基金使用计划

基金使用计划

摘要 本文培出了基金存款策略的数学模型。对于基金M 使用1,1年的情况而言，首先把M 分成n份．其中第f(1≤ l≤n)份存款z，存期为t年，那么只有当第z(t≤n一1)册资金按最佳存款策略存款到期后的车息和等于当年的奖半金散，井且第 份资金按最佳存戢策略存敖 年后的车息和等于原基金M 与当年的奖学金散之和时，每年发故的奖学盘才能遮到最多。通过求解此模型，我们得到了基金的最佳存鼓策略．井求出了在 =10年，M =5000万元的情况下．基金的最佳使用方案。在可存款也可购买国库券时．采取一种转化方法．将国库券购买情况转化为相应年期的定期存鼓，结合问题(一)即可求得在n=10年．M =5000万元的情下．基金的最佳使用方案 在第三年校庆时奖学金数橱比其它年度多20％的问题的分析方法和模型的解决方法与前相同。

关键词：基金，数学模型，最佳方案

l 问题的提出

某校基金会有一笔数额为M 元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见下表。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策参考银行的现行政策。较基金会计划在 年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在 年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳曲基金使用计划．以提高每年的奖金额 请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M =5000万元，n 10年给出具体结果：

1) 只存款不购国库券；

2) 可存款也可购国库券；

3) 学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其它年度 多20％ 。

银行存款税后年利率(％) 国库券年利率(96)

括期 0．792

半年期 1 664

一年期 1 800

二年期 1．944 2 55

三年期 2 160 2-89

五年期 2 304 3．14

2 问题分析

综台分析问题(一) 参照存款年利率数据表可知．定期存款年限越长，存款税后年利率越大。因此，在不影响奖金发放的情况下，应尽可能存年限较长的定期存款，这样才能获得较高的利息。所以．此基金的最佳使用计划是：拿出一部分基金存入一年定期，一年后的本息全部用于发放第一年的奖金，再拿出一部分基金存As-年定期，二年后的本息全部用于发放第二年的奖金，以此类推，且每年发放奖金数额相同，最后一年存入银行的款项在发完奖金后仍然为基金总额M 。 分析问题(二 ) 研究题目所给的数据，我们可 发现，同期的国库券年利率明显高于银行存款的年利率，所以首先应考虑尽可能多的购买国库券，但由题意可知，国库券的发行时间不是固定的．若一味追求高利率，有时反而会增加活期存款所

占的比重．所得平均年利率不一定为最优。我们利用逐个分析法研究在每个年限 中最佳的方案，然后归纳出总的公式，并针对具体数值．M =5000万元，n=10年，求出最佳存储方案，用问题一、二所归纳出的方案，我们只需把第三年的奖金增加20％ ，再分别代入两个最优方案，就可以求出在两种不同情况下的最佳基金存款方案。

3 模型假设

1) 每年发放奖学金一次，且均在年末发放。

2) 银行发行国库券时间不固定。

3) 由于近几年国库券销售市场很好，所以，国库券可在发行当日购买。

4) 国库券在投有到期之前，不得进行贴现。

4 模型建立

问题一：只存款不购买国库券的情况。

定理1 一定数额的资金H 先存定期m 年再存定期 年与先存定期k年再存定期m 年，本息和相等。(m ，k∈(1，2，3，5))证明设，| ，L 分别为定期m 年和 年的年利率，则一定数额的资金H 先存定期m 年再存定期k年的本息和H(1+mL )(1+ L^)；先存定期k年再存定期m 年的本息和为H(1+盎L )(1+mL )，

根据乘法交换律H(1+巩L )(1+五 )=H(1+kLt)(1+mLm)定理一得证。

推论l 一定数额的资金H 著把存款年限 分成 个存期，n= 1+ 2+n 3+?+ i，其 中 ．∈(0．5，1，2，3，5)，(i=1，2?J)，则n年后本息和与存期顺序无关。 定理2 使一定数额的资金日存储 年后本息和最大的存款策略为

当 =1时，存定期1年；

当 =2时，存定期2年；

当 =3时，存定期3年；

当 =4时，先存定期3年，然后再存定期1年；

当n=5时，存定期5年；

当 >5时，首先存储个[詈]个5年定期，剩余年限存储情况与n<5时相同。

证明：下表中用形如(i， )的形式表示存款策略，(i， )表示先存i年定期，再存j年定期。

表1 银行存款各种存款策略年均利率

存款策略 银行存款税后 最佳存款策略 银行存款税后

年均利率(％) 最佳年均利率(％)

