减肥计划——节食与运动

摘要：肥胖已成为公众日益关注的卫生健康问题。肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。但是实际情况确是违禁广告屡禁不止。之所以造成这种情况的原因很多，但是有一个重要原因就是科学素质低，不知道应该从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和认识问题。数学模型的优点是科学的解释了肥胖的机理，引导群众合理科学的减肥。

关键词：减肥  饮食  合理运动

一、问题重述

联合国世界卫生组织颁布的体重指数（简记BMI）定义为体重（单位：kg）除以身高（单位：m）的平方，规定BMI在18.5至25为正常，大于25为超重，超过30则为肥胖。据悉，我国有关机构对东方人的特点，拟将上述规定中的25改为24，30改为29。

在国人初步过上小康生活以后，不少自感肥胖的人纷纷奔向减肥食品的柜台。可是大量事实说明，多数减肥食品达不到减肥的目标，或者即使能减肥一时，也难以维持下去。许多医生和专家的意见是，只有通过控制饮食和适当的运动，才能在不伤害身体的条件下，达到减轻体重并维持下去的目的。

肥胖是与目前严重危害人类健康疾病，如糖尿病、高血压、冠心病、血脂异常、胆囊疾病、痛风、骨关节病、阻塞性睡眠呼吸暂停、某些癌症等的发病有明显相关的危险因素之一。肥胖也是身体健康的晴雨表，反映着体内多方面的变化。很多人在心理上害怕自己变得肥胖，追求苗条，因而减肥不仅是人们经常听到的话题，更有人花很多的时间和金钱去付诸实践的活动，从而也就造成了各种减肥药、器械和治疗方法的巨大的市场。各种假药或对身体有害的药品和治疗方法、夸大疗效的虚假广告等等就应运而生了，对老百姓造成了不应有的伤害。

情况的严重使得国家广电总局、新闻出版总署等不得不发出通知，命令所有电视台自20##年8月1日起停止播出丰胸、减肥等产品的电视购物节目。但是实际情况确是违禁广告屡禁不止。之所以造成这种情况的原因很多，但是有一个重要原因就是科学素质低，不知道应该从生理机理，特别是从数学模型的角度来考虑和认识问题。

二、模型分析

通常，当体内能量守恒被破坏时就会引起体重的变化。人们通过饮食吸收热量，转化为脂肪等，导致体重增加；又由于代谢和运动消耗热量，引起体重减少。只要作适当的简化假设就可得到体重变化的关系。

减肥计划应以不伤害身体为前提，这可以用吸收热量不要过少、减少体重不要过快来表达。当然，增加运动量是加速减肥的有效手段，也要在模型中加以考虑。

每日膳食中，营养的供给是作为保证正常人身体健康而提出的膳食质量标准，营养素的要求量是指维持身体正常的生理能所需的营养素的数量，如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量，将使身体产生不利的影响。(每天膳食提供的热量不少于5000—7500J这是维持正常命活动的最少热量)

通常，制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以这里用离散时间模型——差分方程模型来谈论。

三、模型假设

根据上述分析，参考有关生理数据，作出以下简化假设：

1.体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal增加体重1kg（kcal为非国际单位制单位1kcal=4.2kj）；

2.正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每公斤体重消耗热量一般在200kcal至320kcal之间，且因人而异，这相当于体重70kg的人每天消耗2000kcal~3200kcal；

3.运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；

4.为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5kg，每周吸收热量不要小于10000kcal。

符号说明：

四、基本模型

记第k周末体重为ω（k），第k周吸收热量为c（k），热量转换系数α=1/8000（kg/kcal），代谢消耗系数β（因人而异），则在不考虑运动情况下体重变化的基本方程为

ω(k+1)= ω(k)+ αc(k+1)－βω(k),k=0，1，2，…                                          （1）

增加运动时只需将β改为β+β_1，β₁由运动的形式和时间决定。

五、减肥计划的提出

某甲身高1.7m，体重100kg，BMI高达34.6。自述目前每周吸收20000kcal热量，体重长期不变。试为他按照以下方式制订减肥计划，使其体重减至75kg并维持下去：

1）在基本上不运动的情况下安排一个两阶段计划，第一阶段：每周减肥1kg，每周吸收热量逐渐减少，直至达到安全的下限（10000kcal）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标。

