《线性代数及其应用》

一、行列式

1、余子式，代数余子式

2、行列式的展开定理(定理2.2，2.3，2.4)

       按行展开：

按列展开：

定理2.4  ；

.

3、行列式的性质

       (1) 拆性

(2) 若行列式有两行(列)成比例，则行列式等于零.

(3) 初等变换性质

4、行列式计算：三角化法，降阶法(性质+展开定理)，递推(归纳)，范德蒙德、三对角

5、分块矩阵的行列式

二、矩阵

1、矩阵及其运算(加法、数乘、乘法、幂、转置、方阵的行列式、分块运算)

(1) 乘法的结合律

(2) 方阵的幂的求解 

(3) 转置的性质：

(4) 方阵的行列式： 

(5) 分块运算(转置、乘法--例3.13、3.14)

2、初等变换及初等矩阵

左行右列      

3、可逆矩阵

(1) 定义、性质

(2) 伴随矩阵

(3) 判定：可逆

(4) 逆矩阵的求法

(5) 分块矩阵的逆

 (6) 矩阵方程的求解：，其中可逆.

法1  .

法2  .

4、矩阵的秩与矩阵的相抵

(1) 矩阵的秩与性质(101页，105-107页)

① ；

② 子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩；

③

④ ；

⑤ ；

⑥ ；

⑦ 或；

若，则，其中，.

⑧ 设，则

(2) 求矩阵的秩 (理论依据：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩)

(行阶梯形矩阵)，

则的非零行的个数.

(3) 矩阵的相抵(等价)

①

② ，其中可逆.

③ 或.

三、线性空间

1、概念、子空间的验证(非空、加法和数乘的封闭)

2、向量组的线性相关性的判断(命题4.2、4.3、4.4、4.5、定理4.1、4.2、4.4)

(1) 证明方法--定义、秩、坐标化

(2) 充要：线性相关其中至少有一个向量可由其余向量线性表示.

充分：线性相关部分向量组线性相关

向量的个数大于向量分量的个数

被个数少于的向量组线性表示

线性无关 

3、等价向量组

(1) (Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，则(Ⅰ) (Ⅱ).

(2) (Ⅰ)与(Ⅱ)等价，则(Ⅰ) (Ⅱ).

4、向量组的秩及极大无关组(命题4.6)、线性空间的基与维数

(1) 写成列向量作初等行变换.

(2) 对于，则， 即生成子空间的维数

与基就是向量组的秩与极大无关组.

5、坐标的概念、基变换公式与坐标变换公式

基变换公式：

坐标变换公式：

或

四、线性方程组(含参量、不含参量)

1、解的情况

(1)

若是方阵，则

(2) 齐次线性方程组有非零解.

若是方阵，则齐次线性方程组有非零解.

2、解的结构

齐次：

(1) 解空间、基础解系所含向量的个数

(2) 结构式：通解=基础解系的线性组合

非齐次：

(1) 非-非=齐

(2) 结构式：通解=特解导出组的基础解系的线性组合

五、线性变换

1、线性变换的验证 (定义5.4)

2、线性变换在一个基下的矩阵(定义5.7)、命题5.8

3、线性变换在不同基下的矩阵之间的关系(相似) 定理5.9

六、内积空间

1、内积的概念、长度、正交(正交向量组必线性无关)

2、施密特正交化

3、正交矩阵(定义、性质)

阶实矩阵是正交矩阵的充要条件是的列(行)向量组是的一个标准正交基.

七、矩阵的相似对角形

1、特征值和特征向量的定义、性质

2、相似矩阵的定义、性质(迹、秩、行列式、特征值相等)

相似的判定：若与可对角化，且与具有相同的特征值，则与相似.

3、矩阵的相似对角化

可对角化有个线性无关的特征向量

数域内有个特征值，每一个特征值的几何重数等于代数重数

(充分条件) 有个互不相同的特征值可对角化

4、实对称矩阵

   (1) 特征值：实对称矩阵有个实特征值.

 (2) 特征向量：实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交.

   (3) 实对称矩阵必正交相似于对角矩阵(几何重数等于代数重数).

   (4) 与均为实对称矩阵，则与正交相似与具有相同的特征值.

                                     (正交相似相似、合同)

八、二次型

1、二次型的矩阵及秩

2、矩阵的合同：合同必相抵；正交相似相似、合同

实对称矩阵合同的正惯性指数与秩相同

3、化二次型为标准形(不唯一)--正交替换法、配方法

4、惯性定理：实二次型的规范形唯一

5、正定二次型

(1) 判定：①  定义；

② 的特征值都大于零(的正惯性指数等于)；

③ 与合同(与正定矩阵合同的实对称矩阵正定)； 

④  存在可逆矩阵，使得；

⑤ 的所有顺序主子式都大于零

(2) 必要条件：；

第二篇：线代总结

1.     注意矩阵之间常见的几种关系：

（1）       可交换

（2）       等价

（3）       相似

（4）       合同

其中，等价与相似的符号都是“～”，但他们含义不同，需注意。

另外，（2）（3）（4）都具有反身性，对称性和传递性。

                  

2.     注意常见的几种矩阵：

（1）       对称矩阵与反对称矩阵

（2）       非奇异矩阵与奇异矩阵

（3）       满秩矩阵与降秩矩阵

（4）       可逆矩阵

（5）       单位矩阵

（6）       对角矩阵

（7）       数量矩阵

3.     正交矩阵既要是正交的也要是规范的，但

   正交向量组仅需要是正交的即可

4.       含参数的线性方程组（方程数等于未知量个数），求参数为何值时，有唯一解，无解，无穷解的做法：

（1）系数矩阵的行列式不为零时，有唯一解

（2）系数矩阵的行列式为零时，有无穷解或无解。

此时解出参数值，带入系数矩阵求秩，即可判断出何时无解，何时有无穷解。

5.  证明α1, α2, ……αn  线性无关的标准思路：

        令a1α1+a2α2+ ……+anαn=0,  再证明  a1= a2=……=an=0

6. 求正交矩阵P将矩阵A对角化的方法：

（1）求出A的各特征值

（2）求个特征值对应的特征向量

（3）若某特征值仅对应一个特征向量，则将它单位化；

若某特征值对应多个特征向量，则将这一组向量用施密特正交法正交化，再单位化

（4）将（3）中求得的各向量组合在一起即为P

另外，若题目只说求矩阵P将矩阵A对角化，并未要求P是正交矩阵，则做完（2）后，直接将各个特征向量组合在一起即可，（3）（4）步就不用做了

7.  求正交变换化二次型为标准型的方法：

   先将二次型对应的矩阵写出，之后的做法与将矩阵对角化的方法相似