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线;
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
3 用坐标表示轴对称
点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y),关于y轴对称的点的坐标是(-x,y),关于原点对称的点的坐标是(-x,-y).
4 等腰三角形
等腰三角形的两个底角相等;(等边对等角)
4
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合;(三线合一)
一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。(等角对等边)
5 等边三角形的性质和判定
等边三角形的三个内角都相等,都等于60度;
三个角都相等的三角形是等边三角形;
有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形;
推论:
直角三角形中,如果有一个锐角是30度,那么他所对的直角边等于斜边的一半。 在三角形中,大角对大边,大边对大角。
第五章 整式
1 整式定义、同类项及其合并
2 整式的加减
3 整式的乘法
(1)同底数幂的乘法:
(2)幂的乘方
(3)积的乘方
(4)整式的乘法
4 乘法公式
(1)平方差公式
(2)完全平方公式
5 整式的除法
(1)同底数幂的除法
(2)整式的除法
6 因式分解
(1)提共因式法
(2)公式法
(3)十字相乘法
初二下册知识点
第一章 分式
1 分式及其基本性质
分式的分子和分母同时乘以(或除以)一个不等于零的整式,分式的只不变
2 分式的运算
(1)分式的乘除
乘法法则:分式乘以分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母
除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘。
(2) 分式的加减
加减法法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减; 5
异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减
3 整数指数幂的加减乘除法
4 分式方程及其解法
第二章 反比例函数
1 反比例函数的表达式、图像、性质
图像:双曲线
表达式:y=k/x(k不为0)
性质:两支的增减性相同;
2 反比例函数在实际问题中的应用
第三章 勾股定理
1 勾股定理:直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方
2 勾股定理的逆定理:如果一个三角形中,有两个边的平方和等于第三条边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
第四章 四边形
1 平行四边形
性质:对边相等;对角相等;对角线互相平分。
判定:两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
对角线互相平分的四边形是平行四边形;
一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形。
推论:三角形的中位线平行第三边,并且等于第三边的一半。 2 特殊的平行四边形:矩形、菱形、正方形
(1) 矩形
性质:矩形的四个角都是直角;
矩形的对角线相等;
矩形具有平行四边形的所有性质
判定: 有一个角是直角的平行四边形是矩形;
对角线相等的平行四边形是矩形;
推论: 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
(2) 菱形
性质:菱形的四条边都相等;
菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;
菱形具有平行四边形的一切性质
判定:有一组邻边相等的平行四边形是菱形;
对角线互相垂直的平行四边形是菱形;
四边相等的四边形是菱形。
(3) 正方形:既是一种特殊的矩形,又是一种特殊的菱形,所以它具有矩形和菱形的所有性质。
3 梯形:直角梯形和等腰梯形
等腰梯形:等腰梯形同一底边上的两个角相等;
等腰梯形的两条对角线相等;
同一个底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
第一章 轴对称图形
6
1. 成轴对称的定义:
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这条直线对称,也称这两个图形成轴对称,这条直线叫做对称轴,两个图形中的对应点叫做对称点。
2. 轴对称图形的定义:
把一个图形沿着某一条直线折叠,如果直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形是轴对称图形,这条直线就是对称轴。
3. 线段垂直平分线的定义:
垂直并且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。
4. 轴对称的性质:
(1)成轴对称的两个图形全等.
(2)成轴对称的两个图形的对应线段相等,对应角相等.
(3)如果两个图形成轴对称,那么对称轴是对称点连线的垂直平分线.
5. 关于线段:
(1)线段是轴对称图形,有两条对称轴,线段的垂直平分线是它的对称轴.
(2)线段垂直平分线的性质:
线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
反过来:
到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
6. 关于角:
(1)角是轴对称图形,有一条对称轴,角平分线所在直线是它的对称轴.
