中国博士的论文苦衷：通过各种手段以求发表

（转载自）

身处学历金字塔的顶尖，中国博士们却有难言的苦衷：发论文。在一系列“硬指标”的指挥之下，他们对发表论文的期刊、数量的期待，已经远远超越了论文本身的价值

法治周末记者 高欣

发自北京

博士延期半年后，张明(化名)拿到了毕业证，但没拿到学位证。他已硕博连读六年半，比正常时间拖了很久。

如今，他准备继续做博士后，但前提是，半年内必须提交博士学位证。

不能拿到学位证的原因只有一个：没能发表被要求数额的论文。 “延期以后，不给宿舍，自己交学费，还有延期管理费。”他的妻子李慧(化名)说。

“清明时节雨纷纷，写起论文欲断魂。博士扎堆何处有，的哥遥指中关村。”刚刚过去的小长假，博士们在网间调侃。

张明和李慧同为博士，一工一理。在博士扎堆的中关村，他们一直在为论文而奋斗。

就读博士期间，必须在规定期刊上发表若干篇数的论文。这已成为中国博士培养三要件之一。而这个要件，却逐渐变成一种“变态的压力”，让博士生们头痛不已。

发表论文，一方面鞭策着知识分子们不懈怠、勤勉于研究，激励学术成果的诞生，让学界认识作者本人；另一方面，也形成一种无人监管的“绝对权力”，使得学校、学者、学生一起，不得不围绕着这个中心，通过各种手段求得论文登刊。

“在中国，发表论文最重要的，并不是质量。”法治周末记者采访的若干名博士研究生或博士毕业生，都发出了同样的感慨。

在决意潜心做研究之前，也许你应当先仔细想一想：“我需要搞定多少关系？”

发论文是“硬指标”

张明夫妇在学校旁与人合租一套两居。每天，张明去实验室做实验，李慧在家画图看资料，日子过得平淡快乐。

生活最高的主题、亦是唯一的纠结，就是论文。

修够学分、发表够论文、博士论文通过，是顺利拿到博士学位证和毕业证的三个条件。只欠中间一项，让张明暂时不能申请学位。只拿到毕业证的他，正在苦苦等待导师下达“论文可以发了”的指令。 “我们做的项目，如果取得了阶段性成果，老板(即导师)觉得不到时候，就不会让我们发。因为如果发了，被别人知道，研究可能会被抢先。而且，如果发的期刊不够档次，老板也不会让发，那会影响他、甚至是学院拿项目。”张明说。

为了大局，张明能做的，只有先延期。

对于张明所在的工科专业来说，写论文的环节并不难。做上一年实验，成果出来，论文一周就能基本搞定。只要老板一声令下，他立马能在最短时间内，交出满意答卷。

他担心的，是另一项学院规定。

“只要在核心期刊发表一篇论文即可，但必须是唯一第一作者。可我们这种专业，做实验都是大家一起做，第一作者一般至少都是两个。所以最后不知道算不算。”张明说。

虽隐隐有所担心，但张明依然表示乐观。毕竟，“不可能大家都拿不到学位证吧”。

李慧所在的理科学院，要求在学院认定的核心期刊上发表两篇论文。为此，她在刚读博一时，便开始日思夜想论文选题。由于学分早已修够，整个读博期间，她的日程几乎全部围绕着论文而制定。 “不同的学校、院系，会有自己承认的目录。我们学院承认的有五十多种，论文必须发在这个名单里的刊物上。”李慧说。

然而，全国本领域的教授、讲师、博士后、博士生、硕士生都来发，刊物显然不够。

“发不了就延期。”在李慧身边，延期的博士生不少，原因并非学院认定他们没有达到博士研究生的水平，而是没有发表够论文数量。 如今，绝大多数高校对博士生发表论文的要求普遍很高，都限定于“一级期刊”或“核心期刊”。

早在20xx年2月28日，这一要求就曾引来风波。

当日，浙江大学历史系教师包伟民发“告考生”书，罢招学生。除去“助研经费”，另一个重要原因即是“论文发表制度”。

包伟民说，目前各校要求博士生毕业须在核心期刊发表一定量的论文才能拿到学位。但浙江大学要求更高，必须在一级刊物上发表。而对一级刊物的圈定，比核心期刊少许多，以历史专业为例，大致只有五六种。

在历史学科，博士研究生在这些一级刊物上发表论文几乎不可能，教授也极难。包伟民认为这“不能称?淘汰率?，说?封杀?还差不多”。 然而几年前，在赵晶攻读中国政法大学法制史博士研究生时，彼时的校规却相对较松。

“只要公开发表一万字即可。”赵晶对法治周末记者说。

赵晶入学提交了培养计划后，校方开始酝酿博士生培养机制改革，其中一项便是改“公开发表一万字”为“两篇核心期刊论文”。但直至2012届博士生进校，这项改革才最终付诸实践。

“在CSSCI(Chinese Social Sciences Citation Index，中文社会科学引文索引，用来检索中文社会科学领域的论文收录和文献被引用情况)来源期刊中，法学类有21种，每种以双月刊计，一年共126本出版物，每本以10篇文章计，一年也就1260篇而已。法大每届法学类博士百余名，三届则有四五百人，再加上在职教师也需要通过发表核心期刊论文来完成科研考核与职称晋升，核心期刊仅应对法大师生的发表需求都显得捉襟见肘。”赵晶说。

对于这个硬指标，他猜测：“高校学科要排名，论文发表情况是重要参数。整个大环境如此，大家都这样，学校不得不改。” “暗箱”里发论文

20xx年9月，李慧按照流程，将刚完成的论文，投给了编辑部在吉林的某家专业核心刊物。

四个月后，编辑部发回邮件，反馈了修改意见。

“流程一般都是，编辑部先看一眼，符合投稿要求的，再找两个匿名评审，反馈回来以后进行修改或被直接毙掉，最后进入编辑程序。”李慧说。

收到修改意见后，她异常开心，立即着手按照反馈意见修改论文。 然而修改完毕，再次发回后，却如石沉大海。“我等了大半年，在线投稿查询一直显示我的论文是?在审?状态。”

李慧心急如焚，不知道究竟发生了什么。

赵晶也遇到过类似事件。

当时，他的论文也通过了匿名评审，反馈回的意见是：希望增加表格，“以清眉目”。赵晶做好表格，回发。接着，一等就是半年。在这半年里，他已博士毕业。

赵晶还是惦记。他打电话给编辑部，对方答：该刊现在不刊登博士生的论文了。

“可我现在毕业了，不是博士生了。”赵晶想据理力争。 “按你投稿的时间算。”对方答。

去年夏天，赵晶博士毕业，成为一名高校讲师。通过比较自己所遭遇的投稿经历，他觉得，某些良性运作期刊所遵行的审稿流程比较科学：

“先投稿，然后有两名学者进行匿名评审，所有投稿论文都会有匿名评审；再给作者反馈。作者进行修改，同意评审观点的，标明哪一页修改了；不同意的地方，写文字反证。然后再回复，再审查。如果通过，定期刊登。”

