初二数学反比例函数知识要点及经典例题解析

知识要点梳理

知识点一：反比例函数的应用
　　在实际生活问题中,应用反比例函数知识解题,关键是建立函数模型．即列出符合题意的反比例函数解析式,然后根据反比例函数的性质求解．
知识点二：反比例函数在应用时的注意事项
　　1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题．
　　2．针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系．
　　3．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围．
知识点三：综合性题目的类型
　　1．与物理学知识相结合：如杠杆问题、电功率问题等.
　　2．与其他数学知识相结合：如反比例函数与一次函数的交点形成的直角三角形或矩形的面积．

规律方法指导
　　这一节是本章的重要内容，重点介绍反比例函数在现实世界中无处不在，以及如何应用反比例函数的知识解决现实世界中的实际问题．学生要学会从现实生活常见的问题中抽象出数学问题，这样可以更好地认识反比例函数概念的实际背景，体会数学与实际的关系，深刻认识数学理论来源于实际又反过来服务实际．

经典例题透析

类型一：反比例函数与一次函数相结合
　　1．（2010四川成都）如图1，已知反比例函数与一次函数的图象在第一象限相交于点．
　　（1）试确定这两个函数的表达式；
　　（2）求出这两个函数图象的另一个交点的坐标，并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围．
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　思路点拨: 由于A在反比例函数图象上，由反比例函数定义得，从而求出A点的坐标．再由待定系数法求出一次函数解析式．联立一次函数和反比例函数解析式，可求出B点坐标。根据数形结合的思想，求出反比例的图象在一次函数图象上方时x的取值范围．
　　解析：（1）∵已知反比例函数经过点，
　　　　　　　 ∴，即
　　　　　　　 ∴
　　　　　　　 ∴A(1，2)
　　　　　　　 ∵一次函数的图象经过点A(1，2)，
　　　　　　　 ∴
　　　　　　　 ∴
　　　　　　　 ∴反比例函数的表达式为，
　　　　　　　 一次函数的表达式为。
　　　　　（2）由消去，得。
　　　　　　　 即,∴或。
　　　　　　　 ∴或。
　　　　　　　 ∴或
　　　　　　　 ∵点B在第三象限，∴点B的坐标为。
　　　　　　　 由图象可知，当反比例函数的值大于一次函数的值时，
　　　　　　　 的取值范围是 或。
　　总结升华：（1）综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式，往往仍用待定系数法．（2）能通过观察图像得到所求信息是解决这类问题的关键。
    举一反三：
　　【变式】如图2所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点．
　　（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
　　（2）根据图象，写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
　　　　　　　　　　　　　
　　【答案】（1）∵M、N在反比例函数上
　　　　　　　 　
　　　　　　　 　 设一次函数解析式为
　　　　　　　 　 则，解得
　　　　　　　 　 故一次函数的解析式为　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　 （2）由图象可知，当时，反比例函数的值大于一次函数的值．

类型二：反比例函数与三角形或四边形面积问题
　　2．如图3，反比例函数与一次函数的图象相交于A、B两点。
　　（1）求A、B两点的坐标；
　　（2）求△AOB的面积。
　　　　　　　　　　　　　
　　思路点拨：（1）问联立解析式求解（2）问把△AOB的面积分成与之和来解决。
　　解析：（1）解方程组
　　　　　　　　得
　　　　　　　　所以A、B两点的坐标为A（-2，4），B（4，-2）
　　　　　 （2）因为与y轴交点D的坐标是（0，2），
　　　　　　　　所以 ，
　　　　　　　　
　　　　　　　　所以
　　总结升华：三角形面积不方便直接求解的时候可以考虑“割”或者“补”的方法，原则是割，补后的三角形易于找底和高。
    举一反三：
　　【变式】 如图4，和的图象与的图象分别交于第一象限内的两点A，C，过A，C分别向x轴作垂线，垂足分别为B，D，若直角三角形AOB与直角三角形COD的面积分别为，求与有什么关系？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　【答案】：设点A的坐标为（），则
　　　　　　　
　　　　　　　 在，
　　　　　　　 所以
　　　　　　　　　　 　
　　　　　　　 同理可得。
　　　　　　　 所以 。

