弦振动研究

【实验目的】

1．了解波在弦上的传播及驻波形成的条件。

2．测量不同弦长和不同张力情况下的共振频率。

3．测量弦线的先行密度。

4．测量弦振动时波的传播速度。

【实验仪器】

弦振动研究实验仪及弦振动实验信号源各一台、双踪示波器一台。

实验仪器结构描述见图3-23-1

【实验原理】

驻波是有振幅、频率和传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成的特殊干涉现象。

当入射波沿着拉紧的弦传播时，波动方程为

当波到达端点时会反射回来，波动方程为

式中，A为波的振幅；为频率；为波长；为弦线上质点的坐标位置，两波叠加后的波方程为

这就是驻波的波函数，称之为驻波方程。式中，是各点的振幅，它只与有关，即各点的振幅随着其与远点的距离的不同而异。上式表明，当形成驻波时，弦线上的各点作振幅为、频率皆为的简谐振动。

由式（3-23-3）可知，另，可得波节的位置坐标为

   

另，可得波腹的位置坐标为

   

由式（3-23-4）、式（3-23-5）可得相邻两波腹（波节）的距离为半个波长，由此可见，只要从实验中的测得波节或波腹间的距离，就可以确定波长。

在本实验中，由于弦的两端是固定的，故两端点为波节，所以，只有当均匀弦线的连个固定端之间的距离（弦长）L等于半波长的整数倍时，才能形成驻波。

即有            或     

式中，为弦长；为驻波波长；为半波数（波腹数）。

另外，根据波动理论，假设弦柔韧性很好，波在弦上的传播速度取决于线密度和弦的张力，其关系为

又根据波速、频率与波长的普遍关系式，可得

由式（3-23-6）、式（3-23-8）可得横波传播速度

如果已知张力和频率，由式（3-23-6）、式（3-23-8）可得线密度

如果已知线密度和频率，则由式（3-23-10）可得张力

如果已知线密度和张力，则由式（3-23-11）可得张力

【实验内容】

一、实验前准备

1．选择一条弦，将弦的带有铜圆柱额一端固定在张力杆U型槽中，把带孔的一端套到调整螺杆上圆柱螺母上。

2．把两块劈尖（支撑板）放在弦下相距为L的两点上（它们决定弦的长度），注意窄的一端朝标尺，弯脚朝外；放置好驱动线圈和接收线圈，接好导线。

3．在张力杆上挂上砝码（质量可选），然后旋动调节螺杆，使张力杆水平（这样才能从挂的物块质量精确地确定弦的张力）。因为杠杆的原理，通过在不同位置悬挂质量已知的为物块，从而获得成比例的、已知的张力，该比例是由杠杆的尺寸决定的。如图3-23-2所示。

二、实验内容

1．张力、线密度一定时，测不同弦长时的共振频率，并观察驻波现象和驻波波形。

（1）放置两个劈尖至合适的间距并记录距离，在张力杠杆上挂上一定质量的砝码记录质量及放置位置（注意，总质量还应加上挂钩的质量）。旋动调节螺杆，使张力杠杆处于水平状态，把驱动线圈放在离劈尖大约5～10cm处，把线圈放在弦的中心位置。

（2）将驱动信号的频率调至最小，以便于调节信号幅度。

（3）慢慢升高驱动信号的频率，观察示波器接收到的波形的改变。如果不能观察到波形，则调大信号源的输出幅度；如果弦线的振幅太大，造成弦线敲击传感器，则应减小信号源输出幅度；适当调节示波器的通道增益，以观察到合适的波形大小为准。一般一个波腹时，信号源输出为2～3V（峰－峰值），即可观察到明显的驻波波形，同时观察弦线，应当有明显的振幅。当弦的振动幅度最大时，示波器接收到的波形振幅最大，这时的频率就是共振频率，记录这一频率。

（4）再增加输出频率，可以连续找出几个共振频率。当驻波的频率较高，弦线上形成几个波腹、波节时，弦线的振幅会较小，眼睛不易观察到。这时把接收线圈移向右边劈尖，再逐步向左移动，同时观察示波器（注意波形是如何变化的），找到并记下波腹和波节的个数。

（5）改变弦长重复步骤3、4；记录相关数据于表3－23－1.

2.在弦长和线密度一定时，测量不同张力的共振频率。

（1）选择一根弦线和合适的砝码质量，放置两个劈尖至一定的间距，例如60cm，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。

（2）记录相关的线密度、弦长、张力、波腹数等参数。

（3）改变砝码的质量和挂钩的位置，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。记录相关的数据于表3－23－2.

3.张力和弦长一定，改变线密度，测量共振频率和弦线的密度。

（1）放置两个劈尖至合适的间距，选择一定的张力，调节驱动频率，使弦线产生稳定的驻波。

（2）记录相关的弦长和张力等参数。

（3）换用不同的弦线，改变驱动频率，使弦线产生同样波腹数的稳定驻波。记录相关的数据于表3－23－3。

【数据与结果】

表3－23－1 张力一定时不同弦长的共振频率

作波长与共振频率的关系图。

表3－23－2 弦长一定时不同张力的共振频率

作张力与共振频率的关系图，作张力与波速的关系图。

注：这里的共振频率应为基频，如果误记为倍频的数值，则将得出错误的结论。

【实验指导】

1.                如果驱动与接受传感器靠得近，将会产生干扰，通过观察示波器中的接收波形可以检验干扰的存在。当它们靠得太近时，波形会改变。为了得到较好的测量结果，至少两传感器的距离至少应大于10cm。

2.                悬挂和更换砝码时动作应轻巧，以免使弦线崩断，造成砝码坠落而发生事故。

【思考题】

1.      通过实验，说明弦线的共振频率和波速与哪些条件和因素有关?