而不少时候，在国内发论文，却有不可预期性。这令博士们如雾里看花。

除了毙掉论文的理由不明确告知外，每个学术领域、每个学院评定的核心期刊目录也在不断变化。标准一般两年一变，有增有减。 “有时你奔着去的核心期刊，等你毕业时，也许就不是了。”赵晶说。但有些学校可能会有惯例，即以论文发表时的刊物级别为准。 然而，等论文发表出来，也很可能已经是一年甚至更久以后了。 “所以标明投稿时间和发稿时间就很重要。然而，国内部分期刊却没做到。这会带来一个很大的问题：因为收稿的时间可视为观点提出的时点，可以藉此判断谁是这一观点的首倡者。若不加标明，则会因发稿时间的延后，而丧失对某一新观点的发明权。”赵晶说。 讲究“送礼”和“走后门”

怎样才能把论文发出去呢？

也许，已经被许多人走出来的路，才是“正确”的路。

“很多人会告诉你，发论文，质量是最次要的，你得找关系，把钱送出去，还得送对地方。”几位博士都这样说。

而要找的第一层关系，往往是导师。

每个博士生，几乎都盼望着自己论文的前面，能加上导师的名字。这样，由“当然比自己大牌很多”的导师出面疏通关系，发表难度会降低许多。

博导们也很乐意帮学生发表论文，一是师生情分在；二是因为学生的水平，密切关系到自己的科研成果和学术水平。带上自己的名字发表，评职称时，也是加分选项。

从小立志当“臭老九”的李慧，刚读博时，还是决意全凭自己的研究水平发表论文。然而，等了一年之后，耐性全无的她终于拿着论文，硬着头皮去找导师。

李慧和导师关系很好，都是“坐冷板凳埋头钻研型”，对于发表论文以求名利，并不怎么热切争取。但在核心期刊发表两篇论文，是李慧毕业的必要筹码。

听了整件事情的经过，导师有些生气，但也无奈。她对李慧说：“我去想办法帮你发。”

导师出马，立刻见效。没过多久，李慧便听导师的话，将论文投到另一家编辑部在北京的核心期刊。“我的导师能和这家期刊的编辑说上话。”李慧猜测。

因为论文作为导师两个科研项目的成果，“版面费”可以从项目经费中报销。

“理科期刊很多都没有稿费，但收审稿费以及很高的?版面费?。?版面费?至少3000元，我的论文有个彩图，据说一张彩图至少要加1000元。但是最后我的?版面费?一共多少，我没问过导师。”她说。 收到用稿通知那一天，李慧才真正把悬了快两年的心放到肚子里。“今年5月份发。”她指着用稿通知给记者看，却并无许多欣喜。 与此同时，程静(化名)也正在为能否顺利毕业而“迷茫、焦灼”。作为中国人民大学国际关系学院的博士生，她说自己和周围同学无一不在为论文而着急。

“和导师联名，请导师推荐；早作准备，认真修改，打通关系。”程静一口气道完博士论文发表“流程”。而她最终也交了5000元，发了一篇3000字的论文。

然而有不少同学对此很羡慕，因为他们听说，现在有的“版面费”已经五位数了。

在她看来，导师起到的作用始终是积极的。

校园里，一切好说。而一旦落实到“发表”上，便是一场关系和金钱的PK战了。

“这两个条件，几乎缺一不可。”已博士毕业近三年的法学博士郝佳说。

郝佳庆幸自己赶上了学校政策的好时候。彼时，她所在的中国政法大学，并未要求博士生必须发法学核心期刊。

“当时只要有出版号的，一般都承认。周围同学会比较认真地对待本专业年会的论文，希望可以最终编入论文集里，质量也都不低。”她说。

在郝佳的印象中，她读博时，周围同学都很乐意做研究，然后将自己的成果拿去发表。

“论文是让学界认识你的渠道。发论文的要求，会让你多少感到压力，催促你去研究东西。只跟着课程走，博士等于白念了。而且，有的博导同时还是硕导，可能没太多时间照顾自己的博士生。”她说。

当学校不得不将“核心期刊”提上规则时，之前宽松的气氛顿时紧张起来。打点关系、找导师帮忙、凑“版面费”……醉心于研究的同时，压力也相伴而来。

“大牛”的核心期刊编辑

博士生们深知当前学术生态的突出表现之一：学术会议上，若是核心期刊编辑来了，学校领导、知名学者、教授等都冲上去，将其前呼后拥，甚是热闹。

赵晶说：“现在这种机制，等于全国学者的水平都由期刊编辑来定。”

但并非所有学术期刊都如此。学者良莠不齐，期刊亦良莠不齐。 让赵晶深深感到被尊重的，是两次国内投稿。“一次是法学刊物，一次是历史学刊物。直接投稿过去，他们就有匿名评审，有反馈意见。最终得以比较迅速地发表了，还给了我稿费。”他说。

在日本京都大学留学一年后，赵晶发现，日本学界对学术期刊并无三六九等之分，更没有“一级刊物”和“核心期刊”的概念。一份学术期刊的分量，完全凭多年积累下来的口碑。

“日本博士生也有发论文的要求。本人所属学会、学部、研究室等机构所办刊物，是论文发表的首选所在。结项所制的报告书，也是

正式的研究成果，图书馆都将编目、上架，以供阅览、流通。”赵晶说。

若干年前，国内某大学一位教授在日本一份学术刊物上发过一篇论文。几年后，他还选择发这份刊物。许多领域内的同事不解，问他：“你怎么不发口碑和声誉更好的另外两本境外刊物呢？水平也到了啊。”

教授无奈地回答：“因为另外那两本刊物，不在学校承认的境外刊物范围内啊。”

学工科的张明能理解“必须发核心”的现实窘境：“要是发不了核心，导师、甚至学院就拿不到更好的项目；拿不到更好的项目，就没钱做研究；没钱做研究，就影响学术水平；学术水平上不去，就更发不了核心。”

在这套巨大的恶性循环中，谁都不能幸免。

而作为拥有绝对垄断权力的学术期刊，也难逃循环挣扎的命运。 “期刊本身也要提高自己刊物上文章的引用率和转载率，以此来提高学界的地位。所以导致有些刊物只看论文前面作者的牌够不够大。”郝佳说。

“据说，有时给一些期刊投稿，他们会要求你必须引用他的往期刊物中的文章，提高引用率。”赵晶对这一点颇觉不妥，“不能以理工科的引用率来要求人文学科”。

那些被前呼后拥的期刊编辑们，大权在握，面容神秘。

李慧有些不太肯定地说：“期刊编辑一般至少是专业相关的，但是总编和审稿人都得是有一定学术声望的。当然，就算你稿子送到?大牛?手里，他(她)也有可能转头交给研究生帮审。而且，我估计那些做排版之类的编辑，不需要太多专业知识吧……”