一年期 (1) L．80o (1) 1．800

两年期 (1．1) 1．816 (

(2) 2) 1．944

1．944

(1．1，1) 1．833

三年期 (2，1) 1．919 (3) 2．160

(3) 2．160

(1，L，1．1) 1 849

四年期 (2，2) 1．982 (3，1) 2．099

(3．1) 2．099

(1，1．1，1．L) 1 866

五年期 (2，2，1) L．974 (

5) 2．304

(3，2) 2 l24

(5) 2．3O4

六年期 (3．3) 2 230 (5

，1) 2．255

(5，1) 2，255

由上表可得．任何最佳存款策略中不能存在以下的存款策略(1，1)、(2，1)、(2，

2)(3，2)和

(3，3)。由l，2，3，5四种定期能够组成的最佳策略(5年定期不重复)只能有(1)，

(2)，(3)，

(3，1)，(5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，3，1)九种，它们分别对应 ：l到9年的最优存款策略，当 >9时的最佳存款策略只能是首先重复存[詈]个定期5年，剩余年限rood(n，5)只能

是1、2、3、4，当mod(n，5)：1时，再存1年定期；当rood(n，5)=2时，再存2年定期；当rao( ，5)=3时，再存3年定期；当rood(n，5)=4时，先存3年定期，再存1年定期。

定理2得证。

定理3 基金M 使用 年的情况，首先把M 分成n份，其中第i(1≤i≤n)份基金 ．存 款期限为j年，那么只有当第i(1≤ ≤n一1)份基金z．按最优存款策略存款i年后的本息和等于当年的奖学金数，并且第n份基金按最佳存款策略存款 年后的本息和等于原基金M 与当年的奖学金数之和时，每年发放的奖学金才能达到最多。 证明：当 =1时，即将基金存人银行一年后的所得利息全部用于发放奖学金，此种情况显然成立。当 >1时，首先需要证明：第一份基金．271存人银行1年定期，到期后本息和正好等于奖学金数额P，即 I(1十l_8％)=P， 1=pl(1+1．8％)。 下面试用反证法予以证明：

假设zI~-pl(1+1．8％)，可分两种情况：

(一) 假设．271<pl(1+l_8％)，那么基金z1存人银行1年后，到期本息和小于奖学金数额P，为了使每年的奖学金数额尽可能相同，所差资金只能从其它定期存款中按活期存款提前支取，这样做的结果比按．271=P／(1+1．8％)存一年定期(即到期本息和正好等于奖学金数额)，其它基金均按定期存款的总利息要少。为使奖学金数额最大，所以zI≮ pl(1+1．8％)

(二) 假设．271>pl(1+1_8％)，那么基金z1存人银行1年，到期后本息和大于奖学金数

额P，剩余资金再按最优存款策略存k年，这种情况所得利息显然不比在开始时多余部分资金直接按最优存款策略存h+1年后利息多，所以 ≯ P／(1十1_8％)。 因此．27I=P／(1十1_8％)。同理可证，为使奖学金数额最大，第 份基金．27 (1<f≤ —1)按最优存款策略存i年后本息和应正好等于奖学金数额。

第n份基金为M 一Σ z 存储n年应按最佳策略存款。根据问题条件，第 份基金按最优策略存 年后所得本息和应为M P。

定理3得证。

5 模型的求解

由定理1、定理2、定理3可得 年的最佳存款方案公式一为(其中．27 (14 i≤ )表示把基金M 分成n份中的第 份基金，P为每年的奖学金数额)：

．27l(1+1、8％ )=P

2(1+1．944％ ×2)=P

．273(1+2．16％ ×3)=P

．27 (1+2．16％ X 3)(1+1．8％)=P

．275(1+2．304％ ×5)=P

( )峙】( )=X5 P 当6≤ ≤ 一l且J一5[÷]≠0 ．27(】一5【士】) 0

( ) { P 当 5(古]=o

(M 一 )( ( +M

据上公式可用Matlab求得n=10年，M =5000万元时基金使用的最佳方案： 奖学金P=109 81694-7(万元)

