二元一次方程组
【知识点总结】
知识点1：二元一次方程（组）概念
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。
【例】下列方程哪个是二元一次方程？
典题训练：
1. 若
是二元一次方程，求m和n的值。
2. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
知识点2.二元一次方程组
把两个一次方程联立在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。
有几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知的
项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。
【例】下列不是二元一次方程组的是（ ）
A．
B．
C．
D．
典题训练：
1. 下列是二元一次方程组的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点3.二元一次方程的解
使二元一次方程两边的值相等的未知数的值，叫做二元一次方程的解
【例】判断下列数值是否是二元一次方程3x+2y=24的解（ ）
A.
B.
C.
D.
典题训练：
1. 判断下列数值是否是二元一次方程3x+y=11的解（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
2. 下列数值，是二元一次方程t-2s=-8的解的是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
知识点4.二元一次方程组的解
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解
【例】下列二元一次方程组中，以
为解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
典题训练：
下列各对数值是方程组
的解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点5.二元一次方程组的解的检验方法
常用方法：将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有这对数值满足其中的所有方程时才能说这对数值是此方程组的解。否则不是
【例】判断下列各组数是不是二元一次方程组
的解。
A.
B. 
C. 
D. 
典题训练：
以
为解的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点6.代入消元法
由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，在代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
【例】用代入法解方程组
典题训练：
用代入法解下列方程组
（1）
（2）
知识点7.加减消元法
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
例7用加减法解方程组
典题训练：
用加减法解下列方程组
（1）
（2）
用加减法解二元一次方程组的一般步骤
（1）用适当的数去乘方程的两边，使方程组化成一个未知数的系数绝对值相等的形式
（2）将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程
（3）解这个 一元一次方程，求出一个未知数得值
（4）把求得的未知数的值代入方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值
（5）将两个未知数的致用“｛ ”联立即可。
提高训练：
用加减法解下列方程组
知识点8.列方程组解应用题的基本思想
关键是找等量关系，有几个未知数就必须列出几个方程，所列方程必须满足：（１）方程两边表示的是同类量（２）同类量的单位要统一（３）方程两边的数值要相等
【例】敌我两军相距42km，如果敌军向我军进犯，我军前去迎击，2小时就可以相遇；如果敌人向后逃跑，我军需要14小时才能追上，问我军与敌军的速度各是多少？
典题训练：
入夏以来，某市旱情严重，为缓解甲乙两地旱情，某水库计划向甲乙两地送水，甲地需水量为180万立方米，乙地需水量为120万立方米。现凡两次送水，往甲地送水3天，乙地送水2天，共84万立方米；往甲地送水2天，乙地送水3天，共81万立方米。问往甲乙两地送水的任需要多少天？
知识点9.列方程组解应用题的一般步骤
一般步骤可分五步：
（1） 审题，弄清题意及题目中的数量关系；
（2） 设未知数，可直接设元，也可间接设元；
（3） 列出方程组，根据题目中能表示全部含义的相等关系列出方程，并组成方程组；
（4） 解所列方程组，并检验正确性；
（5） 写出答案；
【例1】根据下图提供的信息，每个热水瓶和羽毛球的价格分别是（ ）
A．8元和35元 B．32元和11元 C．35元和8元 D．20元和23元
[考点透视]本小题在考查二元一次方程的应用的同时考查了二元一次方程组的解法，而对于二元一次方程组的解法来说，可通过代入法或加减法来达到消元的目的进而转化为我们熟悉的一元一次方程来解，解题关键是审清题意，寻找等量关系，正确列出方程组
[答案]C
【例2】某家庭装饰厨房需用480块某品牌的同一种规格的瓷砖，装饰材料商场出售的这种瓷砖有大、小两种包装，大包装每包50片，价格为30元；小包装每包30片，价格为20元，若大、小包装均不拆开零售，那么怎样制定购买方案才能使所付费用最少?
[考点透视]本例主要是考查二元一次方程（组）和一次函数综合背景下的方案优化试题，并同时考查
解：根据题意，可有三种购买方案；
方案一：只买大包装，则需买包数为：
；
由于不拆包零卖．所以需买10包．所付费用为30×10=300(元)
方案二：只买小包装．则需买包数为：
所以需买1 6包，所付费用为1 6×20＝320(元)
方案三：既买大包装．又买小包装，并设买大包装
包．小包装
包．所需费用为W元。
则
；
∵
，且为正整数，
∴
9时，
290(元)．
∴购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖时，所付费用最少．为290元。
答：购买9包大包装瓷砖和l包小包装瓷砖时，所付费用最少为290元。
典题训练：
七年级同学去公园春游，若每辆汽车坐45人，则有15人没座，若每辆汽车坐60人，则恰好空出一辆车，问有几辆车？共有多少同学？
【提高训练】
一、精心选一选 ：
1． 下列不是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
2．由
，可以得到用
表示的式子是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．方程组
的解是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、细心填一填：
5．在
中，如果2= 6，那么= 。
6．已知
是方程
的解，则
= 。
7．若方程m + n = 6的两个解是
，，则m = ，n = 。
8．如果
，那么= ，= 。
三、认真答一答
9．解方程：
（1）
（2）
10．用16元买了60分、80分两种邮票共22枚。60分与80分的邮票各买了多少枚？
11．已知梯形的面积是42cm2，高是6cm，它的下底比上底的2倍少1cm，求梯形的上下底。
12．〈〈一千零一夜〉〉中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食，树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则树下的鸽子就是整个鸽群的
，若从树上飞下去一只，则树上、树下的鸽子就一样多了。”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗？
13．如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？
第二篇：二元一次方程和方程组知识点总结
二元一次方程组
第一节二元一次方程组
二元一次方程的定义
（1） 二元一次方程的定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
（2） 二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程
二元一次方程的解
（1） 定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2） 在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解．
（3） 在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值
解二元一次方程
二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值．
二元一次方程组的定义
（1）二元一次方程组的定义：
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
（2）二元一次方程组也满足三个条件：
①方程组中的两个方程都是整式方程．
②方程组中共含有两个未知数．
③每个方程都是一次方程．
第二节 消元---解二元一次方程组
二元一次方程组的解
（1） 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（2） 一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数
解二元一次方程组
（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来．②将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值．④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值．⑤把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解．
（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数．②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得未知数的值．④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值．⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用{x=ax=b的形式表示．
同解方程组
同解方程组定义：如果两个方程组的解相同，那么这两个方程组就是同解方程组．
关于两个方程组同解的问题，要知道两个方程组四个二元一次方程都有同一组公共解，即随便把其中两个方程联立成方程组，解仍然相同
第三节 实际问题与二元一次方程组
由实际问题抽象出二元一次方程
（1）由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有2个未知量就必须列出2个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题，比例问题等中的有关公式．
二元一次方程的应用
（1）找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程．
（4）根据未知数的实际意义求其整数解．
由实际问题抽象出二元一次方程组
1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
二元一次方程组的应用
（一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）、设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
第四节 三元一次方程组的解法
解三元一次方程组
（1）三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
（2）解三元一次方程组的一般步骤：
①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．
三元一次方程组的应用
在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
（1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础．
（2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中优越性．