“变味儿”的论文评定

如今，想要评高一级的职称，赵晶需要至少先完成6篇以上的论文发表量。

“当然有人说，有标准总比没有好，因为现在的学者良莠不齐。且这些学术期刊也有相应的评价机构，如CSSCI目录的制定者——南京大学中国社会科学研究评价中心。但问题在于：评价期刊的标准为何？是诸如引用率等量化标准，还是业内的学术评价？”赵晶说。 一篇高质量的论文，可以让全国、甚至是全世界认识研究者本人。但在发表之前，中国的博士们需要先打通这个学术大循环中的必要脉络。然而对于期刊本身的评价标准，在赵晶看来，应更全面。

“虽然业内评价既不易操作，又需以良性学术共同体的建立为前提，但无论如何，不应付诸于引用率这样的标准。如一篇被广泛商榷、质疑的论文，它的引用率却很高，如何体现评价的意义？另外，评价主体的单一化也十分危险，因为这种权力垄断会催生腐败，引起寻租。”

记者采访的所有博士研究生们，都深深理解论文评定机制存在的一定合理性。但具体执行起来，“变态的压力”让这种本应当起鞭策、促进作用的机制变了味儿。

即使是当年罢招的包伟民教授，他本人也曾表示：并不怀疑校方为了“提高学术水平”的用意。只是过犹不及，结果反而是对本校历史学发展造成伤害。

“一个历史学的研究生是否已达到博士学位水平，当然得由历史学教授们讨论制定标准，何劳行政长官费心？即使这样的规定出自基本由应用学科的技术专家、院士组成的学术机构所制定，没有历史学教授的参与，也不具备合法性。”包伟民说。

然而如今，这个过犹不及的标准，依然盘踞在各高校校园之中。 “可以要求发论文，但不能要求那么高，其中中文核心就可以了。而且学校自办的研究生论坛、学报等学生自主的东西，学校是否也应该支持？”郝佳说。

“要建立正常的匿名评审机制，以质量为唯一评定标准。”这是赵晶的希望。

张明和李慧的要求也不高：“不能一刀切，要根据各个专业本身来制定论文发表的标准。不能给小专业和大专业一样要求。”

然而，师生私下讨论出的数种改良意见和建议，最终也只能停留在嘴边。牢骚过后，大家还得为了论文苦心奔走。

“学者只想让自己的成果，通过合理渠道，尽快地发出来。”赵晶道。

国内发表论文困难重重，许多博士生开始将眼光瞄向境外发表，“因为相对公平”。

李慧所在学院对论文发表的要求是两篇院内目录核心、或者一篇SCI(科学引文索引)。“SCI还是比较值钱的，在国内。”她说。

于是，她不得不翻倍地增加着SCI的点击率。一方面为研究，一方面为铺后路。

有人将SCI调侃为stupid Chinese index(愚蠢中国人索引)。“因为这个数据库被中国人?各种刷?。”李慧说。

第二篇：中国博士论文经典文献

A

JournaloftheFranklinInstitute351(2014)4538–

4554

Improvedstabilitycriteriaforuncertainneutral-type

Lur'esystemswithtime-varyingdelays$

WenyongDuan,BaozhuDun,ZhengfanLiu,YunZou

SchoolofAutomation,NanjingUniversityofScienceandTechnology,Nanjing,Jiangsu210094,China

Received14January2014;receivedinrevisedform20April2014;accepted10June2014

Availableonline30June2014

Abstract

Thispaperisconcernedwiththerobuststabilityofuncertainneutral-typeLur'esystemwithtime-varyingdelaysandsectorboundednonlinearities.Byconstructingamodi?edLyapunov–Krasovskiifunctional(LKF),somenewrobuststabilitycriteriaareproposedintermsoflinearmatrixinequalities(LMIs)withoutusingthegeneralfree-weightingmatrixmethod.Thecriteriaarelessconservativeandmoreef?cientlycalculativethansomepreviousones.Fournumericalexamplesarepresentedtoshowtheeffectivenessandmeritsoftheproposedapproach.

&2014TheFranklinInstitute.PublishedbyElsevierLtd.Allrightsreserved.

1.Introduction

Sincetime-delayfrequentlyappearsinmanypracticalsystems,suchasbiologicalsystems,chemicalsystems,electronicsystemsandnetworkcontrolsystems.Thetime-delayisoftenattributedasthemajorsourceofpoorperformanceandinstability.Therefore,avastamountofefforthasbeendevotedtostudytheproblemonstabilityofthedelayedlinearsystems,andmanyeffectivemethodshavebeendevelopedtoderivelessconservativedelay-dependent

ThisworkissupportedbytheNSFofChinaunderGrantnos.61104118,61174038,61104064,61203129,ChinaPostdoctoralScienceFoundationfundedproject2012M511282andtheZijinIntelligentProgramofNanjingUniversityofScienceandTechnology.nCorrespondingauthor.Tel.:t861xxxxxxxx.

E-mailaddress:dubaozhu@gmail.com(B.Du).

/10.1016/j.jfranklin.2014.06.008

0016-0032/&2014TheFranklinInstitute.PublishedbyElsevierLtd.Allrightsreserved.☆

W.Duanetal./JournaloftheFranklinInstitute351(2014)4538–45544539

stabilitycriteriafordelayedlinearsystems[1–5];forexample,Popovcriterion,Circlecriterion,Kalman–Yakubovich–Popovlemma[1],thedelay-fractiontheory[2,3],andthepiecewiseLKFmethod[4,5].However,mostsystemsarenonlinearinpracticalengineering,itisnecessaryandsigni?canttoconsiderthestabilityproblemsofdelayednonlinearsystems.AnditiswellknownthatmanyofthecertainnonlinearsystemssuchasChua'sCircuitandtheLorenzsystemcanbemodeledasLur'esystems[6],whichconsistofafeedbackconnectionofalineardynamicalsystemandanonlinearitysatisfyingthesectorboundedcondition.Thestabilityforthistypeofnonlinearsystemswas?rstintroducedbyLurie[7],andhasbeenconsideredextensivelyin[8–10].Inrecentyears,basedonthemethodsofstabilityanalysisfordelayedlinearsystems,thestabilityforLur'esystemswithtime-invariantdelaysandtime-varyingdelayshasalsoreceivedconsiderableattention,andlotsofsigni?cantresultshavebeendeveloped

[11–15].