2）若要加快进程，第二阶段增加运动，重新安排第二阶段计划。

3）给出达到目标后维持体重的方案。

六、减肥计划的制订

1）首先应确定某甲的代谢消耗系数β。根据他每周吸收c=20000kcal热量，体重ω=100kg不变，由（1）式得

ω=ω+αc－βω，  β=αc/ω=20000/8000/100=0.025

相当每周每公斤体重消耗热量20000/100=200kcal。从假设2可以知道，某甲属于代谢消耗相当弱的人，他又吃得那么多，难怪如此之胖。

●第一阶段要求体重每周减少b=1kg，吸收热量减至下限c_min=10000kcal，即

ω(k)－ω(k+1)=b，ω(k)= ω(0)－bk

由基本模型（1）式可得

c(k+1)=  [ βω(k)－b]= ω(0)－ (1+βk)

将α，β，b的数值代入，并考虑下限c_min，有

c(k+1)=12000－200kc_min=10000

得k10，即第一阶段共10周，按照

c(k+1)=12000－200k，k=0，1，…，9                                                        （2）

吸收热量，可使体重每周减少1kg，至10周末达到90kg。

●第二阶段要求每周吸收热量保持下限c_min，由基本模型（1）式可得

ω(k+1)=(1－β) ω(k)+ αc_min                                                                                                       （3）

为了得到体重减至75kg所需的周数，将（3）式递推可得

ω(k+n)=(1－β)ⁿω(k)+ αc_min[1+(1－β) +…+(1－β)^n-1]= (1－β)ⁿ[ω(k)－αc_min/β]+ αc_min/β

已知ω(k)=90，要求ω(k+n)=75，再以α，β，c_min的数值代入，（4）式给出

75=0.975ⁿ(90－50)+50                                                                                   （5）

得到n=19，即每周吸收热量保持下限10000kcal，再有19周体重可减至75kg。

●配餐方案：

常见食物热量：

配餐方案：

2）为加快进程，第二阶段增加运动。经过调查资料得到以下各项运动每小时每公斤体重消耗的热量：

记表中热量消耗γ，每周运动时间t，为利用基本模型（1）式，只需将β改为β+αγt，即

ω(k+1)= ω(k)+ αc(k+1)－(β+αγt) ω(k)                                                           （6）

试取αγt=0.003，即γt=24，则（4）式中的β=0.025应改成β+αγt=0.028，（5）式为

75=0.0972ⁿ(90－44.6)+44.6                                                                           （7）

得到n=14，即若增加γt=24的运动，就可将第二阶段的时间缩短为14周。

3）最简单的维持体重75kg的方案，是寻求每周吸收热量保持某常数c，使ω(k)不变。由（6）式得

ω=ω+αc－(β+αγt) ω

c=(β+αγt) ω/α                                                                                                  （8）

若不运动，容易算出c=15000kcal；若运动（内容同上），则c=16800kcal。

七、评注

人体体重的变化是有规律可循的，减肥也应科学化、定量化。这个模型虽然只考虑了一个非常简单的情况，但是它对专门从事减肥这项活动（甚至作为一项事业）的人来说也不无参考价值。

体重的变化与每个人特殊的生理条件有关，特别是代谢消耗系数β，不仅因人而异，而且即使同一个人在不同环境下也会有所改变。从上面的计算中我们看到，当β由0.025增加到0.028时（变化约12%），减肥所需时间就从19周减少到14周（变化约25%），所以应用这个模型时要对β作仔细的核对。

参考文献：

[1]姜启源、谢金星、叶俊，数学模型（第三版）

[2]卢向南、李俊杰、寿涌毅，应用运筹学

[3]百度搜索，热量表

第二篇：数学建模减肥模型

   

摘要  随着社会的进步和发展，人们的生活水平不断提高。由于饮食营养摄入量的不断改善和提高，“肥胖”已经成为全社会关注的一个重要的问题。减肥的方法也有很多。如何正确对待减肥是我们必须考虑的问题。于是了解减肥的机理成为关键。背景材料: 根据中国生理科学会修订并建议的我国人民的每日膳食指南可知：

（1）每日膳食中，营养素的供给量是作为保证正常人身体健康而提出的膳食质量标准。如果人们在饮食中摄入营养素的数量低于这个数量，将对身体产生不利的影响。

（2）人体的体重是评定膳食能量摄入适当与否的重要标志。

（3）人们热能需要量的多少，主要决定于三个方面：维持人体基本代谢所需的能量、从事劳动和其它活动所消耗的能量以及食物的特殊动力作用（将食物转化为人体所需的能量）所消耗的能量。

