摘要
本文根据银行住房贷款和我们的日常常识，首先对题目中的条件进行合理的分析，推导出月均还款总额的公式，建立数学模型。
其次根据给出的银行利率，利用Matlab数学软件和已求出的公式，计算出20年内月均还款额和所花费的本息总额，制成图表并借以分析贷款的期限与月还款之间的关系。
最后对按揭贷款买房提出了一些我们的建议。这些天来我们对贷款买房的研究，使我们对这个很现实的问题有了较深的了解，相信这些实用知识对我们的未来发展一定有很大的帮助。
关键词：贷款，利率，月均还款总额
1问题的提出
随着经济的发展，金融正越来越多的进入普通人的生活；贷款，保险，养老金和信用卡；个人住房抵押贷款是其中重要的一项。20##年12月，中国人民银行公布了新的存，贷款利率水平，其中贷款利率如下表所列
根据新的利率计算以人民币10万元为例计算贷款的月还款数（计算到20年）
2模型的假设
1.银行在贷款期利率不变
2.在这段期间内不考虑经济波动的影响
3.银行利息按复利计算
4.客户在还款期内还款能力不变
3符号的约定
A : 客户向银行贷款的本金
X: 客户平均每期应还的本金
α: 客户向银行贷款的月利率
β: 客户向银行贷款的年利率
n : 客户总的还款期数
4模型的建立
因为一年的年利率是β，那么平均到一个月就是（β/12），也就是月利率α，即有关系式：
。
设：
（i=1…n）是客户在第i期1号还款前还欠银行的金额
(i=1…n) 是客户在第i期1 号还钱后欠银行的金额.
有：
第1期还款前欠银行的金额：
第1期还款后欠银行的金额：
……
第i期还款前欠银行的金额：
第i期还款后欠银行的金额：
……
第n期还款前欠银行的金额：
第n期还款后欠银行的金额：
因为第n期还款后，客户欠银行的金额就还清. 也就是说：
，
即：
解方程得：
这就是月均还款总额的公式。
5模型的求解
根据上面求出的月均还款总额的公式，利用Matlab我们求出20年期的月均还款额和本息总和。（如下表）
单位:元
由上表可见贷款额一定时，期限越短，损失（付银行总利息）越少。因此在选择还款期限时，应据自身的实际月收入而定，首期应付越多越好，尽量减少贷款额和期限。
6 模型的评价
我们模型过程详细，易于理解，整个模型的计算过程大都用数学软件完成，计算结果详细可靠，再者程序编写较为简单，故这个模型还是很合理的。
不过这个模型还是存在一些缺点，模型的建立没有考虑现实生活中可能发生的一些情况，是建立在一个理想的基础上，所以这个模型得出的结果会与实际情况有一定出入。
尽管模型有它的不足之处，但总体来说，在实际应用中还是有很好的借鉴意义和指导价值。
7参考文献
1.邬国根 王泽文 数学实验与建模初步 东华理工大学
2.韩中庚 数学建模方法及其应用 北京高等教育出版社
3.姜启源 数学模型（第三版） 北京高等教育出版社
第二篇：数学建模范文
2高等数学建模案例12
21一元函数微积分12
案例1反复学习及效率12
案例2旅游方案的最优选择13
案例3星级宾馆的定价14
案例4高速问题15
案例5最短路径问题16
案例6网球比赛的场次18
案例7硬币游戏中的数学对称18
案例8椅子能在不同地面放稳吗？19
22多元函数微积分20
案例1竞争性产品生产中的利润最大化21
案例2石油转运公司22
案例3航天飞机的水箱24
案例4绿地喷浇设施的节水构想25
案例5平均利润26
案例6允许缺货的存贮模型27
案例7血管分支28
案例8消费者的选择31
案例9价格和收入变化对需求的影响34
案例10经济增长模型37
案例11城市人口39
23微分方程40
案例1发射登月体的模型40
案例2人口数量增长的预测模型42
案例3放射性废物处理的模型48
案例4战争胜负的数学模型50
案例5名画伪造案的侦破问题54
案例6“饮酒驾车”问题56
案例7长沙马王堆一号墓墓葬的年代问题57
案例8商品价格如何随着供求关系变化59
参考文献60
3线性代数建模案例61
31行列式与矩阵61
案例1过定点的多项式方程的行列式61
案例2土地用途变更模型62
案例3文献检索模型63
案例4运动会成绩记录模型64