弦的长度，弦的张力，弦的密度

2.      试将按公式求得值与静态线密度比较，分析其差异及形成原因。

实验误差

3.       如果弦线有弯曲或者粗细不均匀，对共振频率和驻波的形成有何影响？

导致受力不均，使共震频率不稳定，从而不能形成驻波

第二篇：弦振动的研究

实验四  弦振动的研究

【实验目的】

1.观察弦振动时形成的驻波；

2.用两种方法测量弦线上横波的传播速度，比较两种方法测量的结果；

3.验证弦振动的波长与张力的关系。

【实验仪器和用具】

电振音叉(频率约为100)，弦线，分析天平，滑轮，砝码，低压电源，米尺

【实验原理】

如图12-1所示，将细弦线的一端固定在电振音叉上，另一端绕过滑轮挂上砝码。当音叉振动时，强迫弦线振动(弦振动的频率应与音叉的频率相等)，形成一系列向滑轮端前进的横波，在滑轮处反射后沿相反的方向传播，在音叉与滑轮间往返传播的横波的叠加形成一定的驻波。适当调节砝码的重量或弦长(音叉到滑轮间的弦线距离)，在弦上将出现稳定的、强烈的振动，即弦线与音叉的共振。弦线共振时，驻波的振幅最大，音叉端为振动的节点(非共振时，音叉端不是驻波的节点)，若此时弦上有个半驻波，则有，弦上的波速则为

               (12-1)

或                              (12-2)

根据波动理论，横波在弦线上的传播速度与弦线张力及弦线的线密度之间的关系为

                （12-3）

将式(12-3)代入(12-1)得：

式(12-4)表示，以一定频率振动的弦，，其波长将随张力及线密度的变化而变化的规律。同时也表示出，弦长、张力、线密度一定的弦，其自由振动的频率不只一个，而是包括相当于的等多种频率。其中的频率称作基频，的频率称作第一、第二谐频，但基频较其它谐频强的多，因此它决定弦的频率，而各谐频决定它的音色。振动体有一个基频和多个谐频的规律不只在弦线上存在，而是普遍的现象。但基频相同的各振动体，其各谐频的的能量分布可以不同，所以音色不同。

当弦线在频率为的音叉策动下振动时，适当改变和，和强迫力发生共振的不一定是基频，而可能是第一、第二、第三谐频，此时在弦线上出现2，3，4个半波区。

【实验内容】

1.测量弦线的线密度

取2米长和所用的弦线相同的线，在分析天平上称出其质量，求出它的线密度。

2.观察弦线上的驻波

根据已知音叉频率(一般为100)和已知的线密度，求出弦长在20附近，若要弦的基频与音叉共振时，弦的张力。

选取弦线长在130左右，根据上述计算的张力值，选择适当的砝码挂在弦线上，给电振音叉的线圈通以50，电压为的交流电，使音叉作受迫振动，进行以下观测：

(1)使弦线长从20左右开始逐渐增加(拉动音叉移动)，当个半波区的几种情况下弦线共振时，分别测出弦长并计算出波长。

(2)使弦长大于共振时的弦长，小于共振时的弦长，从这种情况下振动的弦上，测出波长，并和上面的测量结果相比较(注意：此时音叉端点不是弦的节点)。

3.弦上横波的波长与张力的关系

增加砝码的质量，再细调弦线长使之出现共振，测出弦线长，算出波长。重复测量取平均值。值改变6次。

将(12-4)式两边取对数得：

即与间成线性关系。

根据测量值，在坐标纸上作出曲线，求出曲线的纵轴截距和斜率，将截距和相比较，斜率和相比较，分析产生差异的原因。

4.比较两种波速的计算值

从以上测量中选取合适的数据，代入(12-1)和(12-3)中，计算出理论上应当相等的两个速度值，分析产生差异的原因。

5.从记录的数据中，选取一组数据代入式(12-4)中，计算出弦振动的频率，说明它和已知音叉频率的差异是否显著？

注：实验中，音叉的振幅调的小些为宜，因测量时音叉端被看作节点。

【实验数据】

1.弦线的密度测定

表12-1  弦线的密度测定

2.设弦长，由公式(12-4)计算出弦的基频与音叉共振时，弦的张力？用于下表中的测量。

表12-2-1  驻波的观察与测定   弦线总长选定约130

表12-2-2测量步骤2(2)数据

表12-3弦上横波波长与张力的关系

【思考题】

1.增大弦的张力时，如线密度有变化，对实验将有何影响？能否实验中检查的变化？

2.将线密度为的细铜线用张力拉紧，其上通以频率为的交流电，在弦的中间放置一永磁铁，如图12-2所示。说明在什么条件下，弦上出现明显振动？它的频率与弦上交流电的频率有何关系？

    3.图12-2的装置上，弦的两端如果所加的简谐波交流信号的频率是可变的，将频率从低慢慢增加到较高时，弦的振动将会如何变化？