高中数学问题教学法教学案例

——直线的斜率（1）

一、案例背景

《高中数学课程标准》指出“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。”，“高中数学课程应该反璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。” 上述精神表达了数学教学的新理念，即坚持以学生为主体，教师为主导。在这种理念下，数学的课堂教学应该是丰富多彩的学生创造性的活动。可是，却有很多学生对数学不大感兴趣，觉得数学很难学，很枯燥。我觉得其中的一个原因是：在课堂教学中，教师没有创设适当的问题情境，来激发学生的求知欲。“问题教学法”正是以问题为主线，引导学生主动探究，体验数学发现和构建的过程，完全符合新课程标准的理念。因此，“问题教学法”在高中数学新课程的教学中尤显重要。下面，我结合直线的斜率的内容就新课标下高中数学问题教学法谈一些个人体会。

二、案例过程

（一）、创设情境，引入课题

师：同学们骑自行车上坡时很吃力，这与坡的什么有关?

课件：

生：与坡的平缓和陡有关。

师：我们分析一下坡的平缓和陡问题。

先请同学们来观察下面两幅图片：

课件：

 

如图是两张不同的楼梯图。

问题1：其中的楼梯有什么不同？

生：楼梯的平缓和陡程度不同。

问题2：用什么量来刻画楼梯的平缓和陡呢？

（提示：观察楼梯下面两个三角形）

生：用高度和宽度的比值来反映。

师：一般地：高度和宽度的比值就叫坡度。

所以楼梯的倾斜程度是由坡度来刻画的，坡度越大，楼梯越陡。

（二）、归纳探索，形成概念

1．借助模型，直观感知

课件：给出一个楼梯模型 

楼梯上面有一条直线，直线就反映坡度。

〖设计意图〗从模型直观感知直线的斜率，完成直线的斜率的感性认识。

问题3：楼梯的倾斜程度用坡度来刻画，那么直线的倾斜程度用什么量来刻画呢？

（对第三个问题，学生议论纷纷，部分学生不知道如何准确回答）

2．通过探究，形成概念

师：研究直线的倾斜程度可以借助直角坐标系。

（师生共同探究，得出直线的斜率严格的定义，板书定义 。引导学生找出定义中的关键）

，这个比值就叫直线的斜率。（常用字母K表示）

〖设计意图〗使学生体会通过实际问题如何抽象出具体的数学概念的数学过程。

（三）、掌握概念，适当延展

问题4：如何用点的坐标形式来表示斜率呢？

〖设计意图〗把对直线的斜率的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的更深层次的认识。

问题5：直线斜率会因为点取的不同而改变吗？

生：另取两点说明问题

（不会改变）

问题6：是不是所有的直线都有斜率？

（一些学生说是的，一些学生说不是的。叫了一个说不是的学生发表一下支持自己观点的理由）

生：垂直于x轴的直线斜率不存在。

1.让学生分析、解决问题

课件：

例1．如图直线  l1,l2,l3,l4  都经过点P(2,3)  ，又l1,l2,l3,l4 分

别经过点  Q1(-2,1),Q2(4,1),Q3(5,3),Q4(2,5) ,讨论l1,l2,l3,l4 斜率是否存在,

如果存在,求出直线的斜率。

 

（学生板演，然后由学生评价。给了学生足够的思考时间，几个学生发表了自己的看法，全班讨论、分析，达成共识）

教师强调书写格式和注意点。然后引导学生小结：

已知不垂直于x轴的直线上任意两点就可以求出斜率。

2．分别通过代数和几何角度研究直线的斜率

例2：经过点A(3,2)画直线，使直线的斜率分别为

① 0，② 不存在， ③ ，④

解：①过(3，2)，(0，2)画一条直线即得。②过(3，2)，(3，0)画一条直线即得。

③（法一：待定系数法）

设直线上另一个点为（x,0），则：

所以过点(3，2)和(2，0)画直线即可

说明：也可设点为(0，y)或其它特殊点。

(法二：利用斜率的几何意义)

根据斜率公式?，斜率为2表示直线上的任一点沿x轴方向向右平移1个单位，再沿y轴方向向上平移2个单位后仍在此直线上 即可以把点（3，2）向右平移1个单位，得到点（4，2），

再向上平移2个单位后得到点（4，4），因此通过点(3，2)，(4，4)画直线即得。

④ 将点(3，2)向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得到点(6，0)，过(3，2)和(6，0)画直线即为所求。

