立体几何

1．、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：

① 若，则;    ②若，则;

③ 若，则;  ④若，则.

   其中真命题的序号是 (              )                                               

   2.棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为AA₁的中点，求三棱锥D₁-MBD的体积

  

3.在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点，求证：

（Ⅰ）PA⊥底面ABCD; （Ⅱ）BE∥平面PAD;

（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD.

   4.在正方体中，为的中点，为正方形BCC₁B₁的中心，

（1）求直线EF与平面ABCD所成角的正切值；

（2）求异面直线A₁C与EF所成角的余弦值.（中位线平移）

5．在正方体中，，分别为棱，的中点．求证：

   (1)∥平面；  (2)平面⊥平面．（线面     面面）

6．如图为一组合几何体，其底面为正方形，平面，且．（I）求证：平面；（II）求四棱锥的体积；  （III）求该组合体的表面积．

   7.在三棱锥中,平面平面,,,

     过作,点分别是棱的中点.  求证:

     (1)平面平面;    (2).（线面     线线）

8．如图4，在边长为1的等边三角形中,分别是边上的点,,是的中点,与交于点,将沿折起,得到如图5所示的三棱锥,其中BC=.（折叠后哪些量不变？）

(1) 证明://平面;     (2) 证明:平面;

(3) 当时,求三棱锥的体积.            

       

 

 

 

9.在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为CC₁中点，求二面角A₁-BD-E的度数

（定义法）

 

 

10.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，点E在PC上，PB⊥平面ACE，若PD=1，AD=2，求二面角A-PB-D的正切值.（定义法）

11.已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是棱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点.

（1）证明：AE⊥PD；（2）若AB=2，PA=2，求二面角F-AE-C的余弦值.

                           （垂线法）

第二篇：数学·“立体几何”复习题

数学·“立体几何”复习题

参考答案

一、选择题 1．D

[解析]：以D为原点建立坐标系

cos??

2．C ??32?6??0 ??150 2

[解析]： A1?(0,11,?1)C1?(1,0,?) 22

cos??3．C 11?2 5

[解析]：

BC?BD?(AC?AB)(AD?AB)

?????????0

cosB??0故?B是锐角 22

同理， ?D，?C都是锐角。故△BCD是锐角三角形。

4．D

[解析]：以D为原点建立坐标系

A1?(?1,0,?1),?(1,?1,1)

A1E?GF?0

异面直线A1E与GF所成的角是

5．C

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[解析]：

如图，当平面 三棱锥体积最大

取AC的中点E，则BE?平面DAC，

故直线BD和平面ABC所成的角为?DBE

cos?DBE=

6．D BE2，∴?DBE=450 ?BD2

[解析]：∵P到直线直线C1D1的距离就是P到C1的距离，

∴点P到直线BC与点C1的距离相等

故动点P的轨迹所在的曲线是以C1为焦点、以直线BC为准线的抛物线

7．B

[解析]：以A为原点建立坐标系，AC，AA1为y，z轴，垂直于平面AA1C1C直线为x轴，则

AB1?(11,,2),AC1?(?,?,2) 2222

故1 ?AC1=0

8．B

[解析]：点A到平面A1BC的距离为h

∵VA1?ABC?VA?A1BC

∴11S?ABC?AA1?S?A1BC?h 33

∴11?3?1??2?h 33

∴h?

9．B

[解析]： 3 2

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则折后两条对角线之间的距离为EF的长

在?BED中，?BED=?，BE=DE=3 2

当?

10．B =120°时，EF的最小值为，当?=60°时，EF的最大值为

[解析]：过O作EF//C1D1分别交A1C1、B1D1于E、F，

∵EF//平面ABC1D1，∴O到平面AB C1D1的距离等于E到平面AB C1D1的距离，而E到平面AB C1D1的距离

为2 4

二、填空题

11． 2 3

[解析]：分别以BA、BC、BB1为ox、oy、oz轴，则

A1C?(?1,1,?1),11EF?(?,1,) 22

?1?1

3?3

2?2 3

12． ? 3

[解析]：∵PA=PB=PC，∴P在底面的射影E是?ABC的外心，又?BAC?