(2)角平分线的性质:
角平分线上的点到角角的两边距离相等。
反过来:
角的内部到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。
7. 关于等腰三角形:
(1)等腰三角形是轴对称图形,有一条对称轴,顶角平分线所在直线是它的对称轴.
(2)等腰三角形的两个底角相等(“等边对等角”)
(3)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(“等角对等边”)
(4)三线合一:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
8. 关于直角三角形:
(1)直角斜边上的中线等于斜边的一半。
(2)直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。
反过来:
7
在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角为30°.
9. 关于等边三角形:
(1)等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴.
(2)等边三角形的判定: ①三边相等的三角形是等边三角形
②三个角相等的三角形是等边三角形
③两个角等于60°的三角形是等边三角形
④一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
10. 关于等腰梯形:
(1)等腰梯形是轴对称图形,过两底中点的直线是它的对称轴.
(2)等腰梯形的性质:
①等腰梯形在同一底上的两个角相等。
②等腰梯形的对角线相等。
(3)等腰梯形的判定:
①两腰相等的梯形是等腰梯形。
②在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
③对角线相等的梯形是等腰梯形。
第二章 勾股定理与平方根
1. 勾股定理的定义:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 判定直角三角形的方法:
如果三角形的三边长 、 、 满足 ,那么这个三角形是直角三角形。
3. 平方根的定义:
如果一个数的平方等于 ,那么这个数叫做 的平方根,也称为二次方根。也就是说,如果 ,那么 就叫做 的平方根。
4. 平方根的性质:
一个正数有两个平方根,它们互为相反数;
0只有一个平方根,是0;
负数没有平方根。
5. 算术平方根的定义:
正数 有两个平方根,其中正的平方根,也叫做 的算术平方根。
6. 立方根的定义:
如果一个数的立方等于 ,那么这个数叫做 的立方根,也称为三次方根。也就是说,如果 ,那么 就叫做 的立方根。
7. 立方根的性质:
正数的立方根是正数;
8
负数的立方根是负数;
0的立方根是0。
8. 无理数的定义:
无限不循环小数称为无理数。
9. 实数与数轴上的点一一对应。
第三章 第三章 中心对称图形(一)
1.旋转的定义:
在平面内,将一个图形绕一个定点转动一定的角度,这样的图形运动称为图形的旋转。这个定点称为旋转中心,旋转的角度称为旋转角。图形的旋转不改变图形的形状、大小。
2.旋转前后的图形全等,对应点到旋转中心的距离相等,每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等
3.成中心对称的定义:
把一个图形绕着某一点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这点对称,也称这两个图形成中心对称。这个点叫做对称中心。两个图形中的对应点叫做对称点。
4.成中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分; 反过来:如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点,并且被这个点所平分,那么这两个图形一定关于这一点成中心对称。
5.中心对称图形的定义:
把一个平面图形绕着某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。
6.关于平行四边形:
(1) 平行四边形的定义:
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
(2)平行四边形的性质:
①平行四边形是中心对称图形。
②平行四边形的对边相等。
③平行四边形的对角相等。
④平行四边形的对角线互相平分。
(3)平行四边形的判定:
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
②两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
9
⑤两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
7.关于矩形:
(1)矩形的定义:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
(2)矩形的特殊性质:
①矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形。
②矩形的四个角都是直角。
③矩形的对角线相等。
(3)矩形的判定:
①有一个角是直角的平行四边形是矩形。
②三个角是直角的四边形是矩形。
③对角线相等的平行四边形是矩形。
8.关于菱形:
(1)菱形的定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
(2)菱形的特殊性质:
①菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形。
②菱形的四条边都相等。
③菱形的对角线互相垂直。
(3)菱形的判定:
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
②四条边相等的四边形是菱形。
③对角线垂直的平行四边形是菱形。
9.关于正方形:
(1)正方形的特殊性质:
①正方形是特殊的平行四边形。
②正方形是特殊的矩形。
③正方形是特殊的菱形。
④正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形。
(2)正方形的判定:
①有一组邻边相等的矩形是正方形。
②对角线垂直的矩形是正方形。
③有一个角为直角的菱形是正方形。
④对角线相等的菱形是正方形。
初二数学(上)应知应会的知识点
因式分解
1. 因式分解:把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解;注意:因式分解与乘法是相反的两个转化.
