伽尔顿板实验的模拟与验证

光电0807班   孔繁琦   u200815321

一、    实验背景

在一块竖直放置的板的上部，规则的钉有许多铁钉，下部用隔板划分为许多等宽度的狭槽，从装置顶上的漏斗中可将小球向下投放。若每次只投入一个小球 ，则发现小球每次落入哪个狭槽完全是偶然的。但连续重复许多次实验后发现：小球落入中间槽的次数多，落入两边槽的次数少。若把大量小球一次倒入，则可以看到，小球在各槽内的分布是不均匀的，以中间槽为最多，向两边逐渐减少，当一次倒入的小球总数足够多时，并且实验次数也足够多时，每次得到的分布曲线几乎相同。

图

（以上内容出自《大学物理（上）》（华中科技大学版）P169）

从有关书籍及概率论课上，我们得知这种分布曲线趋向于正态分布概率密度曲线。所以我们就想通过数学实验来验证这个结论。

二、    实验方法及原理

因为对MATLAB软件不熟悉，我们决定通过C语言编程来实现该过程，具体思路如下：

1、  小球每碰到一个铁钉，有两种结果，即向左落下和向右落下，可以用取随机数来模拟这个随机事件。我们的想法是每次从0与1中随机取数，0表示小球向左，1表示小球向右。

2、  经过一层层的选择，小球会掉入最底层的槽中。可对槽进行编号，从最左到最右，分别为0，1，2，3…。

3、  如果小球经过n层，即n次选择落入0号槽中，则该小球每次都是往左，有0+0+0+0+…+0=0；如果落入1号槽，则小球有一次往右，有1+0+0+…0=1，由此类推。可以将每次小球的选择加起来，得到的就是它将落入的槽的编号。

4、  这样，假设有m层，即每次实验取m次随机数，将结果加起来得到一个值，根据这个值，我们让对应的槽中小球数量加1。经过大量实验，就可以得到每个槽中小球的分布，算出小球落到每个槽中的概率。

5、  得到这个离散型的概率分布，我们可以利用MATLAB进行正态分布拟合优度测试，来验证我们的假设（即小球的分布是正态分布）。另外通过一定的数学方法可以求出对应的概率密度曲线。

三、    实验过程

1、              编写C语言程序进行模拟实验

说明：①我们取槽的数量（M）为20，小球数（N）分别为5000、10000、30000做三次模拟。

      ②最终得到的是每个槽中落入的小球数、球落入每个槽中的概率和概率取自然对数的值。

程序如下：

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

#include<math.h>

#define N 30000  \\小球数

#define M 20       \\槽的数目

void sort(int *p,int n,int m);   \\产生随机数，并得出每个槽中的小球数

void gl_f(int *p,int n,float *gl,float *gl_log,int m);\\求概率和概率的对数

void output(int *p,float *gl,float *gl_log,int m);\\输出函数

void main()

{

     float gl[M],gl_log[M];\\gl[M]存放概率，gl_log[M]存放概率的对数

     int a[M];             \\存放槽中的小球数

     sort(a,N,M);

     gl_f(a,N,gl,gl_log,M);

     output(a,gl,gl_log,M);

}

void sort(int *p,int n,int m)

{

     int i;

     int j,k;

     k=0;       

     for(j=0;j<m;j++)

        p[j]=0;

     randomize();

     for(i=0;i<n;i++)

     {

        for(j=0;j<m-1;j++)

             k+=random(2);\\产生两个随机数0或1，存入k中

        p[k]++;\\对应槽中小球数加一

        k=0;

     }

}

 void gl_f(int *p,int n,float *gl,float *gl_log,int m)

 {

      float gl_n;

      int i;

      gl_n=n;

      for(i=0;i<m;i++)

      {

         gl[i]=0;

         gl[i]=p[i]/gl_n;

         if(gl[i]>1e-6)      

              gl_log[i]=log(gl[i]);

         else

              gl_log[i]=0;\\若gl[i]=0就让gl_log[i]=0

      }

 }

 void output(int *p,float *gl,float *gl_log,int m)

 {

      int i;

      printf("box\t\tballs\t\tgailv\t\t        log\n");

      for(i=0;i<m;i++)

      {

        printf("%d\t\t%d\t\t%f\t\t%f\n",i,p[i],gl[i],gl_log[i]);

      }

 }

2、              结果记录如下：

N=50000

N=10000

N=30000

3、数据处理

①  用ＭＡＴＬＡＢ进行正态分布拟合优度测试

我们选用jbtest函数进行拟合优度测试

Ｎ＝５０００

>> X=[];

>> X=[0 0 0.0006 0.0012 0.0066 0.0194 0.0528 0.0974 0.149 0.1792 0.1726 0.144 0.0984 0.0492 0.0202 0.0078 0.0012 0.0002 0.0002 0];[H,P,JBSTAT,CV] = jbtest(X)