（4）一般情况下，成年男子每一千克体重每小时平均消耗热量为4200焦耳。

（5）一般情况下，食用普通的混合膳食，食物的特殊动力作用所需要的额外的能量消耗相当于基础代谢的10%。

关键字   微分方程  转化  能量转换系数

1. 问题重述

随着人们的生活水平的日渐提高,饮食营养摄入的不断改善和提高“,肥胖”已成为全社会关注的一个重要问题,肥胖无论从审美或健康的角度,都严重地威胁到人们,各种减肥食品、药物或是健美中心如雨后春笋般出现,现在我们也利用减肥的基本原理以及在减肥过程中应注意的问题利用科学的原理,组建一个减肥的数学模型,从数学的角度对有关的规律做进一步的探讨和分析。所以我们可以通过引入人的体重与时间的函数关系,建立了一个微分方程模型,采用离散化方法,以天为单位,从数学的角度解决了每天的饮食摄入量、运动强度与体重的关系,以探索减肥的科学方法。

现有五个人，身高、体重和BMI指数分别入下表一所示，体重长期不变，试为他们按照以下方式制定减肥计划，使其体重减至自己的理想目标，并维持下去：

表一

题目要求如下：

（1）在基本不运动的情况下安排计划，，每天吸收的热量保持下限，减肥达到目标；

（2）若是加快进程，增加运动，重新安排计划，经过调差资料得到以下各项运动每小时每kg体重的消耗的热量入下表二所示：

表二

（3）给出达到目标后维持体重的方案。

2. 模型假设

(1) 人体的脂肪是存储和提供能量的主要方式，而且也是减肥的主要目标。对于一个成年人来说体重主要由四部分组成：骨骼、肌肉、水和脂肪。骨骼、肌肉和水大体上可以认为是不变的，我们不妨以人体脂肪的重量作为体重的标志。已知脂肪的能量转换率为100%，每千克脂肪可以转换为4.2×10⁷焦耳的能量。记=4.2×10⁷焦耳/千克，称为脂肪的能量转换系数。

（2） 人体的体重仅仅看成是时间的函数，而与其他因素无关，这意味着在研究减肥的过程中，我们忽略了个体间的差异（年龄、性别、健康状况等）对减肥的影响。

（3） 体重随时间是连续变化的，即是连续函数且充分光滑，因此可以认为能量的摄取和消耗是随时发生的。

（4） 不同的活动对能量的消耗是不同的，例如：体重分别为50千克和100千克的人都跑1000米，所消耗的能量显然是不同的。可见，活动对能量的消耗也不是一个简单的问题，但考虑到减肥的人会为自己制订一个合理且相对稳定的活动计划，我们可以假设在单位时间（1日）内人体活动所消耗的能量与其体重成正比，记为每1千克体重每天因活动所消耗的能量。

（5） 单位时间内人体用于基础代谢和食物特殊动力作用所消耗的能量正比于人的体重。记C为1千克体重每天消耗的能量为。

（6） 减肥者一般对自己的饮食有相对严格的控制，在本问题中，为简单计，我们可以假设人体每天摄入的能量是一定的，记为A，为了安全和健康，每天吸收热量不要小于6000 焦耳。

3.分析与建立模型

建模过程中，我们以“天”为时间单位。根据假设(3)，我们可以在任何一个时间段内考虑能量的摄入和消耗所引起的体重的变化。

根据能量的平衡原理，任何时间段内由于体重的改变所引起的人体内能量的变化应该等于这段时间内摄入的能量与消耗的能量的差。

考虑时间区间[t,t+Δt]内能量的改变，根据能量平衡原理，有

　 

由积分中值定理有_, 其中，, 两边同时除以Δt.并令Δt→0取极限得

这就是在一定简化层次上的减肥的数学模型。我们知道模型的某些假设不十分合理，但我们希望求解模型，看看能否说明一些问题。

 

4.模型的求解

设t=0为模型的初始时刻，这时人的体重为w（0）=w₀。在模型的两边同时乘以e^bt得

即

从0到t积分，并利用初值得

.

对于问题一，减肥计划在基本不运动的情况下安排，所以上述假设（1）每1千克体重每天因活动所消耗的能量。根据上式计算得出五个人要达到自己的理想体重时的天数，如下表所示

                                  表三

 

对于问题二，为加快进程，增加运动，结合调查资料得到以下各项运动每小时每kg体重消耗的热量表：

                                 

为了加快减肥进程，增加运动，假设当每天运动小时，每1千克体重每天因活动所消耗的能量，时计算得出五个人要达到自己的理想体重时的天数，如下表所示

表四

 

从表四可以得出，每天一小时的不同运动似的要达到自己的理想体重时的天数也不同，其中游泳是最快能达到自己理想体重的运动。

对于问题三，由上面的模型可得,记_, 也就是说模型的解渐近稳定于也就是达到目标后维持体重的方案，根据每个人要维持的理想体重可以得出的值组成的减肥维持体重方案。假设每天维持一小时的运动，则每天需要摄入的能量如下表所示

 

表五

 

 

 

 

5.模型推广

    1）是模型中的一个重要参数。是每天由于能量的摄入而增加的体重。是每天由于能量的消耗而失去的体重。 2） 假设a=0，即停止进食，无任何能量摄入，体重的变化（减少）完全是脂肪的消耗而产生。此时，.

