杨氏模量的测定

概述

　　杨氏模量(Young's modulus)是表征在弹性限度内物质材料抗拉或抗压的物理量，它是沿纵向的弹性模量，也是材料力学中的名词。1807年因英国医生兼物理学家托马斯·杨(Thomas Young, 1773-1829) 所得到的结果而命名。根据胡克定律，在物体的弹性限度内，应力与应变成正比，比值被称为材料的杨氏模量，它是表征材料性质的一个物理量，仅取决于材料本身的物理性质。杨氏模量的大小标志了材料的刚性，杨氏模量越大，越不容易发生形变。

　　杨氏弹性模量是选定机械零件材料的依据之一是工程技术设计中常用的参数。杨氏模量的测定对研究金属材料、光纤材料、半导体、纳米材料、聚合物、陶瓷、橡胶等各种材料的力学性质有着重要意义，还可用于机械零部件设计、生物力学、地质等领域。

测量杨氏模量的方法一般有拉伸法、梁弯曲法、振动法、内耗法等，还出现了利用光纤位移传感器、莫尔条纹、电涡流传感器和波动传递技术（微波或超声波）等实验技术和方法测量杨氏模量。

【实验目的】

1、学会测量杨氏模量的一种方法；

2、掌握用光杠杆法测量微小长度变化的原理；

3、学习用逐差法处理实验数据。

【实验仪器及装置】

杨氏模量测定仪、光杠杆、尺读望远镜、螺旋测微计（25mm、0.01mm）、直尺、钢卷尺

                                                                                                                                          

【实验原理】

1、静态法测杨氏模量

一根均匀的金属丝或棒，设其长度为L，截面积为S,在受到沿长度方向的外力F的作用下伸长。根据胡克定律可知，在材料弹性范围内，其相对伸长量(应变)与外力造成的单位面积上受力 (应力)成正比，两者的比值  

                    (1)

    称为该金属的弹性模量，也称杨氏模量，它的单位为(牛顿/平方米)。

实验证明，杨氏模量与外力、物体的长度和截面积的大小无关，只取决于被测物的材料特性，它是表征固体性质的一个物理量。设金属丝的直径为，则，杨氏模量可表示为：

                 (2)

（2）式表明：在长度、直径和外力相同的情况下，杨氏模量大的金属丝的伸长量较小，而一般金属材料的杨氏模量均达到的数量级，所以当的比值不太大时，绝对伸长量就很小，用通常的测量仪（游标卡尺、螺旋测微器等）就难以测量。实验中可采用光学放大法将微小长度转换成其它量测量，用一种专门设计的测量装置——光杠杆来进行测量。

2、用光杠杆测微小长度

微小长度测量，需要光杠杆与望远镜标尺配合使用.如上图所示，从望远镜标尺发出的物光经过远处光杠杆的镜面反射后到达望远镜，被观察者在望远镜中看到。开始时，光杠杆的镜面处于垂直状态，从望远镜中看到的标尺上的刻度读数为。实验中如果光杠杆的前足固定，而后足的支撑点（金属丝夹）有与外力砝码作用向下改变了微小长度，则光杠杆就会改变一个角度,使镜面偏转角度，而镜面上的反射光会相应地改变的角度，此时观察到的标尺的刻度变化到了的位置。根据上图中的几何关系可知

                

式中为光杠杆后足尖到两前足尖连线的垂直距离，为光杠杆镜面与直尺之间的距离。由于角很小，，，所以,,消去,得

                                          (3)

   将（3）式代入（2）式得

                          (4)

，为砝码质量，。

3、杨氏模量测定仪的调整

 (1)调节杨氏模量底座水平调节螺钉，使平台上圆孔与金属丝圆柱形活动夹脱离接触，使之处于自由悬挂状态。

（2）按图1放置好光杠杆，仔细调整光杠杆的长度，使光杠杆的两前足放在平台上的直线形凹槽中，后足尖搭在金属丝活动夹上，镜面调竖直，再将望远镜置于光杠杆前1～1.5m处。

（3）上下调节望远镜使之与光杠杆镜面等高，并对着镜面。

（4）将望远镜瞄准镜面M，从望远镜外侧沿镜筒轴线方向看到平面镜中有标尺的像。如未看到，应左右移动望远镜并适当改变平面镜的仰俯角度，直至沿望远镜外侧可以直接看到标尺像为止。