H =

     0

P =

    0.0587

JBSTAT =

    3.4091

CV =

    3.8011

Ｎ＝１００００

>> X=[];

>> X=[0 0 0.003 0.0015 0.0064 0.0221 0.0494 0.0954 0.1411 0.1785 0.1785 0.1393 0.0983 0.0550 0.0226 0.0091 0.0018 0.0005 0.0002 0];[H,P,JBSTAT,CV] = jbtest(X)

H =

     0

P =

    0.0584

JBSTAT =

    3.4232

CV =

3.8011

Ｎ＝３００００

>> X=[];

X=[0 0 0.000167 0.0022 0.006833 0.0238 0.052567 0.095167 0.146 0.172433 0.1769 0.145633 0.095667 0.051567 0.0209 0.0077 0.002167 0.000267 0.000033 0];

[H,P,JBSTAT,CV] = jbtest(X)

H =

     0

P =

    0.0594

JBSTAT =

    3.3830

CV =

    3.8011

②得出概率密度函数

通过对两边同时取对数，我们得到，即。

这样，就可以利用二次回归求出x的一次项、二次项和常数项的系数，从而间接的求出σ与μ。实验中，我们用计算器进行相关运算，结果如下：

N=5000时，μ=9.503236493, σ=2.171502976 ;

N=10000时，μ=，σ=；

N=30000时，μ=，σ=；

四、    结果分析及结论表述

1、通过正态分布拟合优度的测定，可得出下表：

不同实验次数下测试结果H都等于0，并且统计量JBSTAT都小于接受假设的临界值CV，这说明小球是符合正态分布的。并且随着小球数的增加，小球在槽中的分布越来越符合正态分布。

2、根据期望与标准差得出对应的正态分布概率密度函数图像，并与实验得到的图像进行比较：

N=5000

N=10000

N=30000

   可以看到，实验得到的曲线与正态分布曲线基本吻合。

3、  综上，我们可以得出结论，伽尔顿板实验中得到的小球分布是符合正态分布的。实验目的达到。

五、    实验体会与总结

   通过这次实验，我们都学到的许多东西。对MATLAB软件有了初步了解，对数学建模也是一次很好的尝试，另外还是一次成功的团队协作。虽然只是很简单的一个模拟，但在这个过程之中我们也遇到的许多困难。不过这过程是快乐的，因为我们真正体会到数学实验的乐趣，并逐渐产生了兴趣。这次的实验不仅仅是一次作业，对我们来说有着更多的意义，我们体会到了自己动手完成一件事情是多么的惬意！

第二篇：双向翻转伽尔顿板实验

双向翻转伽尔顿板实验

　　伽尔顿板实验通常是分别多次投入单个小球或者同时投入许多小球，观察比较小球在各个槽中的分布。实验结果发现：投入单个小球，小球与铁钉碰撞后落入哪个槽中完全是偶然的或者随机的。大量小球同时投入或单个小球分别多次投入，最终落入中间部位槽中的小球总是较多，而落入两侧槽中的小球总是较少。多次重复实验发现各槽中小球数目分布基本不变，但又不是绝对相同。

　　伽尔顿板实验演示了大量偶然事件的统计规律和涨落现象，阐述了物理学中统计与分布的概念。伽尔顿板演示实验是个理想模型，可以演示单个粒子随机性，也可以演示大量粒子的统计规律。

实验表明：单个小球落入某个槽内是随机事件或者偶然事件,大量小球按槽分布遵从确定的规律，这种对大量偶然事件的整体所表现出来的规律成为统计规律。在伽尔顿板实验中，单个小球的运动服从力学规律，大量小球的按槽分布服从统计规律。

在物理的统计规律性的学习中，我们就是以伽尔顿板实验为例，清晰的阐述了归一化条件的概念，这对之后热学相关问题的引入与讲解奠定了基础。我们知道，热力学研究的对象是大量微观粒子以及其周围环境所组成的体系，对于单独的粒子，研究其运动规律没有意义，并且，粒子的运动时无规律的，我们不能够很精确地将其表述出来。所以，就需要运用统计学方面的知识，对这些微观粒子的宏观表象做深入的研究与分析。例如，我们所学习到的麦克斯韦速率分布规律、玻尔兹曼能量分布律等都是在满足归一化条件下进行阐述与研究的。

通常，见到的伽尔顿板是单向的，即一端开口，加入小球，而双向翻转伽尔顿板是一个封闭的容器，两端均可观察实验现象，这就大大优化了操作步骤，减少步骤，节省了大量的时间，提高了教学效率。

所以，综上所述，双向翻转伽尔顿板是一个有重要意义的器具，使我们在统计学方面的学习研究有了更直观、确切的认识与体会，有助于对归一化的理解和在实践中的应用。