初三数学二次函数知识点总结
一、二次函数概念:
1.二次函数的概念:一般地,形如(是常数,)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
2. 二次函数的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2.
⑵ 是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项.
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式:的性质:
a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
2. 的性质:
上加下减。
3. 的性质:
左加右减。
4. 的性质:
三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤:
方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;
⑵ 保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下:
2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移,负左移;值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
方法二:
⑴沿轴平移:向上(下)平移个单位,变成
(或)
⑵沿轴平移:向左(右)平移个单位,变成(或)
四、二次函数与的比较
从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中.
五、二次函数图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.
六、二次函数的性质
1. 当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为.
当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大;当时,有最小值.
2. 当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为.当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小;当时,有最大值.
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:(,,为常数,);
2. 顶点式:(,,为常数,);
3. 两根式:(,,是抛物线与轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数
二次函数中,作为二次项系数,显然.
⑴ 当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;
⑵ 当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.
总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.
2. 一次项系数
在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴.
⑴ 在的前提下,
当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧.
⑵ 在的前提下,结论刚好与上述相反,即
当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧;
当时,,即抛物线的对称轴就是轴;
当时,,即抛物线对称轴在轴的左侧.
总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置.
的符号的判定:对称轴在轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是“左同右异”
总结:
3. 常数项
⑴ 当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的纵坐标为正;
⑵ 当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点的纵坐标为;
⑶ 当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的纵坐标为负.
总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置.
总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的.
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
九、二次函数与一元二次方程:
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况):
一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.
图象与轴的交点个数:
① 当时,图象与轴交于两点,其中的是一元二次方程的两根.这两点间的距离.
② 当时,图象与轴只有一个交点;
③ 当时,图象与轴没有交点.
当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有;
当时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有.
2. 抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为,;
3. 二次函数常用解题方法总结:
⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶ 根据图象的位置判断二次函数中,,的符号,或由二次函数中,,的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式本身就是所含字母的二次函数;下面以时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:
第二篇:初中二次函数常考知识点总结
二次函数常考知识点总结
一、 函数定义与表达式
1. 一般式:(,,为常数,);
2. 顶点式:(,,为常数,);
3. 交点式:(,,是抛物线与轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与 轴有交点,即 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化二、 函数图像的性质——抛物线
(1)开口方向——二次项系数
二次函数中,作为二次项系数,显然.
当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,开口越大;
当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,开口越大.
总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小.IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.
(2)抛物线是轴对称图形,对称轴为直线
一般式:
对称轴 顶点式:x=h
两根式:x=
(3)对称轴位置
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。(“左同右异”)
a与b同号(即ab>0) 对称轴在y轴左侧
a与b异号(即ab<0) 对称轴在y轴右侧
(4)增减性,最大或最小值
当a>0时,在对称轴左侧(当时),y随着x的增大而减少;在对称轴右侧(当时),y随着x的增大而增大;
当a<0时,在对称轴左侧(当时),y随着x的增大而增大;在对称轴右侧(当时),y随着x的增大而减少;
当a>0时,函数有最小值,并且当x=,;当a<0时,函数有最大值,并且当x=,;
(5)常数项c
常数项c决定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于(0,c)。
(6) a\b\c符号判别
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 中a、b、c的符号判别:
(1)a的符号判别由开口方向确定:当开口向上时,a>0;当开口向下时,a<0;
(2)c的符号判别由与Y轴的交点来确定:若交点在X轴的上方,则c>0;若交点在X轴的下方,则C<0;
(3)b的符号由对称轴来确定:对称轴在Y轴的左侧,则a、b同号;若对称轴在Y 轴的右侧,则a、b异号;
(7)抛物线与x轴交点个数
Δ= b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
这两点间的距离
Δ= b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。 顶点在x轴上。
Δ= b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。( 当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有;当时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有.)
(8)特殊的
①二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与X轴只有一个交点或二次函数的顶点在X轴上,则
Δ=b2-4ac=0;
②二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点在Y轴上或二次函数的图象关于Y轴对称,则b=0;
③二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点,则c=0;
三、平移、平移步骤:
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标;
⑵ 左右平移变h,左加右减;上下平移变k,上加下减。
随堂练:
一、选择题:
1、对于的图象下列叙述正确的是 ( )
A 的值越大,开口越大
B 的值越小,开口越小
C 的绝对值越小,开口越大
D 的绝对值越小,开口越小
2、对称轴是x=-2的抛物线是( )
A. .y= -2x2-8x B y= 2x2-2
C . y=2(x-1)2+3 D. y=2(x+1)2-3
3、与抛物线的形状大小开口方向相同,只有位置不同的抛物线是( )