类型三：反比例函数与实际问题相结合
　　3．（2010 江苏泰州）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动。某化工厂20##年1 月的利润为200万元。设20##年1 月为第1个月，第x个月的利润为y万元。由于排污超标，该从20##年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例。到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图5）
　　(1)分别求该化工厂治污期间及改造工程顺利完工后y与x之间对应的函数关系式。
　　(2)治污改造工程顺利完工后经过几个月，该厂利润才能达到200万元？
　　(3)当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？
　　　　　　　　　　　　　
　　思路点拨:（1）y与x之间的函数关系式分成和两段分别求解。（2）令的解析式等于200，可以求出经过几个月，利润达到200万元；（3）找出两段函数等于100的x的值，月份只差就是资金紧张的月份。
　　解析：（1）当时，设，把（1,200）代入，得k=200,即，
　　　　　　　 当x=5时，y=40,当时，.
　　　　　（2）当y=200时，，
　　　　　　　 所以治污改造工程顺利完工后经过8个月，该厂利润达到200万元。
　　 　　 （3）对于，当y=100时，x=2；对于，
　　　　　　　 当y=100时，x=8，所以资金紧张的时间为8-2=6个月。
　　总结升华：解决反比例函数与实际问题相结合的问题，要理解问题的实际意义及与之相关的数学知识.反比例函数是解决现实世界反比例关系的有力工具.
    举一反三：
　　【变式1】一人站在平放在湿地上的木板上，当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积的变化，人和木板对地面的压强p（Pa）将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力为600N，回答下列问题：
　　（1）用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？
　　（2）当木板面积为0.2m²时，压强是多少？
　　（3）如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？
　　（4）画出相应的函数图象．
　　解析：随着木板面积变小（大），压强p（Pa）将变大（小）．
　　　　　（1），所以p是S的反比例函数，符合反比例函数的定义．
　　　　　（2），所以面积为时，压强是．
　　　　　（3）若压强，解得，故木板面积至少要.
　　　　　（4）函数图象如下图6所示：
　　　　　　　　　　　　　　　

　　【变式2】某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为1升(1升＝1立方分米)的圆锥形漏斗，如右下图.
　　（1）漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系?
　　（2）如果漏斗口的面积为100厘米²，则漏斗的深为多少?
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解析：（1）根据圆锥体的体积公式，我们可以设漏斗口的面积为cm，
　　　　　　　 漏斗的深为 dcm，则容积为1升＝l立方分米＝1000立方厘米．
　　　　　　　 所以，，
　　　　　　　 ．
　　　　　（2）根据题意把代入中，得　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　 ．
　　　　　　　 ．
　　　　　　　 所以如果漏斗口的面积为 100cm²，则漏斗的深为30cm．

第二篇：反比例函数知识点及经典例题

 反比例函数（复习）

练习题

1.反比例函数的图像位于（    ）

A．第一、二象限   B．第一、三象限  C．第二、三象限   D．第二、四象限

2.若与成反比例，与成正比例，则是的（    ）

A、正比例函数　　 B、反比例函数　　 C、一次函数　　D、不能确定

3.如果矩形的面积为6cm²，那么它的长cm与宽cm之间的函数图象大致为（   ）

4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，

气球内气体的气压P ( kPa ) 是气体体积V ( m³ )

的反比例函数，其图象如图所示．当气球内气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应（   ）

A、不小于m³      B、小于m³     C、不小于m³      D、小于m³

5．如图 ，A、C是函数的图象上的任意两点，过A作轴的垂线，垂足为B，过C作y轴的垂线，垂足为D，记RtΔAOB的面积为S₁，RtΔCOD的面积为S₂则 （   ）

A．  S₁ ＞S₂         B． S₁ <S₂  

C． S₁=S₂           D． S₁与S₂的大小关系不能确定

6．关于x的一次函数y=-2x+m和反比例函数y=的图象都经过点A（-2，1）.

 求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；

    （2）两函数图象的另一个交点B的坐标；

（3）△AOB的面积．

7. 如图所示，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与x轴交于点C．已知点A的坐标为（－2，1），点B的坐标为（，m）．

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．

 

8． 某蓄水池的排水管每小时排水8m³，6小时可将满池水全部排空．

（1）蓄水池的容积是多少？

（2）如果增加排水管，使每小时的排水量达到Q（m³），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化？

（3）写出t与Q的关系式．

（4）如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？

（5）已知排水管的最大排水量为每小时12m³，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？

9．如图，在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于A(-2，1)、B(1，n)两点。

(1)求上述反比例函数和一次函数的表达式；

(2)求△AOB的面积。

课后作业

1．对与反比例函数，下列说法不正确的是（   ）

A．点（）在它的图像上        B．它的图像在第一、三象限

C．当时，     D．当时，

2.已知反比例函数的图象经过点（1，-2），则这个函数的图象一定经过（　  ）    A、（2，1）   B、（2，-1）   C、（2，4）   D、（-1，-2）

3．在同一直角坐标平面内，如果直线与双曲线没有交点，那么和的关系一定是（    ）

       A. +=0    B. ·<0   C. ·>0   D.=

4. 反比例函数y＝的图象过点P（－1.5，2），则k＝________．

5. 点P（2m－3，1）在反比例函数y＝的图象上，则m＝__________．

6. 已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（－2，3）则m的值为__________．

7. 已知反比例函数的图象上两点，当时，有，则的取值范围是？

8.已知y与x-1成反比例，并且x＝-2时y＝7，求：

(1)求y和x之间的函数关系式；  

 (2)当x=8时，求y的值；　

(3)y＝-2时，x的值。