§2.3.2随机变量的数字特征（三）
学习目标
1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．
2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．
3．掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．
学习过程
【任务一】知识要点
1．离散型随机变量的方差、标准差
设离散型随机变量X的分布列为
则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，
而D(X)＝ 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．我们称D(X)为随机变量X的 ，并称其算术平方根为随机变量X的
2．离散型随机变量方差的性质
（1）设a，b为常数，则D(aX＋b)＝ ，
（2）D(c)＝0(其中c为常数)．
3．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差
（1）若X服从两点分布，则D(X)＝ (其中p为成功概率)；
（2）若X～B(n，p)，则D(X)＝
【任务二】问题探究
探究点一 方差、标准差的概念及性质
问题1 某省运会即将举行，在最后一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：
甲运动员：7,8,6,8,6,5,8,10,7,5；
乙运动员：9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.
观察上述数据，两个人射击的平均成绩是一样的．那么，是否两个人就没有水平差距呢？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？
问题2 类比样本方差、标准差的概念，能否得出离散型随机变量的方差、标准差？
问题3 随机变量的方差与样本的方差有何不同？
问题4 方差、标准差的单位与随机变量的单位有什么关系？
问题5 我们知道若一组数据xi(i＝1,2，…，n)的方差为s2，那么另一组数据axi＋b(a、b是常数且i＝1,2，…，n)的方差为a2s2.离散型随机变量X的方差是否也有类似性质？
例1 随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数的均值、方差和标准差．
跟踪训练1 已知随机变量ξ的分布列为
若E(ξ)＝.
（1）求D(ξ)的值；
（2）若η＝3ξ－2，求的值．
探究点二 两点分布与二项分布的方差
问题 若随机变量X～B(n，p)，怎样计算D(X)？两点分布呢？
例2 在某地举办的射击比赛中，规定每位射手射击10次，每次一发．记分的规则为：击中目标一次得3分；未击中目标得0分；并且凡参赛的射手一律另加2分．已知射手小李击中目标的概率为0.8，求小李在比赛中得分的数学期望与方差．
小结 解决本题的关键是建立二项分布模型，搞清随机变量的含义，利用公式简化解题过程．
跟踪训练2 一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是.
(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；
(2)若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差．
探究点三 均值、方差的综合应用
问题 实际问题中，均值和方差对我们的一些决策有何作用？
例3 有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
小结 实际问题中，决策方案的最佳选择是将数学期望最大的方案作为最佳方案加以实施；如果各种方案的数学期望相同时，则应根据它们的方差来选择决策方案，至于选择哪一方案由实际情况而定．
跟踪训练3 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为
试评定这两个保护区的管理水平．
【任务三】课后作业
1．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)等于 ( ) A． B． C． D．5
2．设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为( )A．2 B．3 C．4 D．5
3．已知离散型随机变量X的可能取值为x1＝－1，x2＝0，x3＝1，且E(X)＝0.1，D(X)＝0.89，则对应x1，x2，x3的概率p1，p2，p3分别为________，________，________.
4．已知X的分布列为
（1）求E(X)，D(X)； （2）设Y＝2X＋3，求E(Y)，D(Y)．
5.一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6.现从中随机取出2个球，以ξ表示取出的球的最大号码，则“ξ＝6”表示的试验结果是___________________．
6.将一枚硬币扔三次，设X为正面向上的次数，则P(0<X<3)＝________.