故E是BC的中点，所以 PA与底面ABC所成角为?PAE， ?2

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而?PAE=

13． 。 32 3

[解析]：分别取AB、CD的中点E、F，连EF，过M作MN?EF于N，再作 EG?MF于G

则MN的长为点M到截面ABCD的距离。

先在?EFG中计算tan?CAM?22,?sin?CAM?22 3

再在?MFN中计算MN=MFsin?CAM=

14． 2 35

[解析]：∵点A在β内的射影与点B在α内的射影重合，

∴α?β

设射影为点C，点P到l的距离为PC的长，

而PC为矩形PACB的对角线

∴PC=

三、解答题

（15） 解（Ⅰ）连接AM，A1G

∵G是正三角形ABC的中心，

且M为BC的中点，

∴A，G，M三点共线，AM⊥BC。

∵B1C1∥BC，

∴B1C1⊥AM于G，

即GM⊥B1C1，GA1⊥B1C1，

∴∠A1GM是二面角A1—B1C1—M的平面角。

∵点A1在平面BB1C1C上的射影为M，

∴A1M⊥MG，∠A1MG=90°

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在Rt△A1GM中，由A1G=AG=2GM得∠A1GM=90°

即二面角A1—B1C1—M的大小是60°。

（16）解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结SD、DB。

∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SD且AC⊥BD，

∴AC⊥平面SDB，又SB?平面SDB，

∴AC⊥SB。

（Ⅱ）∵AC⊥平面SDB，AC?平面ABC，

∴平面SDB⊥平面ABC。过N作NE⊥BD于E，

NE⊥平面ABC，过E作EF⊥CM于F，连结NF，则NF⊥CM。

∴∠NFE为二面角

N－CM－B的平面角。

∵平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，

∴SD⊥平面ABC。又∵NE⊥平面ABC，∴NE∥SD。

∵SN=NB，∴NE=11SD=22SA2?AD2=1

2?4=2，

11ENMB=，在Rt△NEF中，tan∠NFE==22， 42EF且ED=EB。在正△ABC中，由平几知识可求得EF=

∴二面角N－CM－B的大小是arctan22。

（Ⅲ）在Rt△NEF中，NF=EF2?EN2=313，∴S△CMN=CM·NF=2221，S△CMB=BM·CM=2。 2

11S△CMN·h=S△CMB·NE， 33设点B到平面CMN的距离为h，∵VB－CMN=VN－CMB，NE⊥平面CMB，∴∴h=S?CMB?NE42=。即点B到平面CMN的距离为3S?CMN42。 3

解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB。

∵SA=SC，AB=BC，∴AC⊥SO且AC⊥BO。

∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC

∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO。

如图所示建立空间直角坐标系O－xyz。则A（2，0，0），B（0，23，0），

C

（－2，0，0），S（0，0，22），

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M（1，3，0），N（0，，2）。

∴=（－4，0，0），=（0，2，22），

∵AC·SB=（－4，0，0）·（0，2，22）=0，

∴AC⊥SB。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得=（3，，0），=（－1，0，2）。设n=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，则

???n?3x?y?0，取z=1，则x=2，y=－6， ????n??x?2z?0

∴n=（2，－6，1）， 又=（0，0，22）为平面ABC的一个法向量， ∴cos（n，OS）1。 3=∴二面角N－CM－B的大小为arccos1。 3

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得=（－1，3，0），

n=（2，－，1）为平面CMN的一个法向量，

∴点B到平面CMN的距离d=|n·|42=。 3|n|

（17）解法一：由题意AB//CD，??C1BA是异面直线BC1与DC所成的角。

连结AC1与AC，在Rt△ADC中，可得AC?，

又在Rt△ACC1中，可得AC1=3。

在梯形ABCD中，过C作CH//AD交AB于H，

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得?CHB?90?,CH?2,HB?3,?CB?

又在Rt?CBC1中，可得BC1?，

AB2?BC12?AC123在?ABC1中,cos?ABC1??,??ABC1?. 2AB?BC11717

3. 17∴异而直线BC1与DC所成角的大小为解法二：如图，以D为坐标原点，分别以AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立直 角坐标系。

则C1（0，1，2），B（2，4，0） ?BC1?(?2,?3,2),

?(0,?1,0),设BC1与所成的角为?，

则cos??1?33.??, 1717

∴异面直线BC1与DC所成角的大小为3. 17

（18）（I）证明：∵PA2?AC2?36?64?100?PC2，

∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形。

同理可证：△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，

△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形。

所以，PA⊥平面ABC。

又∵S?PBC?

而11|AC||BC|??10?6?30， 22111534|PB||CF|??2??30?S?PBC， 2217

故CF⊥PB，又已知EF⊥PB，

∴PB⊥平面CEF。

（II）由（

I

）知PB⊥CE，PA⊥平面ABC，

∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE。

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在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC， EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC，

故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角。

tan?FEB?cot?PBA?AB105?? AP635 3二面角B—CE—F的大小为arctan

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