数列求和方法归总结

【教学目标】：

1. 掌握等差数列、等比数列的通项公式，前项和公式，并会灵活应用。

2. 掌握求一些特殊数列前项和的方法。

3. 体会并理解数列求和中蕴含的数学思想方法。

【重点难点】：

1. 重点：⑴. 等差数列、等比数列公式的灵活应用；

⑵. 掌握求一些特殊数列前项和的方法。

2. 难点：掌握求特殊数列前项和的方法。

【教学工具】：多媒体

【教学过程】：

一、知识要点：

1. 等差数列前项和公式：，推导方法：倒序相加法。

等比数列前项和公式：当时，；当时，。

推导方法：倍错位相减法。

2. 公式：⑴. ；

⑵. 。

3. 求特殊数列前项和的方法：

⑴. 公式法：直接利用上面的公式或等差数列前项和公式、等比数列前项和公式求和；

⑵. 合项法求和：把一个数列几项合并成一项化为可以直接求和的数列；

⑶. 拆项分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列；

⑷. 裂项相消求和：把一个数列的通项分成二项差的形式，相加过程消去中间多数项，只剩有有限项再求和。

⑸. 倍错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项的积构成的新数列求和；

⑹. 倒序相加法：如果一个数列{a_n}，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和（都相等，为定值），可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和的方法称为倒序相加法。

二、典例分析：

1、公式法求和：

例1. 已知，求其前项和。

解：∵，∴。

2、合项法求和：

例2. 求数列的前项和。

解：当为偶数时，，

当为奇数时，。

3、拆项分组求和：

例3. 求和。

解：当时，；

当时，

               

               

                。

4、裂项相消求和：

例4. 设正数数列的前项和为，且满足。

⑴. 求出数列的通项公式；

⑵. 设，记数列的前项和为，求。

解：⑴. 当时，，

       整理得，∵，∴ 。

       当时，，解之得。

∴ 数列是以为首项，以为公差的等差数列，∴。

⑵. ∵ ，

∴

。

5、倍错位相减法：

例5. 设数列的前项和为，数列为等比数列，且，。

⑴. 求出数列和的通项公式；

⑵. 设，求数列的前项和为。

解：⑴. ∵ 当时，，

当时，，

∴ 数列的通项公式为；

设数列的公比为，则由得，，

∴，故。

⑵. ∵，  ∴

，

两式相减得

，

∴ 。

6、倒序相加法：

例6.已知，求，

解：∵，

∴ 将上式倒序得，

∴，，

∴。

三、巩固训练：

数列求和（理）

1.已知等差数列的前项和为，若，且

，则等于（   ）                                          

    A.38              B.20             C.10               D.9

2.一种堆垛方式，最高一层2个物品，第二层6个物品，第三层12个物品，第四层20个物品，第五层30个物品，…，当堆到第层时的物品的个数为       .

3.若等比数列的前7项的和为48, 前14项的和为60, 则前21项的和为          .

4.数列和中，，且对于任意自然数，，是与的等差中项，则的各项的和为           .

5.已知数列，的值为

           .

6.数列，，，…的前项之和为           .

7.求和：

8. 求和：

9. 求和：

9. 求证：。

数列求和(文)

（一）、选择题

1.（20##年高考全国卷Ⅳ） 在等差数列中，，，则此数列前20项和等于（   ）

A.160           B.180          C.200         D.220

2.（20##年高考全国卷II）设是等差数列的前项和，若，则等于（   ）

A.            B.           C.          D. 

 3.（20##年高考北京卷）

设，则等于（   ）

A.   B.     C.      D.

（二）、填空题

4.（20##年高考浙江卷） 在等差数列中，为的前项和，若，，则公差为           .

5.（20##年高考湖北卷） 设等比数列的公比为，前项和为，若、、成等差数列，则的值为           .

6.（20##年高考江苏卷）.设数列的前项和为，（对所有），且，则的数值是           .

（三）、解答题

7.已知数列满足：，求

8.已知数列满足，求数列的前项和.

9.（20##年高考湖北卷）

设数列的前项和为，为等比数列，且， . ⑴ 求数列和的通项公式；

 ⑵ 设，求数列的前项和.

10.求和：。

数列求和（理）参考答案

1.C  2.   3.    63     4.    5.  

（第5题提示：＝

＝

 ＝

 ＝）   6.