2.因式分解的方法:常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”.
3.公因式的确定:系数的最大公约数?相同因式的最低次幂.
10
注意公式:a+b=b+a; a-b=-(b-a); (a-b)2=(b-a)2; (a-b)3=-(b-a)3.
4.因式分解的公式:
(1)平方差公式: a2-b2=(a+ b)(a- b);
(2)完全平方公式: a2+2ab+b2=(a+b)2, a2-2ab+b2=(a-b)2.
5.因式分解的注意事项:
(1)选择因式分解方法的一般次序是:一 提取、二 公式、三 分组、四 十字;
(2)使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性;
(3)因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止;
(4)因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正;
(5)因式分解的最后结果要求加以整理;
(6)因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.
6.因式分解的解题技巧:(1)换位整理,加括号或去括号整理;(2)提负号;
(3)全变号;(4)换元;(5)配方;(6)把相同的式子看作整体;(7)灵活分组;(8)提取分数系数;(9)展开部分括号或全部括号;(10)拆项或补项.
7.完全平方式:能化为(m+n)2的多项式叫完全平方式;对于二次三项式x2+px+q, 有“ x2+px+q是完全平方式 ? ”.
分式
1.分式:一般地,用A、B表示两个整式,A÷B就可以表示为 的形式,如果B中含有字母,式子 叫做分式.
2.有理式:整式与分式统称有理式;即 .
3.对于分式的两个重要判断:(1)若分式的分母为零,则分式无意义,反之有意义;(2)若分式的分子为零,而分母不为零,则分式的值为零;注意:若分式的分子为零,而分母也为零,则分式无意义.
4.分式的基本性质与应用:
(1)若分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不为零的整式,分式的值不变;
(2)注意:在分式中,分子、分母、分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变;
即
(3)繁分式化简时,采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法,比较简单.
5.分式的约分:把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分;注意:分式约分前经常需要先因式分解.
6.最简分式:一个分式的分子与分母没有公因式,这个分式叫做最简分式;注意:分式计算的最后结果要求化为最简分式.
7.分式的乘除法法则: .
8.分式的乘方: .
9.负整指数计算法则:
(1)公式: a0=1(a≠0), a-n= (a≠0);
(2)正整指数的运算法则都可用于负整指数计算;
(3)公式: , ;
(4)公式: (-1)-2=1, (-1)-3=-1.
11
10.分式的通分:根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分;注意:分式的通分前要先确定最简公分母.
11.最简公分母的确定:系数的最小公倍数?相同因式的最高次幂.
12.同分母与异分母的分式加减法法则: .
13.含有字母系数的一元一次方程:在方程ax+b=0(a≠0)中,x是未知数,a和b是用字母表示的已知数,对x来说,字母a是x的系数,叫做字母系数,字母b是常数项,我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意:在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知数,用x、y、z等表示未知数.
14.公式变形:把一个公式从一种形式变换成另一种形式,叫做公式变形;注意:公式变形的本质就是解含有字母系数的方程.特别要注意:字母方程两边同时乘以含字母的代数式时,一般需要先确认这个代数式的值不为0.
15.分式方程:分母里含有未知数的方程叫做分式方程;注意:以前学过的,分母里不含未知数的方程是整式方程.
16.分式方程的增根:在解分式方程时,为了去分母,方程的两边同乘以了含有未知数的代数式,所以可能产生增根,故分式方程必须验增根;注意:在解方程时,方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式,因为可能丢根.
17.分式方程验增根的方法:把分式方程求出的根代入最简公分母(或分式方程的每个分母),若值为零,求出的根是增根,这时原方程无解;若值不为零,求出的根是原方程的解;注意:由此可判断,使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.