（5）通过望远镜的目镜观察标尺的像，如看不清楚，可以调整望远镜的物镜焦距旋钮。同时进一步调整望远镜的位置，使望远镜中的标尺像接近视场中心，并且清晰。

（6）调节望远镜目镜使观察到的十字叉丝最清晰，再次调整物镜同时要使标尺像十分清晰。

（7）观察者眼睛上下晃动时，从望远镜中观察到的标尺刻度线像和叉丝间相对位置无偏移，即为无视差。

（8）在金属丝活动夹下砝码挂钩上试加砝码，从望远镜中观察标尺像的变化情况。

【实验内容及要求】

一、调节仪器装置

1、将测定仪支架调成竖直；

2、调整望远镜标尺及位置，调光杠杆及位置；

3、从望远镜边“外视”，在平面镜寻找标尺的像；

4、对准望远镜“内视”调出清晰的标尺像。

二、测量数据

1、仪器调好后，从望远镜中记下此时十字叉丝横线对准的标尺刻度。

2、按顺序逐个增加金属丝下端砝码（七个），并逐次记下相应的十字叉丝对准的标尺刻度，再按相反顺序减少砝码，记录相应的标尺刻度，用逐差法计算值。方法见数据记录表内。

3、用钢卷尺一次性测量和（读到0.1cm）；

4、用游标卡尺一次性测量光杠杆臂长 ；测量结束后将光杠杆拿下在一张纸上按下三足点测量后足点到两前足点垂直距离。

5、用螺旋测微计测量钢丝直径6次，求。

【数据记录及处理】

表一  望远镜标尺读数记录与处理（单个砝码质量       ）

表二  各单次测量数据记录与仪器误差

表三   钢丝直径数据记录与处理（千分尺零点读数：________mm）

=_____（）（根据来确定有效数字的位数）

（）

【注意事项】

1、调好实验装置记下初读数后，在实验过程中不可再移动实验装置，否则整个测量系统就被破坏，所测数据无效，实验应从头做起。

2、增加砝码时，砝码的缺口槽要交错放置。

3、加减法码时要轻拿轻放，并待稳定后再读数；读数时不能下压放置望远镜的桌面。

【思考题】

1、如果金属丝圆柱形活动夹和平台圆孔间有摩擦力存在，对实验结果将有何影响？实验中如何减小这种影响？

2、光杠杆测量微小长度变化量的原理是什么？有何优点？

3、本实验中，那个量的测量误差对测量结果的不确定度影响较大？

金属线胀系数的测定

绝大多数物质具有“热胀冷缩”的特性,这是由于物体内部分子热运动加剧或减弱造成的.这个性质在工程结构的设计中,在机械和仪表的制造中,在材料的加工(如焊接)中都应考虑到.否则,将影响结构的稳定性和仪表的精度.考虑失当,甚至会造成工程结构的毁损,仪表的失灵以及加工焊接中的缺陷和失败等等.

固体材料的线膨胀是材料受热膨胀时,在一维方向上的伸长.线胀系数是选用材料的一项重要指标.在研制新材料中,测量其线胀系数更是必不可少的.

实验目的：

1、了解固体膨胀遵循的规律；

2、掌握光杠杆测量微小长度的原理。

实验仪器：

线胀系数测定装置，光杠杆、尺度望远镜、温度计、钢卷尺、直尺、蒸汽发生器、带测金属棒（铜棒长500mm）。

 

实验原理：

1、固体膨胀遵循的规律

—为线胀系数      单位：

—杆的伸长量     单位：

—温度的变化量    单位：

—杆的长度        单位：

由于，因而上式近似为：

                                （1）

为温度下杆的长度

2、光杠杆测量微小长度原理

 

          （2）

其中称为光杠杆的放大倍数。

（若，则，由此可见光杠杆的放大倍数是十分可观的）

联立（1）、（2）两式得：

实验内容及操作步骤：

1、连接实验装置摆放好光杠杆，并将实验仪器调节成实验要求的状态；

调节尺度望远镜轴线与光杠杆平面镜中心等高，调节望远镜倾斜角度水平，然后移动望远镜的位置，要从望远镜的位置通过光杠杆平面镜的反射看到尺读望远镜的直尺，再粗略的将望远镜对准平面镜中的直尺，且要让直尺在平面镜的中心。然后调节调焦旋钮即可找到直尺。

