高二数学圆锥曲线知识整理

知识整理

解析几何的基本问题之一：如何求曲线（点的轨迹）方程。它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程，常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法、交轨法、参数法等求轨迹的方法外，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程（等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。

在基本轨迹中，除了直线、圆外，还有三种圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线。

1、三种圆锥曲线的研究

   （1）统一定义，三种圆锥曲线均可看成是这样的点集：，其中F为定点，d为P到定直线的l距离，Fl，如图。

因为三者有统一定义，所以，它们的一些性质，研究它们的一些方法都具有规律性。

当0<e<1时，点P轨迹是椭圆；当e>1时，点P轨迹是双曲线；当e=1时，点P轨迹是抛物线。

   （2）椭圆及双曲线几何定义：椭圆：{P||PF₁|+|PF₂|=2a，2a>|F₁F₂|>0，F₁、F₂为定点}，双曲线{P|||PF₁|-|PF₂||=2a，|F₁F₂|>2a>0，F₁，F₂为定点}。

   （3）圆锥曲线的几何性质：几何性质是圆锥曲线内在的，固有的性质，不因为位置的改变而改变。

①定性：焦点在与准线垂直的对称轴上

椭圆及双曲线中：中心为两焦点中点，两准线关于中心对称；椭圆及双曲线关于长轴、短轴或实轴、虚轴成轴对称，关于中心成中心对称。

②定量：

   （4）圆锥曲线的标准方程及解析量（随坐标改变而变）

举焦点在x轴上的方程如下：

总之研究圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。

2、直线和圆锥曲线位置关系

（1）位置关系判断：△法（△适用对象是二次方程，二次项系数不为0）。

其中直线和曲线只有一个公共点，包括直线和双曲线相切及直线与双曲线渐近线平行两种情形；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。

直线和抛物线只有一个公共点包括直线和抛物线相切及直线与抛物线对称轴平行等两种情况；后一种情形下，消元后关于x或y方程的二次项系数为0。

（2）直线和圆锥曲线相交时，交点坐标就是方程组的解。

 当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法。

    4、圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考，一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。

例题研究

例1、 根据下列条件，求双曲线方程。

（1）与双曲线有共同渐近线，且过点（-3，）；

（2）与双曲线有公共焦点，且过点（，2）。

分析：

法一：（1）双曲线的渐近线为

令x=-3，y=±4，因，故点（-3，）在射线（x≤0）及x轴负半轴之间，

∴ 双曲线焦点在x轴上

设双曲线方程为，（a>0，b>0）

 

解之得：

∴ 双曲线方程为

   （2）设双曲线方程为（a>0，b>0）

则

解之得：

∴ 双曲线方程为

法二：（1）设双曲线方程为（λ≠0）

∴

∴

∴ 双曲线方程为

（3）设双曲线方程为

 ∴

解之得：k=4

∴ 双曲线方程为

评注：与双曲线共渐近线的双曲线方程为（λ≠0），当λ>0时，焦点在x轴上；当λ<0时，焦点在y轴上。与双曲线共焦点的双曲线为（a²+k>0，b²-k>0）。比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想。

例2、设F₁、F₂为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F₁、F₂是一个直角三角形的三个顶点，且|PF₁|>|PF₂|，求的值。

解题思路分析：

当题设涉及到焦半径这个信息时，通常联想到椭圆的两个定义。

法一：当∠PF₂F₁=90⁰时，由得：

   ，

∴

当∠F₁PF₂=90⁰时，同理求得|PF₁|=4，|PF₂|=2

∴

法二：当∠PF₂F₁=90⁰，

∴

∴ P（）

又F₂（，0）

∴ |PF₂|=

∴ |PF₁|=2a-|PF₂|=

当∠F₁PF₂=90⁰，由得：

   P（）。下略。

评注：由|PF₁|>|PF₂|的条件，直角顶点应有两种情况，需分类讨论。

例3、设点P到M（-1，0），N（1，0）的距离之差为2m，到x轴、y轴的距离之比为2，求m取值范围。

分析：

根据题意，从点P的轨迹着手

∵ ||PM|-|PN||=2m

∴ 点P轨迹为双曲线，方程为（|m|<1）  ①

又y=±2x（x≠0）    ②

①②联立得：

将此式看成是关于x的二次函数式，下求该二次函数值域，从而得到m 的取值范围。

根据双曲线有界性：|x|>m，x²>m²

∴

又0<m²<1

∴ 1-5m²_>0

∴ 且m≠0

∴

评注：利用双曲线的定义找到点P轨迹是重要一步，当题目条件有等量关系时，一般考虑利用函数思想，建立函数关系式。

例4、已知x²+y²=1，双曲线(x-1)²-y²=1，直线l同时满足下列两个条件：①与双曲线交于不同两点；②与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线l方程。