Ontheotherhand,manypracticalsystemssuchasthewaterpipes,populationecology,andchemicalreactorsaremodeledintheneutraltimedelayedsystemframework,where,thestatederivativesareinvolved.In[16–23],theauthorsinvestigatedtherobuststabilityofdelayedneutralsystems,andrecently,therobuststabilityofdelayedneutral-typeLur'esystemswereconsideredin[24–34],wherelotsofsigni?cantrobuststabilitycriteriahadbeengiven.Delay-dependentstabilitycriteriafornominalanduncertainneutral-typeLur'esystemswithconstanttimedelaysandsectorboundednonlinearitieswerepresentedin[24].Aimedonthepropertythattimedelaysalwaysvarydependingonthetime,therobuststabilityproblemsforneutral-typeLur'esystemswithtime-varyingdelayswereconsideredin[25–34].Amongtheworks,RamakrishnanandRay[32,33]gavesomeimprovedrobuststabilitycriteria.In[32,33],whenboundingthederivativeoftheLKF,thegeneralfree-weightingmatrixmethodwasappliedtoillustratetherelationshipsofthetermsappearingintheLeibniz–Newtonformula.However,althoughfree-weightingmatricesleadtolessconservativestabilitycriteria,morepossiblevariablesmustbedecidedtomakethecomputationquitecomplex.Naturally,itismeaningfultoconsiderhowtoovercometheaforementioneddisadvantagesofthecombinationofthefree-weightingmatrixmethodandthedelaypartitioningtechnique.Therefore,inspiredbythenovelintegral-inequalitylemma[35,36],choosingamodi?edLKFcontainingsometriple-integraltermsandemployingtighterboundsonthederivativeoftheLKFwiththenovelintegral-inequalitywouldcertainlyproducebetterresults,whichoffermotivationtoderivelessconservativeandmoreef?cientcalculativestabilitycriteriafortheuncertaindelayedneutral-typeLur'esystems.

Inthispaper,wecontributetotherobuststabilityforaclassofuncertainneutral-typeLur'esystemswithtime-varyingdelaysandsectorboundednonlinearities.Theparameteruncertaintiesareassumedtobetime-varyingbutnorm-bounded.Bychoosingamodi?edLKFandemployingthenovelintegral-inequalitylemmaproposedin[35,36],someimproveddelay-dependentrobuststabilitycriteriaarederivedintermsofLMIswithoutusingthegeneralfree-weightingmatrixmethod.Ourcriteriaarelessconservativethansomerecentlyproposedin[25–34],andinvolvemuchlessdecisionvariablesthanthosein[33].Finally,fourdetailedillustrativeexamplesareprovidedtoshowthattheproposedapproachimprovesexistingmethodsandgivesbetterresultsforstabilitythanthosereportedearlier.

Thispaperisorganizedasfollows.Section2givestheproblemstatementandprovidessomeusefulde?nitions,assumptionsandlemmas.Section3presentstheabsolutestabilitycriteriaandrobuststabilitycriteriaforthenominalformwithoutuncertaintiesanduncertainform,respectively,includingtheoremsandcorollaries.Section4showsnumericalexamples.ConclusionsaredrawninSection5.

4540W.Duanetal./JournaloftheFranklinInstitute351(2014)4538–4554

Notation:Throughoutthispaper,thenotationsarestandard.Rndenotesthen-dimensionalEuclideanspace;Rn?misthesetofalln?mrealmatrices.ForPARn?n,P40(respectively,Po0)meanthatPisapositive(respectively,negative)de?nitematrix.diagfa1;a2;…;angdenotesann-orderdiagonalmatrixwithdiagonalelementsa1;a2;…;an.eiei?1;…;mTareblockentrymatrices.Forexample,eT0?0??.ForarealmatrixBandtworealsymmetric2??0I|?{z?}mà2??ABdenotesarealsymmetricmatrix,where?matricesAandCofappropriatedimensions,?C

denotestheentriesimpliedbysymmetry,SymfBgdenotesBtBT.

2.Problemformulation

Considerthefollowinguncertainneutral-typeLur'esystemswithtime-varyingdelaysandsectorboundednonlinearities:8_etTàCx_etàτetTT??AtΔAetT??xetTt?A1tΔA1etT??xetàhetTTx>>>><t?BtΔBetT??feσetTT;e1TσetT?HTxetT??h1?hm??TxetT;8tZ0;>>>>:_esT?φ_esT;sA?àmaxeh;τT;0??:xesT?φesT;x

wherexetTARn,σetTARmarethestateandoutputvectorsofthesystem,respectively.A,A1,B,CandHarerealconstantmatriceswithappropriatedimensions,φesTisanRnàvaluedcontinuousinitialfunctionspeci?edon?àmaxeh;τT;0??withknownpositivescalarsh;τ.feσetTTARmisthenonlinearfunctioninthefeedbackpath,whichisgivenby

feσetTT??f1eσ1etTTf2eσ2etTT?fmeσmetTT??T;

wherein,eachtermfieσietTT(i?1,2,…,m)satis?esthe?nitesectorcondition[27–34]:

fieσietTTAK?0;ki???ffieσietTTjfie0T?0;0oσietTfieσietTTrkiσietT2;σietTa0g;

orthein?nitesectorcondition:

fieσietTTAK?0;1T?ffieσietTTjfie0T?0;σietTfieσietTT40;σietTa0g:e4TΔAetT,ΔA1etT,andΔBetTdenotereal-valuedmatrixfunctionsrepresentingparameteruncertainties,whichareassumedtosatisfy

?ΔAetTΔBetTΔA1etT???DFetT?EaEbEa1??;e5TwhereD,Ea,EbandEa1areknownconstantmatriceswithappropriatedimensions,andF(t)isanunknownmatrixwithLebesgue-measurableelementandsatis?es

FTetTFetTrI;8tZ0:e6TThetime-varyingdelaysh(t)andτetTarecontinuous-timefunctionsandareassumedtosatisfythefollowingconditions[27–29,33]:

_etTrhd;0rτetTrτ;τ0rhetTrh;h_etTrτdo1;8t40:e7T

De?nition1.Theuncertainneutral-typeLur'esystemdescribedbyEq.(1)issaidtoberobustlyabsolutelystableinthesector?0;K??(or?0;1T),ifthesystemisasymptoticallystableforanynonlinearfunctionfeσetTTsatisfyingEq.(3)(orEq.(4))andalladmissibleuncertainties.e3Te2T

W.Duanetal./JournaloftheFranklinInstitute351(2014)4538–45544541

Here,weaimatextendingthemethodologyusedin[33]forthesystem(1)satisfyingconditions(3)(orEq.(4)),(5)–(7)toachievelessconservativeresultsviaanewformofLKF.Throughoutthispaper,resultswillbederivedbasedontheassumptionthatρeCTo1[16],whereρeáTdenotesthespectralradiusofC.Inordertorealizethepurpose,thefollowinglemmasarerequired.

?T?Lemma1(Parketal.[35],Wuetal.[36]).ForanymatrixG?GZ0,positivescalars_Rrh2,vectorfunctionxesT:?àh2;àh1??-Rnsuchthattheh1rh2,h(t)Rsatisfyingh1rhetTRtàhTtàhtàhetTT_esTds,tàhe1

tTx_esTdsandtàh2x_esTdsarewellde?ned,_esTGx_TesTGx_esTGxintegrationstàh21xthefollowinginequalityholds:Ztàh1_esTdsrδTetTΣδetT;_TesTGxàeh2àh1Te8Txtàh2where

δTetT??xTetàh1TxTetàhetTTxTetàh2T??;23àGGàTT67à2GtTtTTGàT5:Σ?4?