7.在掷一枚图钉的随机试验中，令X＝，如果针尖向上的概率为0.8，试写出随机变量X的分布列为___________
8.考虑恰有两个小孩的家庭．若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率 ；若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率 ．(假定生男生女为等可能)
9.有一道数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为______，问题得到解决的概率为________
10.甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人答对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．
（1）求随机变量ξ的分布列；
（2）设C表示事件“甲得2分，乙得1分”，求P(C)．
第二篇：(新编资料)20xx-20xx学年高中数学 2.2.2《用样本的数字特征估计总体的数字特征》导学案 新人教A版必修3
2.2.2 《用样本的数字特征估计总体的数字特征》 【学习目标】
1. 正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差
2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释；
3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
【重点难点】
教学重点 用样本平均数和标准差估计总体的平均数与标准差。
教学难点 能应用相关知识解决简单的实际问题。
【知识链接】
一、复习回顾
作频率分布直方图分几个步骤？各步骤需要注意哪些问题？
二、创设情境
在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. 观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？上节课我们学习了用图表的方法来研究，为了从整体上更好地把握总体的规律，我们这节课要通过样本的数据对总体的数字特。
【学习过程】
众数、中位数、平均数 众数—一组数中出现次数最多的数；在频率分布直方图中，我们取最高的那个小长方形横坐标的中点。
中位数——当一组数有奇数个时等于中间的数，当有偶数个时等于中间两数的平均数；在频率分布直方图中，是使图形左右两边面积相等的线所在的横坐标。
平均数——将所有数相加再除以这组数的个数；在频率分布直方图中，等于每个小长方形的面积乘以其底边中点的横坐标的和。
思考探究： 分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数，观察所得的数据，你发现了什么 问题？为什么会这样呢？
你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗？由此你有什么样的体会？
答：（1）从频率分布直方图得到的众数和中位数与从数据中得到的不一样，因为频率分布直方图损失了一部分样本信息，所以不如原始数据准确。
（2）众数和中位数不受极端值的影响，平均数反应样本总体的信息，容易受极端值的影响。 练一练：
假如你是一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为2000万元人民币，另外25个项目的投资是20～100万元。中位数是25万元，平均数是100万元，众数是20万元。你会选择哪一种数字特征 来表示国家对每一个项目投资的平均金额？
解析：平均数。
一、标准差、方差
在一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？
1
?7， x?7我们知道，x。 乙甲
两个人射击的平均成绩是一样的。那么，是否两个人就没有水平差距呢？（观察P74图2.2－7）直观上看，还是有差异的。很明显，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，因此我们从另外的角度来考察这两组数据。
1、 标准差
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。
思考探究：
1、标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？
2、标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？
答：（1）显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小。
（2）从标准差的定义和计算公式都可以得出：s
都等于样本平均数。
2、 方差
21222 s[(x?x)?(x?x)???(x?x)]12n n?0。当s?0时，意味着所有的样本数据
在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差。
四、例题精析
例1：农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田连续6年的年平均产量如下：
甲：900，920，900，850，910，920
乙：890，960，950，850，860，890
那种水稻的产量比较稳定？
[分析]采用求标准差的方法
解：
900?920?900?850?910?920?9006 890?960?950?850?860?890x乙??9006x甲?
s甲?
?1?900?900?2??920?900?2??900?900?2??850?900?2??910?900?2??920?900?26340010?63
1?890?900?2??960?900?2?
?950?900?2??850?900?2??860?900?2??890?900?2
6 8400??106
s乙?
2
x甲?x乙，s甲?s乙
所以甲水稻的产量比较稳定。
点评：在平均值相等的情况下，比较方差或标准差。
变式训练：在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为
（A）92 ， 2 (B) 92 ， 2.8 (C) 93 ， 2 (D) 93 ， 2.8
【答案】B
【解析】由题意知，所剩数据为90，90，93，94，93，所以其平均值为 112(3?4?3)(2?2?12?2?22)?
90+5=92；方差为52.8，故选B。
例2、例1.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为 45,5555,65,65,75,75,8585,95
由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在 55,75
的人数是 .
????????????
(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数 .
(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数 .
解：（1）、（0.04?10?0.025?10）?20?13
（2）、0.2?（x?55)?0.04?0.5
x?62.5
(3)、0.2?50?0.4?60?0.25?70?0.1?80?0.05?90?64
点评：在直方图中估计中位数、平均数。
变式训练：
某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下： 3
?
用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值x= ，病人等待时间的标准差的
估计值s
五、反馈测评
A．4 B.4.4 C.8 D.8.8
2．8名新生儿的身长（cm）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计
为 ，约有一半的新生儿身长大于等于 ，新生儿身长的最可能值
是 .
3.．样本x1,x2,......,x10的平均数为5，方差为7，则3?x1?1?,3?x2?1?,......,3?x10?1?的平均数、方
差，标准差分别为
4．某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min抽一包产品，称其重量是
否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，
90，85，75，115，110.
（1）这样的抽样是何种抽样方法？
（2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定.