18.分式方程的应用:列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样,但需要增加“验增根”的程序.
数的开方
1.平方根的定义:若x2=a,那么x叫a的平方根,(即a的平方根是x);注意:(1)a叫x的平方数,(2)已知x求a叫乘方,已知a求x叫开方,乘方与开方互为逆运算.
2.平方根的性质:
(1)正数的平方根是一对相反数;
(2)0的平方根还是0;
(3)负数没有平方根.
3.平方根的表示方法:a的平方根表示为 和 .注意: 可以看作是一个数,也可以认为是一个数开二次方的运算.
4.算术平方根:正数a的正的平方根叫a的算术平方根,表示为 .注意:0的算术平方根还是0.
5.三个重要非负数: a2≥0 ,|a|≥0 , ≥0 .注意:非负数之和为0,说明它们都是0.
6.两个重要公式:
(1) ; (a≥0)
(2) .
7.立方根的定义:若x3=a,那么x叫a的立方根,(即a的立方根是x).注意:
(1)a叫x的立方数;(2)a的立方根表示为 ;即把a开三次方.
12
8.立方根的性质:
(1)正数的立方根是一个正数;
(2)0的立方根还是0;
(3)负数的立方根是一个负数.
9.立方根的特性: .
10.无理数:无限不循环小数叫做无理数.注意:?和开方开不尽的数是无理数.
11.实数:有理数和无理数统称实数.
12.实数的分类:(1) (2) .
13.数轴的性质:数轴上的点与实数一一对应.
14.无理数的近似值:实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求,则结果应该用无理数表示;如果题目有近似要求,则结果应该用无理数的近似值表示.注意:(1)近似计算时,中间过程要多保留一位;(2)要求记忆: . 三角形
几何A级概念:(要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明)
1.三角形的角平分线定义:
三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.(如图) 几何表达式举例:
(1) ∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
(2) ∵∠BAD=∠CAD
∴AD是角平分线
2.三角形的中线定义:
在三角形中,连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线(.如图)
几何表达式举例:
(1) ∵AD是三角形的中线
∴ BD = CD
(2) ∵ BD = CD
∴AD是三角形的中线
3.三角形的高线定义:
从三角形的一个顶点向它的对边画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.
(如图)
几何表达式举例:
(1) ∵AD是ΔABC的高
∴∠ADB=90°
(2) ∵∠ADB=90°
∴AD是ΔABC的高
※4.三角形的三边关系定理:
13
三角形的两边之和大于第三边,三角形的两边之差小于第三边.(如图)
几何表达式举例:
(1) ∵AB+BC>AC
∴……………
(2) ∵ AB-BC<AC
∴……………
5.等腰三角形的定义:
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. (如图)
几何表达式举例:
(1) ∵ΔABC是等腰三角形
∴ AB = AC
(2) ∵AB = AC
∴ΔABC是等腰三角形
6.等边三角形的定义:
有三条边相等的三角形叫做等边三角形. (如图)
几何表达式举例:
(1)∵ΔABC是等边三角形
∴AB=BC=AC
(2) ∵AB=BC=AC
∴ΔABC是等边三角形
7.三角形的内角和定理及推论:
(1)三角形的内角和180°;(如图)
(2)直角三角形的两个锐角互余;(如图)
(3)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和;(如图) ※(4)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
(1) (2) (3)(4) 几何表达式举例:
(1) ∵∠A+∠B+∠C=180°
∴…………………
(2) ∵∠C=90°
∴∠A+∠B=90°
(3) ∵∠ACD=∠A+∠B
∴…………………
(4) ∵∠ACD >∠A
14
∴…………………
8.直角三角形的定义:
有一个角是直角的三角形叫直角三角形.(如图)
几何表达式举例:
(1) ∵∠C=90°
∴ΔABC是直角三角形
(2) ∵ΔABC是直角三角形
∴∠C=90°
9.等腰直角三角形的定义:
两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形.(如图)
几何表达式举例:
(1) ∵∠C=90° CA=CB
∴ΔABC是等腰直角三角形
(2) ∵ΔABC是等腰直角三角形
∴∠C=90° CA=CB
10.全等三角形的性质:
(1)全等三角形的对应边相等;(如图)