分析：

选择适当的直线方程形式，把条件“l是圆的切线”“切点M是弦AB中点”翻译为关于参数的方程组。

法一：当l斜率不存在时，x=-1满足；

当l斜率存在时，设l：y=kx+b

l与⊙O相切，设切点为M，则|OM|=1

∴

∴ b²=k²+1    ①

由得：(1-k²)x²-2(1+kb)x-b²=0

当k≠±1且△>0时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则中点M（x₀，y₀），

∴ y₀=kx₀+b=

∵ M在⊙O上

∴ x₀²+y₀²=1

∴ (1+kb)²+(k+b)²=(1-k²)²   ②

由①②得： 或

∴ l：或

法二：设M（x₀，y₀），则切线AB方程x₀x+y₀y=1

当y₀=0时，x₀=±1，显然只有x=-1满足；

当y₀≠0时，

代入(x-1)²-y²=1得：(y₀²-x₀²)x²+2(x₀-y₀)²x-1=0

∵ y₀²+x₀²=1

∴ 可进一步化简方程为：(1-2x₀²)x²+2(x₀²+x₀-1)x-1=0

由中点坐标公式及韦达定理得：∴

即2x₀³-x₀²-2x₀+1=0

解之得：x₀=±1(舍)，x₀=

∴ y₀=。下略

评注：不管是设定何种参数，都必须将形的两个条件（“相切”和“中点”）转化为关于参数的方程组，所以提高阅读能力，准确领会题意，抓住关键信息是基础而又重要的一步。

例5、A、B是抛物线y²=2px（p>0）上的两点，且OA⊥OB，

（1）求A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积；

（2）求证：直线AB过定点；

（3）求弦AB中点P的轨迹方程；

（4）求△AOB面积的最小值；

（5）O在AB上的射影M轨迹方程。

分析：

 设A（x₁,y₁），B（x₂,y₂），中点P（x₀,y₀）

（1）

 ∵ OA⊥OB

 ∴ k_OAk_OB=-1

 ∴ x₁x₂+y₁y₂=0

 ∵ y₁²=2px₁，y₂²=2px₂

 ∴

 ∵ y₁≠0，y₂≠0

 ∴ y₁y₂=-4p²

 ∴ x₁x₂=4p²

   （2）∵ y₁²=2px₁，y₂²=2px₂

∴ （y₁-y₂）(y₁+y₂)=2p(x₁-x₂)

∴

∴

∴ 直线AB：

∴

∴

∵

∴

∴

∴ AB过定点（2p，0），设M（2p，0）

   （3）设OA∶y=kx，代入y²=2px得：x=0，x=

∴ A（）

同理，以代k得B（2pk²，-2pk）

∴

∵

∴

即y₀²=px₀-2p²

∴ 中点M轨迹方程y²=px-2p²

   （4）

              ≥ 

当且仅当|y₁|=|y₂|=2p时，等号成立

    评注：充分利用（1）的结论。

   （5）法一：设H（x₃,y₃），则

∴

∴ AB：

即代入y²=2p得

由（1）知，y₁y₂=-4p²

∴

整理得：x₃²+y₃²-2px₃=0

∴ 点H轨迹方程为x²+y²-4x=0（去掉（0，0））

法二：∵ ∠OHM=90⁰，又由（2）知OM为定线段

∴ H在以OM为直径的圆上

∴ 点H轨迹方程为(x-p)²+y²=p²，去掉（0，0）

例6、设双曲线上两点A、B，AB中点M（1，2）

（1）求直线AB方程；

   （2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D是否共圆，为什么？

分析：

（1）法一：显然AB斜率存在

 设AB：y-2=k(x-1)

 由得：(2-k²)x²-2k(2-k)x-k²+4k-6=0

 当△>0时，设A（x₁,y₁），B（x₂,y₂）

 则

 ∴ k=1，满足△>0

 ∴ 直线AB：y=x+1

 法二：设A（x₁,y₁），B（x₂,y₂）

 则

 两式相减得：(x₁-x₂)(x₁+x₂)=(y₁-y₂)(y₁+y₂)