??àG

Lemma2(Gu[37],Sunetal.[38],SunandLiu[39]).ForanymatrixR40,scalarsh2Zh1Z0,thefollowingintegralinequalitieshold: Ztàh1!T Ztàh1!Ztàh1

h12xTesTRxesTdsZxesTdsRxesTds;

Z

hstàh2àh1Ztàh2tttθxesTRxesTdsdθZT Zàh1Zàh2t!T ZxesTdsdθRtàh2àh1àh2Zt!xesTdsdθ;àh2ttθttθ

2whereh12?h2àh1,hs?eh22àh1T=2.

Lemma3(Petersen[40]).GivenmatricesΓ,ΞandΩ?ΩT,thefollowinginequality

ΩtΓFeσTΞtΞTFTeσTΓTo0

holdsforanyFeσTsatisfyingFTeσTFeσTrI,ifandonlyifthereexistsascalarε40suchthat

Ωtεà1ΓΓTtεΞTΞo0:

3.Mainresults

Inthissection,wewillinvestigatetherobuststabilityproblemofthesystem(1).First,wegiveastabilitycriterionfornominalformofsystem(1)withoutuncertainties:8_etTàCx_etàτetTT?AxetTtA1xetàhetTTtBfeσetTT;><x

σetT?HTxetT;8tZ0;e9T>:xesT?φesT;x_esT?φ_esT;sA?àmaxeh;τT;0??:

De?ne"ZZ#

xTesTds;ζTetT?xTetTt

tàh=2xTesTdstàh=2tàh

4542W.Duanetal./JournaloftheFranklinInstitute351(2014)4538–4554

????ZthξTetT?xTetTxTtàxTesTdsxTetàhetTTxTetàhT2tàh=2#Ztàh=2_TetàτetTTfTeσetTT:xTesTdsx

tàh"

IfthenonlinearfunctionfeσetTTinthefeedbackpathsatisfyingthe?nitesectorconditions(3),foranysiZ0,i?1;2;…;m,itfollowsfromEq.(3)that

sifieσietTT?kihTixetTàfieσietTT??Z0;

whichisequivalentto

2?xTetTHKSfeσetTTàfTeσetTTSfeσetTT??Z0;

where

S?diagfs1;s2;…;smg;K?diagfk1;k2;…;kmg:e10Ti?1;2;…;m;

Theorem1.Thenominalsystem(9)satisfyingtheconditions(3)and(7)isabsolutelystableforgivenvaluesofhZ0,hd,τdo1handkli4h0el?1i;2;…;mT,ifthereexistrealpositive-de?nitematricesP??Pij??3?3,Qi,Wj,Zj,Rj?TjRj,Q11?Q12Q22,ei?1;2;3;j?1;2T,positivesemi-de?nite

diagonalmatricesS?diagfs1;s2;…;smg,Λ?diagfλ1;λ2;…;λmgsuchthatthefollowingLMIshold:"#TΠrtSymfΘ1gηΩΞr?o0;r?1;2e11T?àΩwith

????????TèéhhTe1àe5Z1e1àe5Π1?SymΓPΨTte1Q12eT2àe2Q12e4tGà22????????Thhàe1àe6Z2e1àe6àee2àe4TR2ee2àe4TTtY1Σ1YT1;22????????TèéhhTe1àe5Z1e1àe5Π2?SymΓPΨTte1Q12eT2àe2Q12e4tGà22????????Thhàe1àe6Z2e1àe6àee1àe2TR1ee1àe2TTtY2Σ2YT2;22where??Γ??e1e5e6??;Ψ?ηTe1àe2e2àe4;

Y1??e1e3e2??;Y2??e2e3e4??;èéG?diagΔ1;Q1tQ22àQ11;ehdà1TQ2;àQ1àQ22;àW1;àW2;eτdà1TQ3;0;

h2Δ1?Q2tQ11teW1tW2T;η??A0A1000CB??;4áàTàTáTTTTTΘ1?e1AHΛtHKSeTteAHΛeteCHΛeteBHΛàSe8;3178888

h2h49h4Ω?Q3teR1tR2TtZ1tZ2;46464

W.Duanetal./JournaloftheFranklinInstitute351(2014)4538–455445432

6Σ1?4?

?2àR26Σ2?4?

?àR1R1àT1à2R1tT1tTT1?R2àT2à2R2tT2tTT2

?R1àT175;àR13T2R2àT275:

àR2T13

Proof.ConstructanLKFcandidateas

VexetTT?∑ViexetTT;

i?15e12T

where

V1exetTT?ζTetTPζetT;ZσietTmfieσTdσ;V2exetTT?2∑λii?1023T#"#"xesTZtxesT????QQ111267àádsV3exetTT?4xsàh5hxsà?Q22tàh=2ZtZtàh=2TxesTQ1xesTdstxTesTQ2xesTdst

tàhtàhetTZt_TesTQ3x_esTds;tx

hV4exetTT?2ZZhàh=2tTxesTW1xesTdsdθtxesTW2xesTdsdθ2àhàh=2ttθttθZZZtZh0hàh=2tTT_esTR1x_esTdsdθt_esTR2x_esTdsdθ;txx2àh=2ttθ2àhttθZ0ZtZh20_TesTZ1x_esTdsdβdθV5exetTT?x8àh=2θttβZZZ3h2àh=20tT_esTZ2x_esTdsdβdθ:tx8àhθttβTZtàτetTZt0

ThetimederivativeofViexetTTwithrespecttotimealongthetrajectoryofEq.(9)isasfollows:

_etT?2ξTetTΓPΨTξetT;_1exetTT?2ζTetTPζV

_2exetTT?2∑λifieσietTThT_etT?2fTeσetTTΛHTx_etTVix

_etàτetTTtBfeσetTT??;?2feσetTTΛHT?AxetTtA1xetàhetTTtCx????????hh_3exetTTrxetTQ2xetTtx_TetTQ3x_etTtxTtàQ1xtàV22

TTàxetàhTQ1xetàhTàe1àhdTxetàhetTTQ2xetàhetTT

_TetàτetTTQ3x_etàτetTTtxTetTQ11xetTàe1àτdTxi?1Tm

4544W.Duanetal./JournaloftheFranklinInstitute351(2014)4538–4554

??????????hhhtxTetTQ12xtàtxTtàeQ22àQ11Txtà222????hàxTtàQ12xetàhTàxTetàhTQ22xetàhT;2

h2h2TT__etTeR1tR2Tx_etTV4exetTT?xetTeW1tW2TxetTtx44ZZhthtàh=2TTxesTW1xesTdsàxesTW2xesTdsà2tàh=22tàhZZhthtàh=2TT_esTR1x_esTdsà_esTR2x_esTds;àxxtàh=2tàh??4??Zt42Z0h9hh_5exetTT?x_TetT_TesTZ1x_esTdθds_etTàZ1tZ2xVx64648àh=2ttθZZ3h2àh=2tT_esTZ2x_esTdθds:àx8httθ

UsingLemma2,wehaveZhtàxTesTW1xesTdsràξTetTe5W1eT5ξetT;2tàh=2

hà2Ztàh=2??e13TtàhxTesTW2xesTdsràξTetTe6W2eT6ξetT;

