第5讲 对数与对数函数
基础巩固
1.已知a,b为实数,则“2a>2b”是“log2a>log2b”的( )
A.充分不必要条件
C.充要条件
【答案】B B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】因为由2a>2b?a>blog2a>log2b(不一定满足a>b>0),而由log2a>log2b?a>b>0?2a>2b,所以“2a>2b”是“log2a>log2b”的必要不充分条件.
2.已知1<x<10,那么lg2x,lg x2,lg(lg x)的大小顺序是( )
A.lg2x<lg(lg x)<lg x2 B.lg2x<lg x2<lg(lg x)
C.lg x2<lg2x<lg(lg x) D.lg(lg x)<lg2x<lg x2
【答案】D
【解析】∵1<x<10,∴0<lg x<1.于是lg(lg x)<0,0<lg2x<2lg x.故lg(lg x)<lg2x<lg x2.
3.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)等于( )
A. B.2x-2 C.lox D.log2x
【答案】D
【解析】因为函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数是f(x)=logax,又f(2)=1,即loga2=1,所以a=2. 故f(x)=log2x,应选D.
4.函数y=lo(x2-3x+2)的递增区间是( )
A.(-∞,1)
C. D.
【答案】A
【解析】由x2-3x+2>0,得x<1或x>2.
当x∈(-∞,1)时,函数f(x)=x2-3x+2单调递减, 而0<<1,由复合函数单调性可知函数y=lo(x2-3x+2)在(-∞,1)上是单调递增的,而在(2,+∞)上是单调递减的.
5.函数y=f(x)的图象如下图所示,则函数y=lof(x)的图象大致是( )
【答案】C
【解析】由函数y=f(x)的图象可知,该函数在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,2)上单调递增,根据复合函数的单调性法则可知,函数y=lof(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,应选C.
6.(2013届·山东枣庄阶段测试)设函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),若f(x1x2?x2 013)=8,则
f()+f()+?+f()=( )
A.4 B.8 C.16 D.2loga8
【答案】C
【解析】依题意有loga(x1x2?x2 013)=8,
从而f()+f()+?+f()
=loga+loga+?+loga=loga(x1x2?x2 013)2
=2loga(x1x2?x2 013)=2×8=16.
7.(2012·辽宁锦州一模)设0<a<1,函数f(x)=loga(a2x-2ax-2),则使f(x)<0的x的取值范围是( )
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.(-∞,loga3) D.(loga3,+∞)
【答案】C
【解析】 f(x)<0?loga(a2x-2ax-2)<0?loga(a2x-2ax-2)<loga1,因为0<a<1,所以a2x-2ax-2>1,即(ax)2-2ax+1>4?(ax-1)2>4?ax-1>2或ax-1<-2,于是ax>3或ax<-1(舍去).因此x<loga3,应选C.
8.|1+lg 0.001|++lg 6-lg 0.02的值为 . B.(2,+∞)
【答案】 6
【解析】原式=|1-3|+|lg 3-2|+lg 300=2+2-lg 3+lg 3+2=6.
9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数.若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足f(x)>0的x的取值范围是 .
【答案】{x|-1<x<0或x>1}
【解析】由已知条件可得,函数f(x)的图象如下图所示,
其解析式为f(x)=
由函数图象可得不等式f(x)>0的解集为{x|-1<x<0或x>1}.
10.若函数f(x)=log0.5(3x2-ax+5)在(-1,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是 .
【答案】[-8,-6]
【解析】设g(x)=3x2-ax+5,由已知得
解得-8≤a≤-6.
11.求值:.
【解】方法一:原式=.
方法二:原式=
=. 12.若函数f(x)=x2-x+b,且f(log2a)=b,log2f(a)=2(a≠1),求f(log2x)的最小值及对应的x值.
【解】因为f(x)=x2-x+b,
所以f(log2a)=(log2a)2-log2a+b.
又知(log2a)2-log2a+b=b,所以log2a(log2a-1)=0.
因为a≠1,所以log2a=1,即a=2.
又log2f(a)=2,所以f(a)=4.
因此a2-a+b=4,b=4-a2+a=2.
故f(x)=x2-x+2.
从而f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=.
故当log2x=,即x=时,f(log2x)有最小值.
13.已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).
(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间.
(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
【解】(1)因为f(1)=1,
所以log4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1,
这时f(x)=log4(-x2+2x+3).
由-x2+2x+3>0得-1<x<3,
所以函数f(x)的定义域为(-1,3).
令g(x)=-x2+2x+3,
则g(x)在(-∞,1)上单调递增,在[1,+∞)上单调递减,
又y=log4x在(0,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,3).
(2)假设存在实数a使函数f(x)的最小值为0,
则h(x)=ax2+2x+3应有最小值1,
因此应有解得a=.
故存在实数a=使函数f(x)的最小值等于0.
拓展延伸
14.设a,b∈R,且a≠2,若奇函数f(x)=lg在区间(-b,b)上有定义.
(1)求a的值;
(2)求b的取值范围;
(3)判断函数f(x)在区间(-b,b)上的单调性.
【解】(1)∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),即lg=-lg,
即,整理得1-a2x2=1-4x2.
从而可得a=±2.
又a≠2,故a=-2.
(2)∵函数f(x)=lg的定义域是, ∴0<b≤.
(3)∵f(x)=lg=lg=lg,
∴函数f(x)在区间(-b,b)上是单调递减的.