〖设计意图〗初步掌握代数和几何角度求直线的斜率的方法和步骤。用代数方法研究图形的几何性质，培养学生数形结合的数学思想。

（四）、归纳小结，提高认识

教师小结：

(1) 直线的斜率:定义、斜率公式、几何意义、求法。

(2) 斜率是反映直线的倾斜程度，在同一条直线上任何不同的两点所确定的斜率相等。

(3) 直线的斜率公式的应用,体现了平面解析几何的本质是:用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。

（由于时间不够，也没能由学生做课堂小结）

三、案例分析

（一）本节课的设计分析

1、教学难点的确定

过两点的直线斜率的计算公式的推导．

2、教学目标的确定

根据本课教材的特点、新课标对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从知识与技能、过程与方法、情感态度价值观三个方面确定了教学目标．

（1）知识与技能：理解直线的斜率的概念及过两点的直线斜率的计算公式；

掌握直线的倾斜角的概念及倾斜角的范围．

（2）过程与方法：从生活实际出发，引导学生探索直线的斜率的概念，渗透数形结合的思想方法，；通过对直线的斜率概念的研究，培养学生的主动探究知识、合作交流的意识;培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。提高学生的观测、探究、分析问题、解决问题的能力.

（3）情感态度价值观：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．通过课堂教学培养学生的数行结合的美感与严谨治学的生活态度.

3、教学方法和教学手段的选择

本节课是直线的斜率第一节课，采用教师设问启发引导，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体课件来辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．

4、教学过程的设计

   针对本节课教学目标，教学过程分为三个阶段：

（1）课题引入阶段：提出的问题符合学生的生活经验，能引起学生的兴趣，锻炼学生的观察能力。通过图形的直观感觉，给学生直线的斜率的感性认识，为突破难点做好铺垫。从而自然地导入课题。

（2）定义探究阶段：重视课堂问题的设计。围绕四个问题，对定义进行探究，层层深入，发动学生，积极思考，最终形成概念．

（3）概念应用阶段：直线的斜率定义应用设计例1，这一过程由学生来完成，使学生自主进行学习，独立探究问题，充分暴露思维中的缺点，最后由学生总结出问题。

（二）本案例课堂教学的特点

1．重视课堂提问的设计,激发学生的求知欲。

2．体现了学生的主体性，提高了学生学习的主动性。

3. 注重引导学生主动探究,建构新知。重视概念形成的过程，注重培养学生的数学思维能力。

4．重视交流合作，培养学生的合作精神。

（三）本案例课堂教学引发的思考

这是一节市级范围内的公开课。市教研员也给予了较高的评价。上完课我的感觉很好，在这个班的教学效果可以说是非常好的。学生的作业完成得也很好。但在第一个班级上课，由于时间控制得不好，讲到例2③(法二：利用斜率的几何意义)时，缩短了给学生独立思考的时间，没有让学生充分地展示他们的一些想法，怕时间不够，我自己给学生做了详尽的分析和解答，该强调的也都强调了。但作业一反馈过来，比这个班差好多！可以说，这给了我一次震撼：我多讲是没有用的，把知识强加给学生，只是我的一相情愿，学生并不会因为我讲得有多而掌握的好。我深深感到，教学非以学生为主体不可。

教学以学生为主体，要求教师在课堂教学中，得根据学生已有的认知状态和生活经验, 设计一系列的问题, 让学生在独立思考、合作交流、自主探索的过程中主动去发现、建构新知识,获得对数学学习的积极体验。

探究活动比较费时间，我有时一发现个别学生得到了正确的结论，就让其回答，并结束这个探究过程。或者学生不能很好地回答我的提问时，我怕时间不够，就自己讲出答案。如何正确认识和处理探究过程与时间限定的矛盾呢？这个也是我从本案例课堂教学引发的另一个思考。

第二篇：高中数学教学案例反思

高中数学教学案例反思

对一名数学教师而言教学反思首先是对数学概念的反思。

1.对数学概念的反思——学会数学的思考

对于学生来说，学习数学的一个重要目的是要学会数学的思考，用数学的眼光去看世界去了解世界。而对于数学教师来说，他还要从“教”的角度去看数学去挖掘数学，他不仅要能“做”、“会理解”，还应当能够教会别人去“做”、去“理解”，因此教师对教学概念的反思应当从逻辑的、历史的、关系、辨证等方面去展开。

以函数为例：

● 从逻辑的角度看，函数概念主要包含定义域、值域、对应法则三要素，以及函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质和一些具体的特殊函数，如：指数函数、对数函数等这些内容是函数教学的基础，但不是函数的全部。