这时视野中的直尺可能会部分布清晰，若上下不清晰要调节望远镜的倾斜角度，若左右不清晰要稍稍的旋转尺读望远镜底座的角度。

然后再看一下起初是否看到的是直尺上高度和望远镜镜筒轴线处于同样高度的位置，若不是说明光杠杆的平面镜不够竖直，要调节光杠杆的平面镜；

2、记录初始温度和望远镜叉丝位置上的读数（）；

3、打开蒸汽电源，让蒸汽通入金属筒（或玻璃筒）内，观察温度变化和尺度望远镜读数变化，待尺度望远镜读数不变时，记下温度和尺度望远镜读数（）；

4、先用钢卷尺测量光杠杆平面镜到尺度望远镜尺面间的水平距离，再用游标卡尺测量光杠杆的臂长（测量时将光杠杆拿下来，在预习报告上按下三个足点的印记，然后用直线联结前两点，再量出后面点距直线的距离）；

5、整理好实验仪器。

数据记录与处理：

，，。

(保留三位有效数字)

分析误差：（说明实验产生误差的可能因素及影响大小）

思考题：

请证明对于各向同性的物体其体胀系数是其线胀系数的三倍。（提示：体胀系数的定义是，式中为体胀系数）

注意：

1、在测量过程中不要碰桌面以保持读数的稳定。

2、金属棒的下端一定要和底座接触好，上端要和光杠杆的后面支点末端接触好。

证明题答案：

证明：设温度为时圆柱体截面半径为，长度为，体积为；温度为时圆柱体截面半径为，长度为，体积为。则根据定义有：

又

舍去高阶小量得：，所以

第二篇：测量康铜丝的杨氏模量和泊松比讲义

Readme

1、            怎么分小组？

前一半同学为第一小组，第一次在403室完成1~3、8项实验内容，另一半为第二小组，第一次在409室完成1、4~8项内容，一周后对调实验室。

若这组同学£10人，则不分小组，第一次在403室，第二次在409室。

实验设备1人1套。

2、            怎么预习本实验？

简写，通常一页纸。

3、            怎么操作？

本实验的注意事项和操作技巧较多，关键的要点有：

（1）勿碰金属丝（一进门就将书包等物放在桌旁的地上，以免挂断细丝）；

（2）静下心来，边思考，边动手。

4、            怎么处理数据？

只需要处理实验内容中标“©”号的部分。

5、            关于实验报告。

两周合写一份报告，这份报告应包含：

1份预习报告、2份经签字的实验原始数据、1份数据处理。

测量康铜丝的杨氏模量和泊松比

一、基本原理

1、金属丝的杨氏模量与泊松比

杨氏模量是材料的重要力学参数，反映了材料抵抗形变能力的大小。拉力F与丝的原始横截面A之比定义为应力，伸长量与丝的原始长度L之比定义为纵向线应变。在弹性范围内，应力与应变满足胡克定律：

                            (1)

其中E为材料的杨氏模量。

式(1)中只考虑了材料的微小纵向应变，忽略了横向变化。横向变化量与丝的原始横向长度d之比定义为横向线应变。在实践中，纵向拉伸应变还会导致横向收缩应变。实验表明，在材料弹性范围内，横向线应变与纵向线应变之比为常数：

                           (2)

(2)式中的负号表示纵向拉伸导致横向收缩，μ为横向变形系数或称泊松比。

2、非平衡电桥

非平衡电桥与传感器配合使用，可测量温度、应力、位移等物理量。图1为非平衡电桥的原理图，其中电阻箱R₁、R₂、R₃为电桥的三个臂，电阻箱R₄与金属丝电阻R_s串联构成第四臂，R₀为电位器，C是滑动头。当电桥平衡时：

　　

任意桥臂阻值变化时，电桥将偏离平衡位置。金属丝受到拉伸引起电阻变化，当R₄+R_s的相对阻值变化量小于1%时，桥电压U_g（即D、E之间的电压）与该桥臂的电阻变化量近似满足线性关系：

  　　　　　　　　　　（3）

即将电阻的微小变化量转化成直流电压信号进行测量。

本实验的研究对象为康铜丝。

二、待研究的问题

1、 测量康铜丝的杨氏模量；

2、 忽略拉伸过程中康铜丝电阻率的变化，利用非平衡电桥测量康铜丝相关物理量的变化，进而计算其泊松比。

三、实验仪器

序号                                         设备名称                                               数量