(2)全等三角形的对应角相等.(如图)
几何表达式举例:
(1) ∵ΔABC≌ΔEFG
∴ AB = EF ………
(2) ∵ΔABC≌ΔEFG
∴∠A=∠E ………
11.全等三角形的判定:
“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”. (如图)
(1)(2)
(3) 几何表达式举例:
(1) ∵ AB = EF
∵∠B=∠F
又∵ BC = FG
15
∴ΔABC≌ΔEFG
(2) ………………
(3)在RtΔABC和RtΔEFG中
∵ AB=EF
又∵ AC = EG
∴RtΔABC≌RtΔEFG
12.角平分线的性质定理及逆定理:
(1)在角平分线上的点到角的两边距离相等;(如图)
(2)到角的两边距离相等的点在角平分线上.(如图)
几何表达式举例:
(1)∵OC平分∠AOB
又∵CD⊥OA CE⊥OB
∴ CD = CE
(2) ∵CD⊥OA CE⊥OB
又∵CD = CE
∴OC是角平分线
13.线段垂直平分线的定义:
垂直于一条线段且平分这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.(如图)
几何表达式举例:
(1) ∵EF垂直平分AB
∴EF⊥AB OA=OB
(2) ∵EF⊥AB OA=OB
∴EF是AB的垂直平分线
14.线段垂直平分线的性质定理及逆定理:
(1)线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等;(如图)
(2)和一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.(如图)
几何表达式举例:
(1) ∵MN是线段AB的垂直平分线
∴ PA = PB
(2) ∵PA = PB
∴点P在线段AB的垂直平分线上
16
15.等腰三角形的性质定理及推论:
(1)等腰三角形的两个底角相等;(即等边对等角)(如图)
(2)等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高”三线合一;(如图)
(3)等边三角形的各角都相等,并且都是60°.(如图)
(1) (2) (3) 几何表达式举例:
(1) ∵AB = AC
∴∠B=∠C
(2) ∵AB = AC
又∵∠BAD=∠CAD
∴BD = CD
AD⊥BC
………………
(3) ∵ΔABC是等边三角形
∴∠A=∠B=∠C =60°
16.等腰三角形的判定定理及推论:
(1)如果一个三角形有两个角都相等,那么这两个角所对边也相等;(即等角对等边)(如图)
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(如图)
(3)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形;(如图)
(4)在直角三角形中,如果有一个角等于30°,那么它所对的直角边是斜边的一半.(如图)
(1) (2)(3) (4) 几何表达式举例:
(1) ∵∠B=∠C
∴ AB = AC
(2) ∵∠A=∠B=∠C
∴ΔABC是等边三角形
(3) ∵∠A=60°
又∵AB = AC
∴ΔABC是等边三角形
(4) ∵∠C=90°∠B=30°
∴AC = AB
17.关于轴对称的定理
(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(如图)
(2)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.(如图)
几何表达式举例:
(1) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称
∴ΔABC≌ΔEGF
(2) ∵ΔABC、ΔEGF关于MN轴对称
17
∴OA=OE MN⊥AE
18.勾股定理及逆定理:
(1)直角三角形的两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2;(如图)
(2)如果三角形的三边长有下面关系: a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.(如图)
几何表达式举例:
(1) ∵ΔABC是直角三角形
∴a2+b2=c2
(2) ∵a2+b2=c2
∴ΔABC是直角三角形
19.RtΔ斜边中线定理及逆定理:
(1)直角三角形中,斜边上的中线是斜边的一半;(如图)
(2)如果三角形一边上的中线是这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.(如图)
几何表达式举例:
(1) ∵ΔABC是直角三角形
∵D是AB的中点
∴CD = AB
(2) ∵CD=AD=BD
∴ΔABC是直角三角形
几何B级概念:(要求理解、会讲、会用,主要用于填空和选择题)
一 基本概念:
三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.