第二篇：20xx届高考高三数学一轮复习数学(人教A版·理)【配套训练】第二章 函数2.5
第5讲 对数与对数函数
基础巩固
1.已知a,b为实数,则“2a>2b”是“log2a>log2b”的( )
A.充分不必要条件
C.充要条件
【答案】B B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】因为由2a>2b?a>blog2a>log2b(不一定满足a>b>0),而由log2a>log2b?a>b>0?2a>2b,所以“2a>2b”是“log2a>log2b”的必要不充分条件.
2.已知1<x<10,那么lg2x,lg x2,lg(lg x)的大小顺序是( )
A.lg2x<lg(lg x)<lg x2 B.lg2x<lg x2<lg(lg x)
C.lg x2<lg2x<lg(lg x) D.lg(lg x)<lg2x<lg x2
【答案】D
【解析】∵1<x<10,∴0<lg x<1.于是lg(lg x)<0,0<lg2x<2lg x.故lg(lg x)<lg2x<lg x2.
3.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数,且f(2)=1,则f(x)等于( )
A. B.2x-2 C.lox D.log2x
【答案】D
【解析】因为函数y=ax(a>0,且a≠1)的反函数是f(x)=logax,又f(2)=1,即loga2=1,所以a=2. 故f(x)=log2x,应选D.
4.函数y=lo(x2-3x+2)的递增区间是( )
A.(-∞,1)
C. D.
【答案】A
【解析】由x2-3x+2>0,得x<1或x>2.
当x∈(-∞,1)时,函数f(x)=x2-3x+2单调递减, 而0<<1,由复合函数单调性可知函数y=lo(x2-3x+2)在(-∞,1)上是单调递增的,而在(2,+∞)上是单调递减的.
5.函数y=f(x)的图象如下图所示,则函数y=lof(x)的图象大致是( )
【答案】C
【解析】由函数y=f(x)的图象可知,该函数在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,2)上单调递增,根据复合函数的单调性法则可知,函数y=lof(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,应选C.
6.(2013届·山东枣庄阶段测试)设函数f(x)=logax(a>0,且a≠1),若f(x1x2?x2 013)=8,则
f()+f()+?+f()=( )
A.4 B.8 C.16 D.2loga8
【答案】C
【解析】依题意有loga(x1x2?x2 013)=8,
从而f()+f()+?+f()
=loga+loga+?+loga=loga(x1x2?x2 013)2
=2loga(x1x2?x2 013)=2×8=16.
7.(2012·辽宁锦州一模)设0<a<1,函数f(x)=loga(a2x-2ax-2),则使f(x)<0的x的取值范围是( )
A.(-∞,0) B.(0,+∞)
C.(-∞,loga3) D.(loga3,+∞)
【答案】C
【解析】 f(x)<0?loga(a2x-2ax-2)<0?loga(a2x-2ax-2)<loga1,因为0<a<1,所以a2x-2ax-2>1,即(ax)2-2ax+1>4?(ax-1)2>4?ax-1>2或ax-1<-2,于是ax>3或ax<-1(舍去).因此x<loga3,应选C.
8.|1+lg 0.001|++lg 6-lg 0.02的值为 . B.(2,+∞)
【答案】 6
【解析】原式=|1-3|+|lg 3-2|+lg 300=2+2-lg 3+lg 3+2=6.
9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数.若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足f(x)>0的x的取值范围是 .
【答案】{x|-1<x<0或x>1}
【解析】由已知条件可得,函数f(x)的图象如下图所示,
其解析式为f(x)=
由函数图象可得不等式f(x)>0的解集为{x|-1<x<0或x>1}.
10.若函数f(x)=log0.5(3x2-ax+5)在(-1,+∞)上是减函数,则实数a的取值范围是 .
【答案】[-8,-6]
【解析】设g(x)=3x2-ax+5,由已知得
解得-8≤a≤-6.
11.求值:.
【解】方法一:原式=.
方法二:原式=
=. 12.若函数f(x)=x2-x+b,且f(log2a)=b,log2f(a)=2(a≠1),求f(log2x)的最小值及对应的x值.
【解】因为f(x)=x2-x+b,
所以f(log2a)=(log2a)2-log2a+b.
又知(log2a)2-log2a+b=b,所以log2a(log2a-1)=0.
因为a≠1,所以log2a=1,即a=2.
又log2f(a)=2,所以f(a)=4.
因此a2-a+b=4,b=4-a2+a=2.
故f(x)=x2-x+2.
从而f(log2x)=(log2x)2-log2x+2=.
故当log2x=,即x=时,f(log2x)有最小值.
13.已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).
(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间.
(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
【解】(1)因为f(1)=1,
所以log4(a+5)=1,因此a+5=4,a=-1,
这时f(x)=log4(-x2+2x+3).
由-x2+2x+3>0得-1<x<3,
所以函数f(x)的定义域为(-1,3).
令g(x)=-x2+2x+3,
则g(x)在(-∞,1)上单调递增,在[1,+∞)上单调递减,
又y=log4x在(0,+∞)上单调递增,
所以函数f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,3).
(2)假设存在实数a使函数f(x)的最小值为0,
则h(x)=ax2+2x+3应有最小值1,
因此应有解得a=.
故存在实数a=使函数f(x)的最小值等于0.
拓展延伸
14.设a,b∈R,且a≠2,若奇函数f(x)=lg在区间(-b,b)上有定义.
(1)求a的值;
(2)求b的取值范围;
(3)判断函数f(x)在区间(-b,b)上的单调性.
【解】(1)∵f(x)为奇函数,
∴f(-x)=-f(x),即lg=-lg,
即,整理得1-a2x2=1-4x2.
从而可得a=±2.
又a≠2,故a=-2.
(2)∵函数f(x)=lg的定义域是, ∴0<b≤.
(3)∵f(x)=lg=lg=lg,
∴函数f(x)在区间(-b,b)上是单调递减的.