（1）不进食的节食减肥法是危险的。因为,即体重（脂肪）都消耗尽了，如何能活命！
　　 （2）当a=0时，有, 这表明在内体重减少的百分率为，称之为内体重消耗率，特别地，是单位时间内的体重的消耗率，事实上，，

 所以. 自然为[0，t]内的体重保存率，它表明t时刻体重占初始体重的百分率。

基于上面的分析，时刻的体重由两部分构成：一部分是初始体重中由于能量消耗而被保存下来的部分，另一部分是摄取能量而获得的补充量，这一解释从直观上理解也是合理的。
　　3）由上面的模型可得,记_, 也就是说模型的解渐近稳定于，它给出了减肥的最终结果，称为减肥效果指标。因为衰减很快，在有限时间内，就很小，可以忽略，当t充分大时，这表明任何人都不必为自己的体重担心（肥胖、瘦小），从理论上讲，体重要多重就有多重，只要适当调节A（进食）、B（活动）、C（新陈代谢）。同时也说明了，任何减肥方法都是考虑和调节上述三个要素：节食是调节A、活动是调节B、减肥药是调节C。由于C是基础代谢和食物特殊动力的消耗，它不可能作为减肥的 措施随着每个人的意愿进行改变，对于每个人而言可以认为是一个常数，有大量事实表明，通过调整新陈代谢的方法来减肥是值得推敲的。于是我们有如下结论，减肥的效果主要由两个因素控制：进食摄取能量和活动消耗能量，从而减肥的两个重要措施是控制饮食和增加活动量。这也是熟知的常识。
　　容易证明，当且仅当时有_, 这表明只有当时才有可能产生减肥的效果。

4） 进一步讨论能量的摄取量A与活动消耗量B对减肥效果的影响。由有在A－B坐标系内表示一条过点（－C，0）斜率为w_*的直线。根据背景知识，任何人通过饮食摄取的能量不能低于用于维持正常生理功能所需要的能量。因此作为人体体重极限值的减肥效果指标一定存在一个下限w₁，当时表明能量的摄入过低，无法满足维持人体正常的生理功能所需要的能量。这时减肥所得到的结果不能认为是有效的，它将危及人体的健康，因而称w₁为减肥的临界指标。此外，人们为减肥所采用的各种体力活动对能量的消耗也有一个人体所能承受的范围，即存在B₁使得_, 于是在平面上由B=0、B=B₁和A=0所界出的上半带形区域被直线和分割成三个区域：、和，这表明减肥的效果是控制进食和增加消耗综合作用、相互协调的结果。在区域中，能量的摄取量A大于体重为w₀（初始体重）时的消耗量w₀（B+C），这时体重将在w₀基础上继续增加，故称之为非减肥区；而在区域中，能量的摄取量A低于体w₁ 时的消耗量w₁（B+C），体重将减 少到临界减肥指标以下，这将危及人的身体健康，故称为减肥危险区。只有区域所表示的A和B的组合才能实现有效的减肥，故称为有效减肥区。如图



综上分析,认为本模型得出结果是比较科学和合理的。而且，本模型避免了做强度过大的运动和靠药物来达到增加能量消耗、抑制食欲的不科学的方法。

6.参考文献

[1] 张兴永.数学建模简明教程.徐州: 中国矿业大学出版社, 2001.60-62 [2]  姜启源,谢金星《数学模型》(第三版) 高等教育出版社面2003. 8 P207 -210  

[3]  王安利,另眼看减肥(上)《健康》2006 第一期,P26 -29  [4] 谢兆鸿.数学建模技术. 北京:中国水利水电出版社,2003,138-139

附录：matalb

%A，假设人体每天摄入的能量

%B，每天运动消耗的能量

%C，每天基本的新陈代谢消耗的能量

%D，脂肪的能量转换系数

A=6000*1000;%每天吸收热量的下限

%B=0;

B=[7.0 3.0 4.4  2.5  7.9 ]*1000*4.184;

C=4200*24;

D=42000000;

W0=[100    112  113  114  124 ];

a=A/D;

b=(B+C)/D;

%for t=1:200

%    Wt=a/b+(W0-a/b)*exp(-b*t)

%end

Wt=[75 80 80 85 90];

for i=1:5

    for j=1:5

        t(i,j)=-((log((Wt(i)-a/b(j))/(W0(i)-a/b(j))))/b(j));

    end

end

    A(k)=Wt(k)*(B(k)+C)

    A=Wt'*(B+C)