案例5不同城市之间的交通模型67
案例6循环比赛名次模型68
案例7一种矩阵密码问题69
案例8城市出租汽车相互流动后的数量稳态分析70
案例9动物数量的按年龄段预测问题71
32线性方程组72
案例1卫星定位问题73
案例2化学方程式的平衡问题74
案例3工资问题75
案例4交通流量问题77
案例5最佳食谱（不定方程组的非负解）78
案例6点兵问题（不定方程组的整数解）80
案例7投入产出模型81
案例8选课策略(线性规划问题)82
案例9调整气象站观测问题84
案例10调味品配制问题85
33特征值与特征向量87
案例1污染与工业发展关系问题87
案例2快乐的假期旅游89
案例3受教育程度的依赖性93
案例4捕食者食饵离散动力系统97
案例5小行星的轨道问题98
案例6电路中电压的确定99
参考文献100
4概率论与数理统计部分建模102
41概率基础模型102
案例1特异功能102
案例2有趣的蒙特莫特问题103
案例3人口问题104
案例4传染病的感染106
案例5考试成绩的标准分108
案例6这样找庄家公平吗109
案例7投资决策111
案例8报童的诀窍112
案例9保险问题114
案例10电瓶的寿命115
案例11电话外线总数的设定116
42统计基础模型117
案例1大学生的平均每月生活费117
案例2捕鱼问题118
案例3吸烟对血压的影响120
案例4刀具寿命的“正态拟合”121
案例5身高与体重123
案例6论钓鱼问题124
案例7投诉问题127
[例1] 存贮模型
工厂为了连续生产，必须贮存一些原材料，商店为连续销售必须贮存一些商品，如此等等，我们把这些贮存物统称为存贮。存贮问题的原型可以是真正的仓库存货，水库存水，也可以是计算机的存贮器的设计问题，甚至是大脑的存贮问题。
衡量一个存贮策略优劣的直接标准是，计算该策略所消耗的平均费用，费用通常主要包括：存贮费、订货费（订购费和成本费）、缺货损失费和生产费（若外购，则无此项费用）。由此可知，存贮问题一般模型为：
min（订货费（或生产费）+存贮费+缺货损失费） (2.1.1)
这里考虑一个简单的库存问题，不允许缺货的订货销售模型，假设：
(1)在不允许缺货的情况下，则把缺货费用当作无穷大；
(2)当存贮降到零时，可立即得到补充；
(3)需求是连续均匀的，设需求速度R为常数；
(4)每次订货不变，订货费或生产准备费为a元不变；
(5)单位存贮费为k元不变。
假定每隔时间T补充一次存贮， T也称为订货周期， 货物单价为k，由上述条件，来考虑存贮系统是怎样运行的， 从存贮量为
的任一时刻开始，货物以R的速度减少， 直至减少为零时为止，此时，必须立即进行补充，以便满足需求，对于该模型，只有当存贮量减少到零时，才进行补充， 不必提前补充，
否则会增加不必要的存贮费用，而且据假设易知，每次补充量均相等， 这是一个典型的T循环策略，其存贮状态图由图2.1.1所示。
图2.1.1
下面根据存贮状态图来建立相应的模型， 只需考虑一个周期T的费用即可，因为各个周期完全相同，只要其中之一的费用极小化了，就可使总费用极小化。
由于订货量应满足需求量， 所以订货量应为RT， 从而成本费为kRT，于是，订货费为
，平均订货费为
。
又因平均存贮量为
所以平均存贮费为
，则在时间T内，总的平均费用为
为
于是，问题归结为 T 取得何值时，最小，即存贮模型为：
这是一个简单的无条件极值问题，易求得它的最优解为：
即每隔
时间订货一次， 可使平均费用最小，而每次订货批量为：
这便是存贮论中著名的经济订购批量（Economic Order Quantity）公式，简称EOQ公式，亦即最优库存方针的数学模型。
例2.1.1是一种理想情况下的最简库存模型， 在建模过程中，作了若干简化，这些简化对建模是必要的，但实际的市场销售情况是复杂的，因此， 所得到的模型只是一种近似情况， 还需经过实践的检验，不过，式(2.1.3)和(2.1.4)所提供的信息对做出库存方针的决策也是很有价值的。
例2 怎样使饮料罐制造用材最省的问题．