A. B. C. D.
4、二次函数的图象上有两点(3,-8)和(-5,-8),则此拋物线的对称轴是( )
A.x=4 B. x=3 C. x=-5 D. x=-1。
5、抛物线的图象过原点,则为( )
A.0 B.1 C.-1 D.±1
6、把二次函数配方成顶点式为( )
A. B.
C. D.
7、直角坐标平面上将二次函数y=-2(x-1)2-2的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,则其顶点为( )
A.(0,0) B.(1,-2) C.(0,-1) D.(-2,1)
8、函数的图象与轴有交点,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
9、抛物线则图象与轴交点为 ( )
A. 二个交点 B. 一个交点 C. 无交点 D. 不能确定
10、二次函数
的图象如图所示,则,
,,
这四个
式子中,值为正数的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题:
1、已知抛物线,请回答以下问题:
它的开口向 ,对称轴是直线 ,顶点坐标为 ;
2、抛物线过第二、三、四象限,则 0, 0, 0.
3、抛物线可由抛物线向 平移 个单位得到.
4、抛物线在轴上截得的线段长度是 .
5、抛物线,若其顶点在轴上,则 .
6、已知二次函数,则当 时,其最大值为0.
7.二次函数的值永远为负值的条件是 0, 0.
8.已知抛物线与轴交于点A,与轴的正半轴交于B、C两点,且BC=2,
S△ABC=3,则= ,= .
三、解答
1、已知二次函数y=2x²-4x-6 求:此函数图象的顶点坐标,与x轴、y轴的交点坐标
2、已知抛物线与y轴交于C(0,c)点,与x轴交于B(c,0),其中c>0,
(1) 求证: b+1+ac=0
(2)若C与B两点距离等于,一元二次方程的两根之差的绝对值等于1,求抛物线的解析式.
四、二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便.一般来说,有如下几种情况:
1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用交点式;
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式.
随堂练:
1、 已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1,图象交Y轴于点(0,2),且过点(-1,0)求这个二次函数的解析式;
2、 已知抛物线的顶点坐标为(-1,-2),且通过点(1,10),求此二次函数的解析式;
3、 已知抛物线的对称轴为直线x=2, 且通过点(1,4)和点(5,0),求此抛物线的解析式;
4、 已知抛物线与X轴交点的横坐标为-2和1 ,且通过点(2,8),求二次函数的解析式;
5、 已知抛物线通过三点(1,0),(0,-2),(2,3)求此抛物线的解析式;
6、 抛物线的顶点坐标是(6,-12),且与X轴的一个交点的横坐标是8,求此抛物线的解析式;
7、 抛物线经过点(4,-3),且当x=3时,y最大值=4,求此抛物线的解析式;
8.如图,在同一直角坐
标系中,二次函数的图象
与两坐标轴分别交于
A(-1,0)、点B(3,0)
和点C(0,-3),一次函数
的图象与抛物线交于B、C两点。
⑴二次函数的解析式为 .
⑵当自变量 时,两函数的函数值都随增大而增大.
⑶ 自变量 时,一次函数值大于二次函数值.
9、顶点为(-2,-5)且过点(1,-14)的抛物线的解析式为 .
10、对称轴是轴且过点A(1,3)、点B(-2,-6)的抛物线的解析式为 .
11、有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点:
甲:对称轴是直线x=4;
乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;
丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:
五、二次函数解析式中各参数对图象的影响
a──开口方向与开口大小(即决定抛物线的形状)
h──顶点横坐标即对称轴的位置(沿x轴左右平移:“左加/右减”)
k──顶点纵坐标即最 值的大小(沿y轴上下平移:“上加/下减”)
b──与a一起影响对称轴相对于y轴的位置(“左同/右异”)
c──与y轴交点(0,c)的位置(c>0时在x轴上方;c<0时在x轴下方;c=0时必过原点)
特殊点纵坐标的位置:如(1,a+b+c)、(-1,a-b+c)等
六、二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系(a≠0)
一元二次方程ax2+bx+c=0
的解是二次函数y=ax2+bx+c
的图象与x轴交点的横坐标
即 ;
一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是二次函
数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的点对应的横坐标的范围,即 ;
一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集是二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴下方的点对应的横坐标的范围,即: .
七、二次函数的最值——看定义域
定义域为全体实数时,顶点纵坐标是最 值;
定义域不包含顶点时,观察图象确定边界点,进而确定最值
八、抛物线对称变换前后的解析式
y=ax 2+ bx+ c y= ax 2- bx + c
y=-ax2-bx-c y=-ax2+bx-c
九. 二次函数常用解题方法总结:
⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶ 根据图象的位置判断二次函数中a、b、c的符号,或由二次函数中a、b、c的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.