裹2 置值殛萁存 年的最佳存款策略

资金数额(万元) 最佳存款策略

】 107．875194 (1)

105．707057 (2)

103．133872 (3)

101．310287 (3．1)

5 98．472872 (5)

96 731702 (5．1)

' 94．787533 (5．2)

8 92．480158 (5，3)

90 844949 (5．3，1)

4108．656375 (5，5)

衰3 M =5000万元，n=10年基金使用最佳方案【单位：万元)

存取款数额 每年发放

1年定期 存2年定期 存3年定期 存5年定期 (到期本息和) 奖学金数额 第一年初 107 875194 105 707057 204 4444159 4581．97359

第一年末 109．816947 109．816947

第二年末 109．816947 109．816947

第三年末 107．875194 217．692141 109．816947

第四年末 109．816947 109．816947

第五年末 107．875194 105 707057 204．4444159 4691．790281 5109．816947 109．816947

第六年末 109．816947 109．816947

第七年末 109．816947 109 816947

第八年末 107．875194 217．692141 109．816947

第九年末 109．816947 109．816947

第十年末 5109 816947 109．816947

问题二的求解

我们对可购买国库券也可存款这种情况，考虑到国库券发行日期不定，若准备购买它，则一般需要等待一段时间，因为一年内至少发行一次国库券，有可能上半年发行，也有可能下半年发行，所以我们首先把准备购买国库券的资金全部按半年定期存储，如果上半年来发行国库券，7月1日取出本息后再存半年定期，如果下半年的某日比如8月1日发行国库券，则取出资金购买国库券，但这部分资金未到期，只能按活期计息。如果是购买两年国库券，则两年国库券到期后，因未到期末．肯定面对继续采取怎样的存储策略的问题，或者存定期，或者存活期，或者等待购买国库券。如果等待购买国库券，因国库券发行时间未定．有可能还要

等待将近一年的时间，如果准备存整年定期，那么等到基金使用最后一年的8月1日即可到期，剩下的5个月只能存活期。

根据定理2可得：

推论2 购买国库券时，需要存半年的定期和总共半年的活期。

一定数量的资金存储n年，存期种类相同，任意改变顺序，本息保持不变。再加上以上分析，如果准备购买两年期国库券可以这样想象：先存半年定期，再存1个月的活期，在8月1日购买两年期的国库券，两年后的8月1日取出国库券的本息后，再存5个月的活期，即需要存半年的定期和总共半年的活期。

单位资金购买两年国库券、存入银行半年定期和半年活期后的本息为： (1+2．55％ ×2)×(1+0．792％ ×0．5)x(1+1．644％ ×0．5)=1．0638 这种存款策略稍劣于存^银行的三年定期，其年利率为：

(1．0638—1)／3≈ O．0213=2．13％

同理，单位资金购g；-年期国库券、存入银行半年定期和半年活期后的本息为： (1+2．89％ ×3)×(1+0．792％ ×0．5)×(1+1．644％ ×0．5)=1．09997 这种存储策略稍优于存入银行的四年定期，其年利率为：

(1．09997—1)／4m 0．02499：2．499％

单位资金购买五年期国库券、存入银行半年定期和半年活期后的本息为： (1十3 14％ ×5)× (1十0．792％ ×0 5)×(1+1．644％ ×0．5)=1．1711 这种存储策略稍优于存入银行的六年定期，其年利率为：

(1．1711—1)／6≈ 0．02852=2．852％

在上面的分析中，因购买国库券而带来的总共半年的两次活期存款，其本息是按一次半年活期计算的，它与按一次半年活期计算，其本息差别很小，可以忽略不计。所以，可以不考虑购买两年国库券情况。购买三年期国库券再加半年活期和半年定期共四年的平均年利率2．499％大于先存三年定期再存一年定期存款最大的四年平均年利率2．099％。所以，增加一项定期四年存款，其年利率为2．499％ 。 购买五年期国库券再加半年话期和半年定期共六年的平均年利率2．852％ 大于先存五年定期再存一年定期存款最大的六年平均年利率2．255％。所以，增加一项定期六年存款，其年利率为2．852％ 。银行存款税后年利率(％)

