《圆锥曲线》知识要点及重要结论

一、椭圆

1 定义 平面内到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆.若，点的轨迹是线段.若，点不存在.

2 标准方程  ，两焦点为.

，两焦点为.其中.

3 几何性质 

椭圆是轴对称图形，有两条对称轴. 椭圆是中心对称图形，对称中心是椭圆的中心.

椭圆的顶点有四个，长轴长为，短轴长为，椭圆的焦点在长轴上.

若椭圆的标准方程为，则；

若椭圆的标准方程为，则.

二、双曲线

1 定义  平面内到两定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线. 若，点的轨迹是两条射线.若，点不存在.

2 标准方程  ，两焦点为.

，两焦点为.其中.

3 几何性质 

双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对称图形，对称中心是双曲线的中心.

双曲线的顶点有两个，实轴长为，虚轴长为，双曲线的焦点在实轴上.

若双曲线的标准方程为，则；

若双曲线的标准方程为，则.

4 渐近线 

双曲线有两条渐近线和.即

双曲线有两条渐近线和.即

双曲线的渐进线是它的重要几何特征，每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线，但对于同一组渐进线却对应无数条双曲线.

与双曲线共渐进线的双曲线可表示为.

直线与双曲线有两个交点的条件，一定要“消元后的方程的二次项系数”和“”同时成立.

5 等轴双曲线：实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线.

等轴双曲线的标准方程为或.

等轴双曲线的渐近线方程为.

6 共轭双曲线：实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线.

如：的共轭双曲线为，它们的焦点到原点的距离相等，因而在以原点为圆心，为半径的圆上.且它们的渐近线都是

和.

三、抛物线

1 定义 平面内与一个定点和一条定直线不在上) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.

2 标准方程

(1) ，焦点为，准线方程为，抛物线张口向右.

(2) ，焦点为，准线方程为，抛物线张口向左.

(3) ，焦点为，准线方程为，抛物线张口向上.

(4) ，焦点为，准线方程为，抛物线张口向下.

其中表示焦点到准线的距离.

3 几何性质

抛物线是轴对称图形，有一条对称轴.若方程为或，则对称轴是轴，若方程为或，则对称轴是轴.

若抛物线方程为，则.

若抛物线方程为，则.

若抛物线方程为，则.

若抛物线方程为，则.

圆锥曲线的一些重要结论

【几个重要结论】

1 已知椭圆的两焦点为，为椭圆上一点，则

因为，，

所以. 同理，.

已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上一点，则，.

2 椭圆的两焦点为，为椭圆上一点，若，则的面积为.

解：根据椭圆的定义可得 ①

由余弦定理可得 ②

由①②得.从而

所以，的面积为

双曲线的两焦点为，为其上一点，若，则的面积为.

3已知椭圆，是上关于原点对称的两点，点是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值.

解：设，则.

，从而.

又因为都在椭圆上，故.

两式相减得，，因而即.

类似结论

已知双曲线.是上关于原点对称的两点，点是双曲线上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值.

【常用方法】

1 在求轨迹方程时，若条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以用定义求轨迹方程，这是常用求轨迹的数学方法，称为定义法.

2本章经常会碰到直线与圆锥曲线相交于两点的问题，若已知过定点，则可设的方程为或.然后分两种情况进行研究，一般处理方法是把直线方程代入曲线的方程中，整理得到关于或的一元二次方程(要注意二次项系数是否为零).韦达定理和判别式经常要用到！若的条件不明显时，则可设的方程为或.

3 本章还经常用到“点差法”：设直线与圆锥曲线交于点,则两点坐标都满足曲线的方程，然后把这两个结构相同的式子相减，整理可以得到直线的斜率的表达式，也经常会出现，这样又可以与线段的中点联系起来！

4 若三点满足以线段为直径的圆经过点或时，常用处理方法有：

①根据勾股定理可得；

②根据的斜率与的斜率之积为，可得；

③根据可得

.

5求轨迹方程的方法常见的有：直接法、定义法、待定系数法、代入法（也叫相关点法）.

圆锥曲线中有用的结论

1 椭圆的参数方程是.　

离心率，

△PF₁F₂中，记, ,，则有.

线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离(焦准距)。

过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为：.

2 椭圆焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:

，；。

3椭圆的的内外部:

（1）点在椭圆的内部.

（2）点在椭圆的外部.

4椭圆的切线方程:

(1) 椭圆上一点处的切线方程是.

   （2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.

   （3）椭圆与直线相切的条件是.

5 双曲线的离心率，

△PF₁F₂中，记, ,，则有.

焦点在x轴的与焦点在y轴的共渐近线，它们离心率满足关系　

准线到中心的距离为，焦点到对应准线的距离(焦准距)。

过焦点且垂直于实轴的弦叫通经，其长度为：.

焦半径公式，，

两焦半径与焦距构成三角形的面积。

6 双曲线的方程与渐近线方程的关系:

(1）若双曲线方程为渐近线方程：.

  

 (2)若渐近线方程为双曲线可设为 .

(3)若双曲线与有公共渐近线，可设为

（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）.

(4) 焦点到渐近线的距离总是。

7双曲线的切线方程:

   (1)双曲线上一点处的切线方程是.

  (2)过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.

  （3）双曲线与直线相切的条件是.

8抛物线的焦半径公式:

抛物线焦半径.