【学习反思】
1、在频率分布直方图中，如何求出众数、中位数、平均数？
2、标准差的公式；标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？ 4
2.2.2 《用样本的数字特征估计总体的数字特征》导学案
【学习目标】
1. 能说出样本数据标准差的意义和作用，会计算数据的标准差
2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释；
3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
【学法指导】
一、预习目标：
通过预习，初步理解众数、中位数、平均数、标准差、方差的概念。
二、预习内容：
1、知识回顾：
作频率分布直方图分几个步骤？各步骤需要注意哪些问题？
2、众数、中位数、平均数的概念
众 数:____________________________________________________________________
中位数:___________________________________________________________________
平均数:____________________________________________________________________
3.众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系： 众数在样本数据的频率分布直方图中，就是______________________________________
中位数左边和右边的直方图的________应该相等，由此可估计中位数的值。
平均数是直方图的___________.
4.标准差、方差
标准差 s=_________________________________________________________________
2方 差s=_________________________________________________________________
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
【学习过程】
1.众数、中位数、平均数
思考1：分别利用原始数据和频率分布直方图求出众数、中位数、平均数，观察所得的数据，你发现了什么问题？为什么会这样呢？
思考2： 你能说说这几个数据在描述样本信息时有什么特点吗？由此你有什么样的体会？
练一练：
5
假如你是一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市26个公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为2000万元人民币，另外25个项目的投资是20～100万元。中位数是25万元，平均数是100万元，众数是20万元。你会选择哪一种数字特征来表示国家对每一个项目投资的平均金额？
2. 标准差、方差
在一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕
甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；
乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.
观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？
思考1：标准差的大小和数据的离散程度有什么关系？
思考2：标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？
3、〖典型例题〗
例1.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为 45,5555,65,65,75,75,8585,95
由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在 55,75
的人数是 .
????????????
(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数
. 6
(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数 .
例2：农场种植的甲乙两种水稻，在面积相等的两块稻田连续6年的年平均产量如下：
甲：900，920，900，850，910，920
乙：890，960，950，850，860，890
那种水稻的产量比较稳定？
【学习反思】
1、 在频率分布直方图中，如何求出众数、中位数、平均数？
2、标准差的公式；标准差的大小和数据的离散程度有什么关系?
【基础达标】
A．4 B.4.4 C.8 D.8.8
2．8名新生儿的身长（cm）分别为50，51，52，55，53，54，58，54，则新生儿平均身长的估计
为 ，约有一半的新生儿身长大于等于 ，新生儿身长的最可能值
是 .
3．某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下：
7
?用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值x= ，病人等待时间的标准差的估计值s
4．样本x1,x2,......,x10的平均数为5，方差为7，则3?x1?1?,3?x2?1?,......,3?x10?1?的平均数、方差，标准差分别为
5．某工厂甲，乙两个车间包装同一产品，在自动包装传送带上每隔30min抽一包产品，称其重量是否合格，分别记录抽查数据如下：甲车间：102，101，99，103，98，99，98；乙车间：110，105，90，85，75，115，110.
（1）这样的抽样是何种抽样方法？
（2）估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间的产品较稳定.
【拓展提升】
1.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x,y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x?y的值为（ ）
A．1 B.2 C.3 D.4
解：由平均数公式为10，得(x?y?10?11?9)?
??x?10?2??y?10???10?10???11?10?2221?10，则x?y?20，又由于方差为2，则512??9?10???2得 5?
x2?y2?208 2xy?192
所以有x?y?x?y2?x2?y2?2xy?4，故选D.
2.某房间中10个人的平均身高为1.74米，身高为1.85米的第11个人，进入房间后，这11个人的平均身高是多少？
解：原来的10个人的身高之和为17.4米，所以，这11个人的平均身高为
1.74?10?1.85=1.75.118
即这11个人的平均身高为1075米
[例4]若有一个企业，70%的人年收入1万，25%的人年收入3万，5%的人年收入11万，求这个企业的年平均收入及年收入的中位数和众数
解：年平均收入为1?70%?3?25%?11?5%?2（万）；中位数和众数均为1万
（2）这个平均收入能反映打工人员的月收入的一般水平吗？为什么？
（3）去掉老板的收入后，再计算平均收入，这能代表打工人员的月收入的水平吗？
（4）根据以上计算，以统计的观点对（3）的结果作出分析
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