 ∵ x₁≠x₂

 ∴

 ∴

 ∴ AB：y=x+1

 代入得：△>0

    评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件△>0是否成立。

   （2）此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件。

本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心

设A、B、C、D共圆于⊙OM，因AB为弦，故M在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦，故圆心M为CD中点。因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|

由得：A（-1，0），B（3，4）

又CD方程：y=-x+3

由得：x²+6x-11=0

设C（x₃,y₃），D（x₄,y₄），CD中点M（x₀,y₀）

则

∴ M（-3，6）

∴ |MC|=|MD|=|CD|=

又|MA|=|MB|=

∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD|

∴ A、B、C、D在以CD中点，M（-3，6）为圆心，为半径的圆上

评注：充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视。

第二篇：人教A版选修2-1圆锥曲线

数学选修2—1圆锥曲线测试题

 （时间120分钟  总分150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。）

1． 中心在原点，准线方程为x＝±4，离心率为的椭圆方程是       （  ）

A．             B．

C．                  D．

2． AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是    （    ）

A．2                           B．           

C．                   D．

3． 若双曲线的一条准线与抛物线y2＝8x的准线重合，则双曲线的离心率为  （  ）

A．                 B．

C．4                            D．

4． 已知抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1), B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1x2＝, 那么m的值等于（  ）

A．                 B．        

C． 2                D．3

5．已知双曲线x2－＝1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且＝0，则点M到x轴的距离为              （  ）

A．                 B．

C．               D．

6．点P(－3，1)在椭圆(a>b>0)的左准线上，过点P且方向为＝(2,－5)的光线，经直线y＝－2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为                  （  ）

A．              B．   

C．               D．

7． 椭圆上有n个不同的点：P1，P2，…，Pn，椭圆的右焦点为F，数列{|PnF|}是公差大于的等差数列，则n的最大值是                         （  ）

A．198          B．199

C．200           D．201

8． 过点(4, 0)的直线与双曲线的右支交于A、B两点，则直线AB的斜率k的取值范围是（  ）

A．| k |≥1                    B．| k | >

C．| k |≤          D．| k | < 1

9． 已知θ为三角形的一个内角，且sinθ＋cosθ＝，则方程x2sinθ－y2cosθ＝1表示           （  ）

A．焦点在x轴上的椭圆

B．焦点在y轴上的椭圆

C．焦点在x轴上的双曲线

D．焦点在y轴上的双曲线

10．下列图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2为焦点，设图①、②、③中的双曲线离心率分别为e1、e2、e3，则（  ）

 

A．e1 > e2 > e3           B．e1 < e2 < e3

C．e1＝e2 < e3                 D．e1＝e2 > e3

11. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;

则的面积为           (   )

A.           B.         C.            D.

12. 设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为、F2分别是双曲线的左、右焦点，若，则（     ）

  A. 1或5               B. 1或9     　        C. 1             D. 9

二填空（本大题共4小题，每小题4分，共16分。）

13．抛物线y＝x2上到直线2x－y＝4的距离最近的点是        .

14. 椭圆的焦点在y轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4, 短轴长为8, 则椭圆的标准方程是                ..

15．椭圆中，以M(－1，2)为中点的弦所在直线的方程为             .

16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：

① 设A、B为两个定点，k为非零常数，若，则动点P的轨迹为双曲线；

② 过定圆C上一定点A作圆的动弦AB、O为坐标原点，若()，则动点P的轨迹为椭圆；

③方程2x2－5x＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④ 双曲线与有相同的焦点．

其中真命题的序号为     （写出所有真命题的序号）．

二解答题（本大题共6小题，共74分。）

17 （12分）在曲线上任取一点，过点作轴的垂线段，为

垂足， 当点在曲线上运动时，线段的中点的轨迹为曲线C，

（1）求曲线C的方程；

（2）当k分别取何值时，直线y=kx+1与曲线C有一个公共点，两个公共点，没有公共点？

18 （12分）椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB＝2，OC的斜率为，求椭圆的方程．

19 （12分） 如图，直线l1和l2相交于点M，l1 ⊥l2，点N∈l1．以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线C的方程．

20．（12分）设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60°，＝2.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)如果|AB|＝，求椭圆C的方程．

21（12分）已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)经过点A(2,1)，离心率为，过点B(3,0)的直线l与椭圆交于不同的两点M，N.

(1)求椭圆的方程； (2)求·的取值范围．

22（14分）已知过点A(－4,0)的动直线l与抛物线G：x2＝2py(p＞0)相交于B、C两点．当直线l的斜率是时，＝4.

(1)求抛物线G的方程；

(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围．