过焦点弦长=

9 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或

（弦端点A，由方程 消去y得到

,为直线的倾斜角，为直线斜率，

10. 经过抛物线y²=2px (p>0)  (*)的焦点作一条直线交抛物线于A(x₁ ,y₁)、B(x₂, y₂) ,则

①l的方程为x= (通经所在直线)，或y=k(x－) (**)

②(*)、(**)两式联立：消x得，得y₁y₂=－p²（定值）消y得方程，得x₁x₂=(定值)

例题：若P₁(x₁ ,y₁), P₂(x₂, y₂)是抛物线y²=2px (p>0)上不同的两点，则“y₁y₂=－p²”是“直线P₁P₂过抛物线焦点F”的充要条件．

11.   ①以焦点弦AB为直径的圆必与准线相切。

　　②以焦半径为直径的圆必与y轴相切（请证明！）

③过A、B作准线的垂线，焦点弦AB与准线形成的直角梯形ABB^/A^/ 的对角线的交点是原点．

④T（2p,0）是抛物线y²=2px对称轴y=0上的特殊点，过此点的弦与抛物线交于P、Q，则有∠POQ=90^o或说。

12.中点弦公式1. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。

2.AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。

13.抛物线上的动点可设为P或 P，其中 .

16. 双曲线（a＞0,b＞0）与直线有公共点的充要条件是.

15.焦点在x轴的与焦点在y轴的共渐近线，它们离心率满足关系　

第二篇：圆锥曲线知识要点及重要结论

《圆锥曲线》知识要点及重要结论

一、椭圆

1 定义 平面内到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆.若，点的轨迹是线段.若，点不存在.

2 标准方程  ，两焦点为.

，两焦点为.其中.

3 几何性质 

椭圆是轴对称图形，有两条对称轴. 椭圆是中心对称图形，对称中心是椭圆的中心.

椭圆的顶点有四个，长轴长为，短轴长为，椭圆的焦点在长轴上.

若椭圆的标准方程为，则；

若椭圆的标准方程为，则.

二、双曲线

1 定义  平面内到两定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线. 若，点的轨迹是两条射线.若，点不存在.

2 标准方程  ，两焦点为.

，两焦点为.其中.

3 几何性质 

双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对称图形，对称中心是双曲线的中心.

双曲线的顶点有两个，实轴长为，虚轴长为，双曲线的焦点在实轴上.

若双曲线的标准方程为，则；

若双曲线的标准方程为，则.

4 渐近线 

双曲线有两条渐近线和.即

双曲线有两条渐近线和.即

双曲线的渐进线是它的重要几何特征，每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线，但对于同一组渐进线却对应无数条双曲线.

与双曲线共渐进线的双曲线可表示为.

直线与双曲线有两个交点的条件，一定要“消元后的方程的二次项系数”和“”同时成立.

5 等轴双曲线：实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线.

等轴双曲线的标准方程为或.

等轴双曲线的渐近线方程为.

6 共轭双曲线：实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线.

如：的共轭双曲线为，它们的焦点到原点的距离相等，因而在以原点为圆心，为半径的圆上.且它们的渐近线都是

和.

三、抛物线

1 定义 平面内与一个定点和一条定直线不在上) 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.

2 标准方程

(1) ，焦点为，准线方程为，抛物线张口向右.

(2) ，焦点为，准线方程为，抛物线张口向左.

(3) ，焦点为，准线方程为，抛物线张口向上.

(4) ，焦点为，准线方程为，抛物线张口向下.

其中表示焦点到准线的距离.

3 几何性质

抛物线是轴对称图形，有一条对称轴.若方程为或，则对称轴是轴，若方程为或，则对称轴是轴.

若抛物线方程为，则.

若抛物线方程为，则.

若抛物线方程为，则.

若抛物线方程为，则.

圆锥曲线的一些重要结论

【几个重要结论】

1 已知椭圆的两焦点为，为椭圆上一点，则

因为，，

所以. 同理，.

已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上一点，则，.

2 椭圆的两焦点为，为椭圆上一点，若，则的面积为.

解：根据椭圆的定义可得 ①

由余弦定理可得 ②

由①②得.从而

所以，的面积为

双曲线的两焦点为，为其上一点，若，则的面积为.

3已知椭圆，是上关于原点对称的两点，点是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值.

解：设，则.

，从而.

又因为都在椭圆上，故.

两式相减得，，因而即.

类似结论

已知双曲线.是上关于原点对称的两点，点是双曲线上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值.

【常用方法】

1 在求轨迹方程时，若条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以用定义求轨迹方程，这是常用求轨迹的数学方法，称为定义法.

2本章经常会碰到直线与圆锥曲线相交于两点的问题，若已知过定点，则可设的方程为或.然后分两种情况进行研究，一般处理方法是把直线方程代入曲线的方程中，整理得到关于或的一元二次方程(要注意二次项系数是否为零).韦达定理和判别式经常要用到！若的条件不明显时，则可设的方程为或.

3 本章还经常用到“点差法”：设直线与圆锥曲线交于点,则两点坐标都满足曲线的方程，然后把这两个结构相同的式子相减，整理可以得到直线的斜率的表达式，也经常会出现，这样又可以与线段的中点联系起来！

4 若三点满足以线段为直径的圆经过点或时，常用处理方法有：

①根据勾股定理可得；

②根据的斜率与的斜率之积为，可得；

③根据可得

.

5求轨迹方程的方法常见的有：直接法、定义法、待定系数法、代入法（也叫相关点法）.