????????Thh_TesTZ1x_esTdsdθràξTetTe1àe5Z1e1àe5ξetT;x22ttθte14Th2à8Z0àh=2Ze15T3h2àZàh=2àhZ????????Thh_TesTZ2x_esTdsdθràξTetTe1àe6Z2e1àe6ξetT:xttθte16T

Now,foranytZ0,hetTA?0;h=2??orhetTA?h=2;h??.Wede?neΔ1?ft:hetTA?0;h=2??gandΔ2?ft:RhetTA?h=2;h??g.Inthefollowing,twocaseswillbediscussedseparatelyfortheintegralRtàht=2TT_4exetTT._esTR1x_esTdsandàtàhx_esTR2x_esTdsinVtermsàtàh=2xCaseI:ForanytAΔ1,usingLemmas1and2,wehaveZhtàh=2T_esTR2x_esTdsràξTetTee2àe4TR2ee2àe4TTξetT;e17Txà2tàh

hà2Zttàh=2_TesTR1x_esTdsrδTx1etTΣ1δ1etT;e18Twhereδ1etT??xTetàh=2TxTetàhetTTxTetàhT??.Then,itfollowsfrominequalities(10),(13)–

(18)that

_iexetTTt2?xTetTHKSfeσetTTàfTeσetTTSfeσetTT??_exetTTr∑VV

rξetTeΠ1tSymfΘ1gtηTΩηTξetT:i?1

T5

W.Duanetal./JournaloftheFranklinInstitute351(2014)4538–45544545

Therefore,LMI(11)withr?1holds,whichtogetherwithSchurcomplementequivalenceimply_exetTTo0.thatV

CaseII:ForanytAΔ2,byfollowingasimilarlineofargumentsasthatinCaseI,wehaveZht_TesTR1x_esTdsràξTetTee1àe2TR1ee1àe2TTξetT;àe19Tx2tàh=2

hà2Ztàh=2tàh_TesTR2x_esTdsrδTx2etTΣ2δ2etT;e20Twhereδ2etT??xTetTxTetàhetTTxTetàh=2T??.Then,itfollowsfrominequalities(10),(13)–(16)and(19)–(20)that

_iexetTTt2?xTetTHKSfeσetTTàfTeσetTTSfeσetTT??_exetTTr∑VV

i?1àárξTetTΠ2tSymfΘ1gtηTΩηξetT:

Therefore,LMI(11)withr?2holds,whichtogetherwithSchurcomplementequivalenceimply_exetTTo0.Hence,itfollowsfromtheLyapunov–KrasovskiistabilitytheorythatthethatV

nominalsystem(9)isasymptoticallystableforanynonlinearfunctionfeσetTTsatisfyingEq.(3).FromDe?nition1,thiscompletestheproof.□

Remark1.IfthenonlinearfunctionfeσetTTinthefeedbackpathsatisfyingthein?nitesectorconditions(4),foranysiZ0,i?1;2;…;m,itfollowsfromEq.(4)that

sifieσietTThTixetTZ0;

whichisequivalentto

2xTetTHSfeσetTTZ0;

whereS?diagfs1;s2;…;smg.

Corollary1.Thenominalsystem(9)satisfyingtheconditions(4)and(7)isabsolutelystableforgivenvaluesofhZ0,hdandτdo1,ifthereexistrealpositive-de?nitematricesP??Pij??3?3,Qi,hihiRjTjQ11Q12Wj,Zj,?Rj,ei?1;2;3;j?1;2T,positivesemi-de?nitediagonalmatrices?Q22

S?diagfs1;s2;…;smg,Λ?diagfλ1;λ2;…;λmgsuchthatthefollowingLMIshold:"#TΠrtSymfΘ2gηΩ~r?Ξo0;r?1;2;?àΩ

where

TTTTTTΘ2?e1eATHΛtHSTeT8te3A1HΛe8te7CHΛe8te8BHΛe8:5i?1;2;…;m;e21Te22T

Remark2.ItcanbeseenfromthestructureoftheLKFinEq.(12)thattheLKFgivenin[33]canbeeasilyobtainedbysettingP?diagfP11;0;0g,Wi?0,Zi?0ei?1;2TinEq.(12).Moreover,ifwechooseP?diagfP11;0;0g,Wi?0,Zi?0ei?1;2TandQ11?Q1,Q12?Q22?0,R1?R2,theLKFinEq.(12)willreducetothoseof[30,32]withhL?0.Therefore,bychoosingpropermatricesP,Wi,Zi,Ri,Q12andQ22ei?1;2T,Theorem1andCorollary1proposedinthispapercouldfurtherreducetheconservatismofthosein[30,32,33].

4546W.Duanetal./JournaloftheFranklinInstitute351(2014)4538–4554

Next,weextendtheobtainedstabilityconditionstorobuststabilityproblemforuncertainneutral-typeLur'esystem(1)withtime-varyingparameteruncertaintiessatisfying(5)and(6).Theorem2.Theuncertainsystem(1)satisfyingtheconditions(3)and(5)–(7)isrobustlyabsolutelystableforgivenvaluesofhZ0,hd,τdoh1andikhl40el?i1;2;…;mT,ifthereexistrealpositive-de?nitematricesP??Pij??3?3,Qi,Wj,Zj,Rj?TjRj,Q11?Q12Q22ei?1;2;3;j?1;2T,positive

semi-de?nitediagonalmatricesS?diagfs1;s2;…;smg,Λ?diagfλ1;λ2;…;λmgandscalarsεr40suchthatthefollowingLMIshold:23JεrETΞr6?àεI07e23T45o0;r?1;2;r

??àεrI

where

TT^TPΓtDTCTΛeTJ??D8DΩ??;

E??Ea0Ea10000Eb0??:^??DT00??T;D

Here,Ξ,ΓandΩarede?nedinTheorem1.

Proof.IfwereplaceA,A1andBinLMIs(11)withAtDFetTEa,A1tDFetTEa1,BtDFetTEb,respectively,LMIsinEq.(11)canberewrittenas

ΞrtJFetTEtETFTetTJTo0;r?1;2:e24TAccordingtoTheorem1,itisobviousthattheuncertainsystem(1)isrobustlystableforanynonlinearfunctionfeσetTTsatisfyingEq.(3)andalladmissibleuncertainties,ifLMIsinEq.(24)hold.ItfollowsfromLemma3thatLMIsinEq.(24)holdifandonlyifthereexistpositivescalarsεr40(r?1,2)suchthatthefollowingmatrixinequalitieshold:

Ξrtεrà1JJTtεrETEo0;r?1;2;e25TwhichareequivalenttoLMIsinEq.(23),respectively,bySchurcomplementequivalence.FromDe?nition1,thiscompletestheproof.□

Next,whenthenonlinearfunctionsatis?esEq.(4),Corollary2isobtained:

Corollary2.Theuncertainsystem(1)satisfyingtheconditions(4)–(7)isrobustlyabsolutelystableforgivenvalueshofhZi0,hhdandiτdo1,ifthereexistrealpositive-de?nitematrices