二 常识:
1.三角形中,第三边长的判断: 另两边之差<第三边<另两边之和.
2.三角形中,有三条角平分线、三条中线、三条高线,它们都分别交于一点,其中前两个交点都在三角形内,而第三个交点可在三角形内,三角形上,三角形外.注意:三角形的角平分线、中线、高线都是线段.
3.如图,三角形中,有一个重要的面积等式,即:若CD⊥AB,BE⊥CA,则CD?AB=BE?CA.
4.三角形能否成立的条件是:最长边<另两边之和.
5.直角三角形能否成立的条件是:最长边的平方等于另两边的平方和.
6.分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.
7.如图,双垂图形中,有两个重要的性质,即:
(1) AC?CB=CD?AB ; (2)∠1=∠B ,∠2=∠A .
18
8.三角形中,最多有一个内角是钝角,但最少有两个外角是钝角.
9.全等三角形中,重合的点是对应顶点,对应顶点所对的角是对应角,对应角所对的边是对应边.
10.等边三角形是特殊的等腰三角形.
11.几何习题中,“文字叙述题”需要自己画图,写已知、求证、证明.
12.符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等.
13.几何习题经常用四种方法进行分析:(1)分析综合法;(2)方程分析法;
(3)代入分析法;(4)图形观察法.
14.几何基本作图分为:(1)作线段等于已知线段;(2)作角等于已知角;
(3)作已知角的平分线;(4)过已知点作已知直线的垂线;(5)作线段的中垂线;(6)过已知点作已知直线的平行线.
15.会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.
16.作图题在分析过程中,首先要画出草图并标出字母,然后确定先画什么,后画什么;注意:每步作图都应该是几何基本作图.
17.几何画图的类型:(1)估画图;(2)工具画图;(3)尺规画图. ※18.几何重要图形和辅助线:
(1)选取和作辅助线的原则:
① 构造特殊图形,使可用的定理增加;
② 一举多得;
③ 聚合题目中的分散条件,转移线段,转移角;
④ 作辅助线必须符合几何基本作图.
(2)已知角平分线.(若BD是角平分线)
① 在BA上截取BE=BC构造全等,转移线段和角;
② 过D点作DE‖BC交AB于E,构造等腰三角形 .
(3)已知三角形中线(若AD是BC的中线)
① 过D点作DE‖AC交AB于E,构造中位线 ;
② 延长AD到E,使DE=AD
连结CE构造全等,转移线段和角;
③∵AD是中线
∴SΔABD= SΔADC
(等底等高的三角形等面积)
19
(4) 已知等腰三角形ABC中,AB=AC
① 作等腰三角形ABC底边的中线AD
(顶角的平分线或底边的高)构造全
等三角形;
② 作等腰三角形ABC一边的平行线DE,构造
新的等腰三角形.
(5)其它
① 作等边三角形ABC
一边 的平行线DE,构造新的等边三角形;
② 作CE‖AB,转移角;
③ 延长BD与AC交于E,不规则图形转化为规则图形;
④ 多边形转化为三角形;
⑤ 延长BC到D,使CD=BC,连结AD,直角三角形转化为等腰三角形;
⑥ 若a‖b,AC,BC是角平
分线,则∠C=90°.
第十一章 全等三角形
一.定义
1.全等形:形状大小相同,能完全重合的两个图形.
2.全等三角形:能够完全重合的两个三角形.
二.重点
1.平移,翻折,旋转前后的图形全等.
2.全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等.