首先，把饮料罐假设为正圆柱体(实际上由于制造工艺等要求，它不可能正好是数学上的正圆柱体，但这样简化确实是近似的、合理的)．在这种简化下，我们就可以来明确变量和参数了，例如可以假设：
V一罐装饮料的体积，r一半径，h一圆柱高，b一制罐铝材的厚度，l一制造中工艺上必须要求的折边长度。
上面的诸多因素中，我们先不考虑l这个因素．于是：
由于易拉罐上底的强度必须要大一点，因而在制造上其厚度为罐的其他部分厚度的3倍．因而制罐用材的总面积A＝ ，每罐饮料的体积V是一样的，因而V可以看成是一个常数(参数)，解出A：
代入A得：
从而知道，用材最省的问题就是求半径r使A(r)达到最小。
A(r)的表达式就是一个数学模型。可以用多种精确的或近似的方法求A(r)最小时相应的r。
从而求得
例3 数据拟合模型
在数学建模过程中，常常需要确定一个变量依存于另一个或更多的变量的关系，即函数。但实际上确定函数的形式（线性形式、乘法形式、幂指形式或其它形式）时往往没有先验的依据。只能在收集的实际数据的基础上对若干合乎理论的形式进行试验，从中选择一个最能拟合有关数据，即最有可能反映实际问题的函数形式，这就是统计学中的拟合回归方程问题。
“人口问题”是我国最大社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础。有人口统计年鉴，可查的我国从1949年至1994年人口数据智料如下：
年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994
人口数 (百万)
541.67
602.66
672.09
704.99
806.71
908.59
975.42
1034.75
1106.76
1176.74
分析：
（1） 在直角坐标系上作出人口数的图象。
（2） 估计出这图象近似地可看做一条直线。
（3） 用以下几种方法（之一）确定直线方程，并算出1999年人口数。
方法一：先选择能反映直线变化的两个点，如（1949，541.67），（1984，1034.75）二点确定一条直线，方程为
N = 14.088 t – 26915.842
代入t =1999,得N »12.46亿
方法二：可以多取几组点对，确定几条直线方程，将t = 1999代入，分别求出人口数，在取其算数平值。
方法三：可采用“最小二乘法”求出直线方程。
设（x 1, y 1 ), (x 2, y 2), …, (x n, y n)是直角平面坐标系下给出的一组数据，若x 1<x 2<…<x n,我们也可以把这组数据看作是一个离散的函数。根据观察，如果这组数据图象“很象”一条直线（不是直线），我们的问题是确定一条直线y = bx +a ,使得它能"最好"的反映出这组数据的变化。
对个别观察值来说，它可能是正的，也可能是负的。为了不使它们相加彼此抵消，故"最好"应该是
它可能是正的，也可能是负的。为了不使它们相加彼此抵消，故"最好"应该是
例4 贷款买房问题
某居民买房向银行贷款6万元，利息为月利率1%，贷款期为25年，问该居民每月应定额偿还多少钱？
确定参变量：用n表示月份， 表示第n个月欠银行的钱，r表示月利率，x表示每月还钱数， 表示贷款额，则可得下表：
时间 欠银行款
初始
一个月后
二个月后
三个月后
n个月后
由递推关系式 可得
令 =60000元， ,n=300,r=0.01
得 元
因此，该居民每月应偿还632元。
餐厅选菜的规律
学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有两样菜：A，B可供选择。调查资料表明，凡是在星期一选A菜的，下星期一会有20%改选B菜；而选B菜的，下星期一则有30%改选A，设 表示在第n个星期一选A，B的人数。
（1） 试用 表示 ；
（2） 证明： =0.5 +300；
（3） 若记 ，则
解：（1） =0.8 +0.3
（2） 因 ，故
一般地， =0.8 +0.3 =0.5 +300
（3） 若 ，则
用数学归纳法证之，设
则 =0.5 +300
=0.5[ +300
= .
此例仅供参考，好好努力学习