● 从关系的角度来看，不仅函数的主要内容之间存在着种种实质性的联系，函数与其他中学数学内容也有着密切的联系。

方程的根可以作为函数的图象与轴交点的横坐标；

不等式的解就是函数的图象在轴上方的那一部分所对应的横坐标的集合；

数列也就是定义在自然数集合上的函数；

……

同样的几何内容也与函数有着密切的联系。

……

2.对学数学的反思

教师在教学生是不能把他们看着“空的容器”，按照自己的意思往这些“空的容器”里“灌输数学”这样常常会进入误区，因为师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉通常是不一样的。

要想多“制造”一些供课后反思的数学学习素材，一个比较有效的方式就是在教学过程中尽可能多的把学生头脑中问题“挤”出来，使他们解决问题的思维过程暴露出来。

3.对教数学的反思

教得好本质上是为了促进学得好。但在实际教学过程中是否能够合乎我们的意愿呢？

我们在上课、评卷、答疑解难时，我们自以为讲清楚明白了，学生受到了一定的启发，但反思后发现，自己的讲解并没有很好的针对学生原有的知识水平，从根本上解决学生存在的问题，只是一味的想要他们按照某个固定的程序去解决某一类问题，学生当时也许明白了，但并没有理解问题的本质性的东西。

教学反思的四个视角

1. 自我经历

在教学中，我们常常把自己学习数学的经历作为选择教学方法的一个重要参照，我们每一个人都做过学生，我们每一个人都学过数学，在学习过程中所品尝过的喜怒哀乐，紧张、痛苦和欢乐的经历对我们今天的学生仍有一定的启迪。

当然，我们已有的数学学习经历还不够给自己提供更多、更有价值、可用作反思的素材，那么我们可以“重新做一次学生”以学习者的身份从事一些探索性的活动，并有意识的对活动过程的有关行为做出反思。

2. 学生角度

教学行为的本质在于使学生受益，教得好是为了促进学得好。我们教师在备课时把要讲的问题设计的十分精巧，连板书都设计好了，表面上看天衣无缝，其实，任何人都会遭遇失败，教师把自己思维过程中失败的部分隐瞒了，最有意义，最有启发的东西抽掉了，学生除了赞叹我们教师的高超的解题能力以外，又有什么收获呢？所以贝尔纳说“构成我们学习上最大障碍的是已知的东西，而不是未知的东西”

大数学家希尔伯特的老师富士在讲课时就常把自己置于困境中，并再现自己从中走出来的过程，让学生看到老师的真实思维过程是怎样的。人的能力只有在逆境中才能得到最好的锻炼。经常去问问学生，对数学学习的感受，借助学生的眼睛看一看自己的教学行为，是促进教学的必要手段。

3. 与同事交流

● 同事之间长期相处，彼此之间形成了可以讨论教学问题的共同语言、沟通方式和宽松氛围，便于展开有意义的讨论。

● 由于所处的教学环境相似、所面对的教学对象知识和能力水平相近，因此容易找到共同关注的教学问题展开对彼此都有成效的交流。

● 交流的方式很多，比如：共同设计教学活动、相互听课、做课后分析等等。交流的话题包括：

我觉得这堂课的地方是……，我觉得这堂课糟糕的地方是……；这个地方的处理不知道怎么样？如果是你会怎么处理？

我本想在这里“放一放”学生，但怕收不回来，你觉得该怎么做？

合作解决问题——共同从事教学设计，从设计的依据、出发点，到教学重心、基本教学过程，甚至富有创意的素材或问题。更为重要的是这样的设计要为其后的教学反思留下空间。

4. 参考资料

学习相关的数学教育理论，我们能够对许多实践中感到疑惑的现象做出解释；能够对存在与现象背后的问题有比较清楚的认识；能够更加理智的看待自己和他人教学经验；能够更大限度的做出有效的教学决策。

阅读数学教学理论可以开阔我们教学反思行为的思路，不在总是局限在经验的小天地，我们能够看到自己的教学实践行为有哪些与特定的教学情境有关、哪些更带有普遍的意义，从而对这些行为有较为客观的评价。能够使我们更加理性的从事教学反思活动并对反思得到的结论更加有信心。

更为重要的是，阅读教学理论，可以使我们理智的看待自己教学活动中“熟悉的”、“习惯性”的行为，能够从更深刻的层面反思题目进而使自己的专业发展走上良性发展的轨道。

教师的职业需要专门化，教师的专业发展是不可或缺的，它的最为便利而又十分有效的途径是教学反思。没有反思，专业能力不可能有实质性的提高，而教学反思的对象和机会就在每一个教师的身边.