3.全等三角形的判定:
SSS三边对应相等的两个三角形全等[边边边]
20
SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等[边角边]
ASA两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等[角边角]
AAS两个角和其中一个角的对边开业相等的两个三角形全等[边角边] HL斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等[斜边,直角边]
4.角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
5.角平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
三.注意
1.记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
第十二章 轴对称
一.定义
1.如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.我们也说这个图形关于这条直线[成轴]对称.
2.把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对应点.
3.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
4.有两边相等的三角形叫做等腰三角形.
5.三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
二.重点
1.把成轴对称的两个图形看成一个整体,它就是一个轴对称图形.
2.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形关于这条轴对称.
3.垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
4.垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
5.如何做对称轴:如果两个图形成轴对称,其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.因此,我们只要找到一对再对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这个图形的对称轴.
同样,对于轴对称图形,只要找到任意一组对应点所连线段的垂直平分线,就得到此图形的对称轴.
6.轴对称图形的性质:对称轴方向和位置发生变化时,得到的图形的方向和位置也会发生变化.
由个平面图形可以得到它关于一条直线成轴对称的图形,这个图形与原图形的形状,大小完全相等.
新图形上的每一点,都是原图形上的某一点关于直线的对称点.
连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.
7.等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角相等[等边对等角]
等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线,底边上的高相互重合[三线合一]
[等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(,底边上的高,顶角平分线)所在直线就是它的对称轴.
21
等腰三角形两腰上的高或中线相等.
等腰三角形两底角平分线相等.
等腰三角形底边上高的点到两腰的距离之和等于底角到一腰的距离.
等腰三角形顶角平分线,底边上的高,底边上的中线到两腰的距离相等.]
8.等腰三角形的判定方法:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等[等角对等边].
[如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.]
9.等边三角形的性质: 等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°.
10.等边三角形的判定:等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°. 三个角都相等的三角形是等边三角形.
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
11.直角三角形的性质之一:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
12.在一个三角形中,如果两条边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角较大.
三.注意
1.(x,y)关于原点对称(-x.-y)
关于x轴对称(x,-y)
关于y轴对称(-x,y)
2.用坐标表示轴对称.
第十三章 实数
一.定义
1.一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a叫做被开方数.
2.一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根,求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.
3.一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根.求一个数的立方根的运算,叫做开立方.
4.任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
5.无限不循环小数又叫无理数.
6.有理数和无理数统称实数.
7.数轴上的点与实数一一对应.平面直角坐标系中与有序实数对之间也是一一对应的.
二.重点
1.平方与开平方互为逆运算.
2.正数的平方根有两个,它们互为相反数,其中正的平方根就是这个数的算术平方根.
3.当被开方数的小数点向右每移动两位,它的算术平方根的小数点就向右移动一位.
4.当被平方数小数点每向右移动三位,它的立方根小数点向右移动一位. 22
5. 数a的相反数是-a[a为任意实数],一个正实数的绝对值是它本身,一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.
三.注意
1.被开方数一定是非负数.
2. 0,1的算术平方根是它本身;0的平方根是0,负数没有平方根;正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0.
3.带根号的无理数的整数倍或几分之几仍是无理数;带根号的数若开之后是有理数则是有理数;任何一个有理数都能写成分数的形式.
第十四章 一次函数
一.定义
1.在按某种规律变化的过程中,数值发生变化的量为变量,始终不变的是常量.
2.一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么x是自变量,y是x的函数.如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
3.一般地,形如y=kx[k是常数,k≠0]的函数,叫做正比例函数.其中k叫做比例系数.[一个数字与一个自变量的积的形式]
4.形如y=kx+b[k,b为常数,k≠0]的函数,叫做一次函数.