7. 解:

8. 解: 由  得：

      

 

9. 解: 令，则

 

 

      

若，则有：

       

 

若，则

若，则

10.证明：设，

把（1）式右边倒序得：，

又由得，

由得，

。

数列求和(文) 参考答案

一、选择题

1.  B   2.   A    3.  D  

 二、填空题

4.          5.  -2       6.   2       7.       

8.提示:因为

         ∴

9.解：⑴  当 ；

，

故的通项公式为的等差数列.

设的通项公式为

故

⑵

，

两式相减得: 

10.解：∵，

把（1）式右边倒序得：，

又∵， 由得：

，。

第二篇：数列求和方法总结

数列求和的基本方法和技巧

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础。 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧。

一、公式法

   利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。

1、  差数列求和公式：  

2、等比数列求和公式：

3、                 4、

4、

例 ：已知，求的前n项和.

解：由

    由等比数列求和公式得      

                               ＝

＝

＝1－

解析：如果计算过程中出现了这些关于n的多项式的求和形式，可以直接利用公式。

二、错位相减

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a_n·　b_n}的前n项和，其中{ a_n }、{ b_n }分别是等差数列和等比数列。

例：求数列a,2a²,3a³,4a⁴,…,naⁿ, …(a为常数)的前n项和。

解：若a=0, 则S_n=0

若a=1,

则S_n=1+2+3+…+n=          

若a≠0且a≠1

则S_n=a+2a²+3a³+4a⁴+…+ naⁿ

∴aS_n= a²+2 a³+3 a⁴+…+naⁿ⁺¹

∴(1-a) S_n=a+ a²+ a³+…+aⁿ- naⁿ⁺¹

=

 ∴S_n=

当a=0时，此式也成立。

∴S_n=

解析：数列是由数列与对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，（课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行讨论，最后再综合成两种情况。

三、倒序求加

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个。

[例5] 求证：

证明： 设………………………….. ①

       把①式右边倒转过来得

                         （反序）

       又由可得

       …………..…….. ②

   ①+②得         （反序相加）

        ∴  

解析：此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒序相加的。

四、分组求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。

例：S_n=-1+3-5+7-…+(-1)ⁿ(2n-1)

解法：按n为奇偶数进行分组，连续两项为一组。

当n为奇数时：

S_n=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+(-2n+1)

 =2×+(-2n+1)

 =-n

当n为偶数时：

S_n=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+[(-2n+3)+(2n+1)]

 =2×

 =n

∴S_n=

五、裂项相消求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：

（1）       （2）

（3）   （4）

（5）

(6)

例：求数列，，，…，，…的前n项和S

解：∵=）

    S_n=

      =

      =

解析：要先观察通项类型，在裂项求和，而且要注意剩下首尾两项，还是剩下象上例中的四项，后面还很可能和极限、求参数的最大小值联系。

六、合并求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S_n.

例：  数列{a_n}：，求S₂₀₀₂.

解：设S₂₀₀₂＝

由可得

……

∵                   （找特殊性质项）

∴　S₂₀₀₂＝                                    （合并求和）

     ＝

＝

＝

＝5

七、拆项求和

先研究通项，通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式，再代入公式求和。

例：求数5，55，555，…， 55 …5 的前n项和S _n

解： 因为 55 …5=

所以 S _n=5+55+555+…+ 55 …5

      =

      =

      =

解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。

另外：S_n=

可以拆成：S_n=（1+2+3+…+n）+()

                           八．错位相减

错位相减一般是一项等差数列一项等比数列的相乘，这个时候他的工具就是错位相减法

例：求1/2+3*(1/4)+5*(1/8)+…..+(2n-1)(1/2ⁿ)的和

解：设s=1/2+3*(1/4)+5*(1/8)+…..+(2n-1)(1/2ⁿ)………………… 1

    乘以这个式子的公比（只看分母，简称这个为等差比数列）

     1*(1/2)得：（1/2）s=1/4+3*(1/8)+5*(1/16)+……+(2n-1)(1/2ⁿ⁺¹)………………………2

   1-2可得1/2s=1/2+2*(1/4+1/8+……+1/2ⁿ)-(2n-1)(1/2ⁿ⁺¹)

解上面式子：右边等比数列，只是多出来两项一项是1/2，一项是 （2n-1）（1/2ⁿ⁺¹）

最后求出s即可

解析：此类型的题最主要的是找到等比数列的公比，然后给每一项乘以这个公比：在将得到的式子和原来的式子做减法，即可求出数列和