Rj?TjRjP??Pij??3?3,Qi,Wj,Zj,,Q11?Q12Q22ei?1;2;3;j?1;2T,positivesemi-de?nitediagonal

matricesS?diagfs1;s2;…;smg,Λ?diagfλ1;λ2;…;λmgandscalarsεr40suchthatthefollowingLMIshold:23~rΞJεrET

6?àεI07e26T45o0;r?1;2;r

??àεrI

~rer?1;2Tarede?nedinCorollary1.whereΞ

W.Duanetal./JournaloftheFranklinInstitute351(2014)4538–45544547

Remark3.IfwetakenoaccountofthenonlinearityfeσetTT,theproposedapproachcanbeeasilyextendedtonominalanduncertainneutrallinearsystemsdescribedby

(_etTàCx_etàτetTT?AxetTtA1xetàhetTT;xe27T_esT?φ_esT;sA?àmaxeh;τT;0??;xesT?φesT;x

and

(_etTàCx_etàτetTT??AtΔAetT??xetTt?A1tΔA1etT??xetàhetTT;x

_esT?φ_esT;sA?àmaxeh;τT;0??:xesT?φesT;xe28T

Naturally,bychoosingtheLKF(12),somenewrobuststabilitycriteriaforthesystem(27)and(28)canalsobeproposedintermsofLMIswithoutusingthegeneralfree-weightingmatrixmethod.Thecriteriaarelessconservativeandmoreef?cientlycalculativethansomepreviousones.

Theorem3.Thenominalsystem(27)satisfyingtheconditions(7)isabsolutelystableforgivenvaluesofhZ0,hdandτdo1,ifthereexistrealpositive-de?nitematricesP??Pij??3?3,Qi,Wj,Zj,hihiRjTjQ11Q12?Rj,?Q22ei?1;2;3;j?1;2TsuchthatthefollowingLMIshold:"#T~ΩΦrηNr?o0;r?1;2e29T?àΩ

with

????????TnohhT~te~~PΨ~1àe~1àe~1Q12e~2Q12e~5Z1e~5~T~TeΦ1?SymΓ2àe4tGà22????????Thh~T~1Σ1Y~1àe~1àe~6Z2e~6àee~2àe~4TR2ee~2àe~4TTtYeà1;22????????TnohhT~te~~PΨ~1àe~1àe~1Q12e~2Q12e~5Z1e~5~T~TeΦ2?SymΓ2àe4tGà22????????Thh~T~2Σ2Y~1àe~1àe~6Z2e~6àee~1àe~2TR1ee~1àe~2TTtYeà2;22?T?~?η~??e~??A0A1000C??;~1e~2e~4;η~5e~6??;Ψ~1àe~2àe~eΓèé~?diagΔ1;Q1tQ22àQ11;ehdà1TQ2;àQ1àQ22;àW1;àW2;eτdà1TQ3;G

h2~1??e~2??e~1e~2e~3e~2??;Y~3e~4??;Δ1?Q2tQ11teW1tW2T;Y4~7??000000I??T:~1??I000000??T;…;ee

Here,Ω,Σ1andΣ2arede?nedinTheorem1.

Theorem4.Theuncertainsystem(28)satisfying(5)–(7)isrobustlystableforgivenvaluesofhiRjTjhZ0,hdandτdo1,ifthereexistrealpositive-de?nitematricesP??Pij??3?3,Qi,Wj,Zj,?Rj,

4548W.Duanetal./JournaloftheFranklinInstitute351(2014)4538–4554

Q12Q22hQ11?i,ei?1;2;3;j?1;2Tandscalarsεr40er?1;2TsuchthatthefollowingLMIshold:23T~~NJεrE6r76?àεrIe30T0745o0;r?1;2;

??àεrI

where

~??D^TPΓ~TDTΩ??T;J~??Ea0Ea100000??;E^??DT00??T:D

~andΩarede?nedinTheorem3.Here,Nr,Γ

Remark4.Recently,byemployingthegeneralfree-weightingmatricesmethod,RamakrishnanandRay[33]gavesomedelay-dependentstabilitycriteriaforsystem(1).Althoughthegeneralfree-weightingmatriceshadmadethestabilitycriterialessconservative,morepossiblevariablesmustbedecidedwhichmadethecomputationquitecomplex.Inthispaper,amodi?edLKFwithsometriple-integraltermsiscon?gurated,whichiseffectiveinthereductionofconservatismofsomeexistingresults[25–34].WhenestimatingtheupperboundofthederivativeoftheLKF,anintegral-inequality(8)isalsousedinsteadofemployingthegeneralfree-weightingmatrixmethod,whichmakesthestabilitycriteriaproposedinourpaperinvolvemuchlessdecisionvariablesthanthosein[33].Forexample,thedecisionvariablesofTheorem1are13n2t7nt2m,butthedecisionvariablesofTheorem1in[33]areupto16:5n2t3:5nt2m,wherenistheorderofthesystem,andmisthedimensionofthenonlinearfunctionfeσetTT.

4.Numericalexamples

Inthissection,fournumericalexamplesaregiventoshowthatresultsproposedinthispaperarelessconservativethantheexistingones.

Example1(Gaoetal.[27],Yinetal.[29],Wangetal.[30],RamakrishnanandRay[32,33],Duanetal.[34]).Considerthefollowingnominalneutral-typeLur'esystems:(_etTàCx_etàτetTT?AxetTtA1xetàhetTTtBfeσetTT;xe31TσetT?HTxetT;8tZ0;

with

A? !;A1? !;B? !;à20:510:4à0:5

à0:750 0:2C?0:1à1!0:1;0:20:4à1 !0:2H?:0:6

Themaximumallowabledelaybounds(MADBs)ofhofthenominalsystem(31)fordifferenthdandτdbyusingCorollary1alongwiththeexistingresults[27,30,32–34]arelistedinTable1.FromTable1,itisfoundthattheMADBsobtainedbyCorollary1arebetterthanthepreviousresults[27,30,32–34].Particularly,ourCorollary1contains68decisionvariables,whicharesigni?cantlyfewerthan75decisionvariablesinvolvedin[33,Theorem2].

W.Duanetal./JournaloftheFranklinInstitute351(2014)4538–4554

Table1

MADBshfordifferenthdandτd(Example1).τd

Methods

hd0.2

τd?0:1

[27][30][32][34][33]

Corollary1[27][30][32][34][33]

Corollary1[27][30][32][34][33]

Corollary1

2.24242.60622.64882.99622.99973.07171.83442.15372.18832.44722.45632.51310.10850.11220.11220.11260.11300.1227

0.41.54341.97302.00552.13162.10122.11711.30291.70411.73221.82891.80091.81460.10190.10880.10890.11020.11050.1197

0.60.98881.64081.66791.71381.73071.73100.77931.38281.40561.45511.48231.49510.09830.10860.10860.11020.11050.1197

0.80.72281.18541.20491.32041.33591.33670.62821.00951.02621.10581.11571.11680.09670.10860.10860.11020.11050.1197

331747777568331747777568331747777568

4549

Num.ofvariables

τd?0.5

τd?0.9

Example2(Han[25],RamakrishnanandRay[33]).ConsiderChua'scircuitexampleandthesystemequationisgivenby

_etT?αeyetTàhexetTTT;x

_etT?xetTàyetTtzetT;yz_etT?àβyetT;withnonlinearcharacteristic

???????