二.重点
1.自变量的取值范围:
(1)整式型 y=3x+1——全体实数
(2)分式型 ——使分母不为0
(3)根式型 ——使被开方数非负
(4)综合型
2.作函数图象的一般步骤:
(1)列表
(2)描点
(3)连线
3.一般地,正比例函数y=kx[k是常数,k≠0]的图象是一条经过原点的直线,我们称它为直线y=kx,当k>0时,直线y=kx经过第一三象限,y随x的增大而增大;当k<0时,直线y=kx经过第二四象限,y随x的增大而减小.
4.待定系数法的应用.
5.用函数图象看一元一次方程的解.[2x+5=17]
解:原方程化为2x-12=0
画出y=2x-12的图象
…
由图象可知,直线y=x-12与x轴的交点为(6,0)
所以x=6
6.用函数图象看一元一次不等式[5x+6>3x+10]
解1:原不等式化为2x-4>0
画出函数y=2x-4的图象
…
由图象可知,当x>2时直线y=2x-4的图象在x轴上方
所以不等式2x-4>0的解集为x>2
23
所以原不等式的解集为x>2
解2:画出函数y1=5x+6,y2=x+10的图象
…
由图象可知,当x>2时,直线y1的图象在y2的上方,即y1>y2
所以不等式5x+6>3x+10的解集为x>2
7.用函数图象看二元一次方程组
解:原方程组化为{[用含x的式子表示y的形式]
画出函数 和 的图象
…
由图象可知,直线 与 的交点为(1,1)
所以方程组{…的解为{x=1,y=1
所以原方程组的解为{x=1,y=1
三.注意
1.常量和变量相对而言,不是永远不变的.
2.反比例函数的图像是双曲线.
3.正比例函数是一种特殊的一次函数.
4.选择方案.
第十五章 整式的乘除与因式分解
一.定义
1.整式乘法
(1).am?an=am+n[m,n都是正整数]
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
(2).(am)n=amn[m,n都是正整数]
幂的乘方,底数不变,指数相乘.
(3).(ab)n=anbn[n为正整数]
积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.
(4).ac5?bc2=(a?b) ?(c5?c2)=abc5+2=abc7
单项式与单项式相乘,把它们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
(5).m(a+b+c)=ma+mb+mc
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,
(6).(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相乘.
2.乘法公式
(1).(a+b)(a-b)=a2-b2
平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
(2).(a±b)2=a2±2ab+b2
完全平方公式:两数和[或差]的平方,等于它们的平方和,加[或减]它们积的2倍.
3.整式除法
(1)am÷an=am-n[a≠0,m,n都是正整数,且m>n]
同底数幂相除,底数不变,指数相减.
(2)a0=1[a≠0]
24
任何不等于0的数的0次幂都等于1.
(3)单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.
(4)多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.
4.把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.
二.重点
1.(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
2.x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)
3.因式分解两种基本方法:
(1)提公因式法.提取:数字是各项的最大公约数,各项都含的字母,指数是各项中最低的.
(2)公式法.
①a2-b2=(a+b)(a-b)
两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积
②a2±2ab+b2=(a±b)2
两个数的平方和加上[或减去]这两个数的积的2倍,等于这两个数的和[或差]的平方.
三.注意
1.添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面时负号,括到括号里的各项都改变符号.
第十一章 全等三角形
一.定义
1.全等形:形状大小相同,能完全重合的两个图形.
2.全等三角形:能够完全重合的两个三角形.
二.重点
1.平移,翻折,旋转前后的图形全等.
2.全等三角形的性质:全等三角形的对应边相等,全等三角形的对应角相等.
3.全等三角形的判定:
SSS三边对应相等的两个三角形全等[边边边]
SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等[边角边]
ASA两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等[角边角]
AAS两个角和其中一个角的对边开业相等的两个三角形全等[边角边] HL斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等[斜边,直角边]
4.角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
5.角平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
三.注意
1.记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
第十二章 轴对称
一.定义
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1.如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.我们也说这个图形关于这条直线[成轴]对称.
2.把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线叫做对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫做对应点.
3.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
4.有两边相等的三角形叫做等腰三角形.
5.三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
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