圆锥曲线知识点

1．        椭圆的性质

e越大椭圆越扁；e越小椭圆越圆。

2．双曲线的性质

      

1）双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。

注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。

2）等轴双曲线：

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：；

e越大,双曲线开口越宽；e越小,双曲线开口越窄。

3．抛物线中的常用结论

4．圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义

与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当0＜e＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线，当e＝1时，是抛物线．

第二篇：第12章 圆锥曲线(知识点+练习)

第12章 圆锥曲线

12．1曲线和方程

思考问题：

1.两坐标轴所成的角位于第一、三象限的角平分线的方程是（ ）

（A）x - y = 0

（B）x2 - y2 = 0

（C） ? =0

2.抛物线y = x2，其图象如下：

【知识精要】

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）

（2）以这个方程的解为坐标的点都是这个曲线 上的点。（完备性）

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

定义的分析与理解：

1、前提：一条曲线C和一个二元方程f(x,y)=0。

2、两个并列条件：

条件（1）说明曲线C上不存在坐标不满足方程的解；条件

（2）说明坐标适合方程的点都在曲线上。

3、方程的曲线和曲线的方程是两个等价的结论，只有两个条件都成立，它们才同时成立，两个条件缺一不可。

4、从集合的角度理解：集合A是曲线C上所有点的集合，集合B是以方程f(x,y)=0的解为坐标的点的集合，条件（1）说明了A包含于B，条件（2）说明了B包含于A，从而A=B。

【精解名题】

例1、（1）到两坐标轴距离相等的点组成的直线的方程是 x-y=0吗？为什么？

（2）过点P（0，1）且与x轴平行的直线是否为方程|y|=1所表示的曲线？

解：（1）不是，满足完备性，不满足纯粹性。

（2）不是，满足纯粹性，不满足完备性。

分析：一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）

（2）以这个方程的解为坐标的点都是这个曲线 上的点。（完备性）

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

例2、证明圆心为坐标原点，半径为5的圆的方程是x2+y2=25？

例3、已知方程：x2+(y-1)2=10

（1）判断点P(1,-2)，Q(2,3) 是否在此方程表示的曲线上；

（2）若点M(m/2，m)在此方程表示的曲线上，求m。

解：（1）∵ 12+（-2-1）2=10 22+（3-1）2=8 ≠ 10

∴ 点P在曲线上，点Q不在曲线上.

（2）∵ (m/2)2+(-m-1)2=10

∴ m=2或m= -18/5

结论：若曲线C的方程为f(x , y)=0，则点P(x0 , y0)在曲线C上的充要条件是： f(x0 , y0)=0

【热身练习】

1、如果曲线C上的点的坐标(x, y )都是方程f(x,y)=0的解，那么 ( )

A、以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上

B、以方程f(x,y)=0的解为坐标的点, 有些不在曲线C上

C、不在曲线C上的点的坐标都不是方程f(x,y)=0的解

D、坐标不满足f(x,y)=0的点不在曲线C上

2、等腰三角形三个顶点的坐标是A（0，3），B（2，0），C（-2，0），中线AO（O为原点）的方程是x=0吗？为什么？

3、指出方程x2(x2+y2-1)=y2 (x2+y2-1)所表示的曲线C，若点M(m , 2), N(3/2 , n) 在曲线C上，求m, n的值。

课后小结：

1、曲线的方程和方程的曲线的定义；

2、证明给定方程是否为已知曲线方程的方法；

3、判断点是否在曲线上的方法