1            康铜丝（已焊接两根导线）                                                  1

2            木支架（已装配电位器、开关、电桥盒等）                      1

3            卷尺（最大允差2.0mm）                                                      1

4            JCD₃型读数显微镜（最大允差0.015mm）                          1

5            读数显微镜垫块                                                                      1

6            ZX38A/10型交直流电阻箱（0.1级）                                    1

7            KEITHLEY台式万用表（使用方法见附录）                          1

8            低压钠灯（双线平均波长l=0.5893mm）及电源                 1

9            钠灯木垫块                                                                              1

10          甲电池(~1.5V)                                                                          1

11          玻璃片                                                                                      2

12          砝码托盘（质量标注于底部）                                              1

13          增砣砝码（100克）                                                               10

14          LED灯                                                                                       1

15          导线                                                                                          8

四、实验内容与要求

（前一半同学第一次在403室完成1~3、8项实验内容，后一半同学第一次在409室完成1、4~8项内容，一周后对调实验室）

1、调整高度调节螺栓，使木支架平衡，康铜丝与桌面平行，距桌面77mm。

2、利用所给设备搭建一套干涉法测量康铜丝直径的装置，看到干涉条纹后，请报告教师，确认干涉条纹的效果。

要求：干涉条纹与劈尖顶端保持平行。

本步骤的操作具有较大的挑战性，请静下心来认真调节。

（1）观察45mm范围内的所有干涉条纹，简要描述在整个范围内干涉条纹的分布特点。

（2）说明上述现象的原因。©

（3）为了提高测量康铜丝直径的精度，应测什么区域的条纹？©

3、测量康铜丝的直径d（实验原理参考附录1）

（1）要求测量直径d的相对不确定度小于1.0%，请设计实验方案。

提示：参考一级实验《单摆测重力加速度》的设计方法，给出各参数的极限不确定度，说明用什么工具测量。

（2）根据设计方案测量实验数据。

（3）计算康铜丝的直径d。©

注意：

（1）   读数显微镜较沉重，搬运时若有困难，请向老师求助，以免摔坏仪器；

（2）   调节读数显微镜时要特别小心，避免碰触康铜丝；

（3）    钠灯不能频繁开关，关闭钠灯电源后要等5分钟才能再次点亮。

4、测量康铜丝的杨氏模量E

1）设计实验方案，给出相关公式；

2）根据设计方案操作实验，记录数据；

3）求康铜丝的杨氏模量E（合肥地区重力加速度）。©

5、按图1连接电路，建议分压U_AC取0.3~0.5V（用KEITHLEY台式万用表监测，台式万用表的操作说明见附录2），以免康铜丝发热。

6、用KEITHLEY台式万用表监测U_g 。接通电路，待U_g示数稳定后，分别朝康铜丝上的两个焊接点哈气，并观察桥电压U_g的读数变化。

1）描述哈气时读数的变化；

2）上述现象由什么效应产生？©

7、确定康铜丝的泊松比μ

1）设计实验方案，给出相关公式（忽略拉力对金属丝电阻率的影响）；

2）根据设计方案操作实验，记录数据；

3）确定康铜丝的泊松比μ。©

注意：

（1）     尽量减小焊接的导线对康铜丝的应力作用，以免影响测量；

（2）     接通开关后，仪器设备需要预热10分钟以使读数稳定；

（3）     加砝码时要轻，以免拉断康铜丝；

（4）     每次加砝码后，等1分钟再读数，以使读数相对稳定；

（5）     本实验中即可视为电桥平衡。

8、整理仪器，将两端的高度调节螺栓调乱。

附录1：干涉法测细丝直径

参见右图，设劈尖长度为l，康铜丝直径为d。当单色光垂直照射劈尖时，会产生等厚干涉现象，当扫描n条亮纹（或暗纹）时读数显微镜移动l_n，则由几何关系有：

附录2：KEITHLEY台式万用表的操作说明

将表笔香蕉插头插入1000V电压输入端，开启左下角的电源按钮后，KEITHLEY台式万用表通常就能正常工作，按几次“Digit”按钮，使测量精度切换到0.001mV即可。如果窗口未显示“mV DC”字样，请按照以下步骤操作：

1、按图1接好电路；

2、按“DCV”按钮以显示直流电压；

3、按“AUTO” 按钮自动选择量程；

4、若要测“mV”直流信号，按“Digits”按钮，使测量精度切换到0.001mV。