????à??xetTàcj??;hexetTT?m1xetTt1emàmTxetTtc10

e32T

2

andparametersm0?à1m1?,α?9,β?14.28andc?1.ThesystemcanberepresentedinnormalLur'esystemframework(9)with

2323

àαm1à1α0à6:002900

6761à217A?45;A1?4à1:3367005;

àβ

23àαem0àm1T67

0B?45;0

23167H?405;

à12:1264C?0:

00

Thefeedbacknonlinearfunctionbelongstothesector?0;K??withK?1.

4550W.Duanetal./JournaloftheFranklinInstitute351(2014)4538–4554

Table2

MADBshfordifferenthd(Example2).Methods

hd0

[25][33]

Theorem1

0.16220.17450.1747

0.30.15910.16980.1710

0.60.15660.16980.1703

0.90.15410.16980.1703

1.00.15270.16980.1703

41:00.15270.16980.1703

10160140

Num.ofvariables

Table3

MADBshfordifferentK(Example3).K

feáTAK?0;0:5??

Methods[32][34][33]

Theorem2[32][34][33]

Theorem2[32][34][33]

Corollary2

h4.31965.13665.16665.34864.17924.95724.97315.18284.15814.93044.94315.1654

Num.ofvariables447472654474726544747265

feáTAK?0;100??

feáTAK?0;1T

TheMADBsofhfordifferenthdbyusingTheorem1againsttheexistingresults[25,33]arelistedinTable2.FromTable2itisclearthattheproposedstabilitycriterionislessconservativethan[25,33].Moreover,thedecisionvariablesofourTheorem1arefewerthanthoseinvolvedin[33,Theorem1].

Example3(RamakrishnanandRay[32],Duanetal.[34]).Considertheuncertainsystem(1)withthefollowingparameters:

! ! !à20à0:2à10A?;B?;A1?;

0à0:9à0:3à1à1

! ! !

0:10000:6

;C?;H?;D?Ea?Ea1?

00:1000:8

"# !

sineωetTT00:1

;FetT?Eb?:

0sineωetTT0TheMADBsofhwithhd?0andτdo1fordifferentvaluesofK?0;ki??arelistedinTable3

byusingTheorem2andCorollary2alongwiththeexistingcriteriain[32–34].Wecan?ndthattheproposedstabilitycriterionislessconservativethanonesin[32–34].Particularly,our

W.Duanetal./JournaloftheFranklinInstitute351(2014)4538–45544551

criteriacontain65decisionvariables,whicharefewerthan72decisionvariablesinvolvedin[33,Corollaries1and2].

Example4(YuandLien[26],Wangetal.[30],Kwon[31],RamakrishnanandRay[32],Duanetal.[34]).Considerthefollowinguncertainneutralsystemsubjectedtonorm-boundeduncertainty:

_etTàCx_etàτetTT??AtDFetTEa??xetTt?A1tDFetTEa1??xetàhetTT;xwhere

! !!

c0à20à10

C?;;A1?A?

0c0à1à1à1

! ! !

16001000:010

Ea1?;Ea?D?

01:2507:500:04

e33T

Inthisexample,wealwaysassumethatτd?0,i.e.,τetT?τisaconstant.TheMADBsofhof

thesystem(33)forhd?0.1anddifferentcarelistedinTable4comparedwiththepreviousresults.InTable5,thecorrespondingresultsfordifferenthdandc?0.1alongwiththeexistingresultsin[26,30,32,31]andthecriterionin[33]arelisted.Thenotation“–”inTables4and5

Table4

MADBshwithhd?0.1fordifferentc(Example4).Methods

c0

[31][26][30][32][34][33]

Theorem4

1.1071.166–1.1771.3081.3251.357

0.10.9200.9620.9640.9711.0611.0761.100

0.20.7510.778–0.786–0.8560.874

0.30.5990.6160.6170.6220.65720.6660.677

0.40.4620.472–0.478–0.5020.509

0.50.3400.3460.3470.3490.3590.3620.365

0.60.2310.235–0.235–0.2410.243

0.70.1270.1300.1300.1300.1310.1310.133

Table5

MADBshwithc?0.1fordifferenthd(Example4).Methods

hd0.1

[31][26][30][32][34][33]

Theorem4

0.9200.962–0.971–1.0761.100

0.30.8620.907–0.960–1.0161.027

0.50.8040.8500.9430.9600.9860.9850.989

0.70.7530.789–0.960–0.9850.989

0.90.7260.7140.9430.9600.9860.9850.989

Z1:00.7260.6580.9430.9600.9860.9850.989

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representthatthecorrespondingresultswerenotgivenin[30,34].Fromthetables,itisclearthattheproposedstabilitycriterionfortheuncertainsystems(33)islessconservativethanthepreviousones.Moreover,forthisexample,thedecisionvariablesofTheorem4are66,andthedecisionvariablesofthecriterionof[33]are73.

Remark5.Aspointedoutin[30],theinequalitiesthatin[29,Theorems1and2]arenotcorrect,whichyieldthat[29,Theorems1and2]arenottrue.Therefore,wedonotuse[29]tocomputeExamples1and4above.

Remark6.ForTables2and5,wecan?ndthattheMADBshdoesnotchangewhenhd41.BasedontheLyapunov–Krasovskiistabilitytheory,thestabilitycriteriaproposedinourpaperareintermsofLMIs.TakeTheorem1ashanexample:LMIsi(11)inTheorem1canberewrittenasΞr?Δ1tΔ2o0,r?1,2,whereΔ1?ΠrtΘàΔ0?ηTΩàΩwithΔ0?diagfQ2;0;ehdà1TQ2;0;0;0;0;0gandΔ2?diagfΔ0;0g.Whenhd41,itisobviousthatLMIs(11)havefeasiblesolutionsifandonlyifΔ1o0,whichisindependentofhd,hasfeasiblesolutions.ThatiswhytheMADBshdoesnotchangewhenhd41.

5.Conclusion

Inthispaper,somenewstabilitycriteriaareproposedforaclassofuncertainneutral-typeLur'esystemswithtime-varyingdelaysandsectorboundednonlinearitiesviaamodi?edLKFcontainingsometriple-integraltermsapproach.Thedelay-dependentstabilitycriteriaarederivedintheformofLMIswithoutusingthegeneralfree-weightingmatrixmethod.Byapplyingsomeeffectivetechniques,suchasanovelintegralinequality,apiecewiseanalysismethod,andtheconvexityofmatrixfunction,theproposedcriteriaarelessconservativeandmoreef?cientlycalculativethansomeexistingresults.Finally,somestandardnumericalexamplesareusedtoillustratetheeffectivenessoftheproposedapproachesandimprovetheexistingmethods.

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