活期 0．792

半年期 1．644

一年期 1．800

二年期 1 944

三年期 2 160

四年期 2．499

六年期 2．852

当n=1时，因没有一年期国库券，基金只能存入银行，基金使用方案参照问题一。 当n=2时，可以购买国库券，但由于国库券发行日期正好在1月1日的概率非常小，因

此，最终国库券到期日可能在第三年的某月，这样就影响了第二年末的奖金发放，所以，也只能把基金存入二年定期，而不购买国库券。

根据以上的推理，可得n年的最优存储方案公式二为：

z1(1+1．8％)=P

z，(1+1．944％ ×2)=P

z1(1+2．16％ ×3)= P

z (1+2．89％ ×3)(1+0．792％ ×0．5)(1+1．644％ ×0．5 j=P

5(1+2．89％ ×3)(1+0．792％ ×0．5)(1+1．644 96×0．5)(1+1．8％)=P X6(1+3．14％ ×5)(1+0．792％ ×0．5)(1+1．644％ ×0．5)=P

z ( ) ) P 当7≤ ≤ 一1且 -6[舌]≠0

，( )唁】_P 当 ～6[舌]=0

(M—x置-t 去) )=P+M

据上公式用Matlab可以求得n=10年，M =5000万元时基金使用的最优方案：(单位：万

元)

每年奖学金：P=127．423384

xi 125．170318， 2= 122 654574， = 119．668843， 4= 115．842454， 517 5 113．794159， 6=108 803799， 7=106．879959， 8=104．731825． x9= 102．182380， 10= 3980．271687

问题三求解：

方案一：只存款不购买国库券

因学校要在基金到位后的第3年举行校庆，所以此年奖金应是其他年度的1．2倍，计算公式只需把公式一、公式二中： 3(1+2．16％ ×3)=P改为 3(1+2．16％ ×

3)=1．2P利用Matlab软件求解(程序略)M =5000万元，Tt=10年基金使用最佳方案：(单位：万元)

表4 M =5000万元．n=10年基金使用最佳方案(单位：万元

存1年定期 存2年定期 存3年定期 存5年定期 取款数额 每年发放

(到期奉息和) 奖学金数额

第一年初 105 650679 103．527252 220 429705 4570．392364

第一年末 107．552392 107．552392

第二年末 107．552392 107．552392

第三年束 105．650679 234 713549 129 062870

第四年束 107 552392 107．552392

第五年末 105．650679 103．527253 220 429705 4678．147602 5107．7552392 107 552392

第六年末 107 552392 107 552392

第七年末 107．552392 107．552392

第八年末 105 650679 213．203071 107．552392

第九年末 107．552392 107．552392

第十年末 5107．7552392 107 552392

方案二、既可存款又可购买国库券

当n=1，2时不涉及到校庆问题，分配方案参照问题二。

当 =3时，将钱直接存^银行，分配方案参照问题一。

当n=4时，执行方案为购买三年期国库券、一个半年定期与一个半年的活期，策略为：

z1(1+0．018)=P4

z2(1+0．01944×2)=P4

1(1+0．0216×3)=1．2Pd

(M — l— 2一 3)+(1+0．0289×3)(1+0．01644×0．5)(1+0．00792×0．5)=M +P4 解得：z1= 115．291609，z2=112 974413， ： 132．269187，X4= 4639．464791，

P =

117．366858

根据以上的求解，只需将问题二最优方案中第三年的奖学金数乘以1．2即可得到本方案

的最佳使用情况。

利用Matlab软件求解(程序略)M =5000万元， =10年基金使用最优方案：(单位：万

元)

每年奖学金：P=124．754224

l= 122．548353， 2= 120．085307， 3= 140．594542， 4=113．415882， 5= 111．410493， 6=106．524666， 7： 104．641126， E=102．537989， 9= 100．041948， 1o= 3978．199695

6 模型评价

本模型有以下优点：

1) 模型在建立过程中充分考虑到学校基金的特殊性，得出最佳的分配方案。

2) 利用Mat lab软件编程进行求解，所得结果误差小，数据准确合理。

3) 利用优化组合法，分组比较，得出一段年限内最大的平均利率。

4) 该模型实用性强，对现实有很强的指导意义。

5) 购买国库券时，证明了发行日期对利率的影响很小，可以忽略不计，使问题简化。

参考文献：

[1] 姜启源．散学模型(第二版)[M] 高等教育出版杜19xx年8月第2版

[2] 程卫国荨MATLAB5 3直用指南[M] 人民邮电出版社19xx年11月第1舨