八年级数学（上册） 第一章  勾股定理

1、勾股定理

如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

2、钝角三角形：a2 +b2<c2          锐角三角形    a2 +b2  >c2

3水池芦苇问题（关键是芦苇的长度不变）；     楼梯地毯问题（地毯拉开）；

4、蚂蚁怎样走最近：三种路线（长方体中、缺一不可、均要考虑）、圆柱体一种路线    展开图

第二章

1、无限____不循环小数叫做无理数．

2、有理数与无理数的主要区别：

①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；

②整数和分数统称有理数．任何有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能．

3、两个无理数的和不一定是无理数（对）

4、算数平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，即x²=a，则这个正数x就叫做a的算术平方根.记为“”读作“根号a”.这就是.特别地规定0的算术平方根是0，即=0.

5、，算术平方根的性质.：算术平方根有什么特点.→正数或0→定义中的a和x都为正数，即算术平方根是非负数，负数没有算术平方根.用式子表示为(a≥0)为非负数

5、的算术平方根为_________      (－1.44)²的算术平方根为_________.

6一个正方形的面积变为原来的n倍时，它的边长变为原来的多少倍——根号a

.7、对于任意数a，一定等于a吗？——当a≥0时，=a     当a＜0时，=－a

8立方根、定义“若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=±，读作x等于正、负二次根号a，简称为x等于正，负根号a.若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x=±，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a.

9、立方根的性质：正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根有一个，是0.

10、平方根与立方根的区别与联系  ：

联系：

(1)0的平方根、立方根都有一个是0.(2)平方根、立方根都是开方的结果.

区别：

(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根.”

(2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个负数有一个立方根.

(3)表示法不同  正数a的平方根表示为±，a的立方根表示为.

(4)被开方数的取值范围不同   ±中的被开方数a是非负数；中的被开方数可以是任何数.

求下列各式的值

11、你能估算的大小吗？(误差小于1).

(1)先确定位数        因为1的立方为1，10的立方为1000，900大于1小于1000，所以应是一位数.

(2)确定个位上数字.    因为9的立方为729，所以个位上的数字应为9.

.估算下列数的大小：(1)(误差小于0.1) ——应为3.6或3.7.

  (2)(误差小于1)——应为9或10.

12、.通过估算，比较与2.5的大小. ——＜2.5.

13、1)相反数：a与－a互为相反数，0的相反数是0.

(2)倒数：若a≠0，则a与互为倒数.

(3)绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即｜a｜= 

实数的两种分类.

(1)按大小分为：正实数，0，负实数.

(2)按定义分为：有理数和无理数.

14、.在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义仍然和在有理数范围内的意义相同.

15、.实数和数轴上的点是一一对应的.

16、.根据实数在数轴上的位置比较实数的大小

17                .

18、化简：

(1)；    (2)－4；(3)(－1)²；(4)；(5).

化简：(1)；(2)；(3)(1+)(2－)；(4)()².

第三章  图形的平移与旋转

1、平移定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移

注意：“将一个图形沿某个方向移动一定的距离”，意味着“图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离

平移有什么特征呢？ ——平移不改变图形的形状和大小.

2、经过平移，对应线段，对应角分别相等；对应点所连的线段平行且相等.

这个性质也从局部刻画了平移过程中的不变因素：图形的形状和大小.

3、旋转定义：在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.

4、注意：“将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度”意味着图形上的每个点同时都按相同的方式转动相同的角度.

在物体绕着一个定点转动时，它的形状和大小不变.因此，旋转具有不改变图形的大小和形状的特征.

5、旋转的基本性质

经过旋转，图形上的每一点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度.

任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，旋转角彼此相等.

对应点到旋转中心的距离相等.

要确定一个三角形旋转后的位置的条件为：

(1)三角形原来的位置.(2)旋转中心.(3)旋转角.

这三个条件缺一不可.只有这三个条件都具备，我们才能准确地找到一个三角形绕点旋转后的位置，进而作出它旋转后的图形.

第四章四边形性质探索

平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形的性质：1.平行四边形的对边平行且相等；2.平行四边形的对角相等；3.平行四边形的两条对角线互相平分；

平行线的性质

从两条平行线中的任一条上任取一点做另一条直线的垂线段，这条垂线段的长度叫做两平行线间的距离。

?    1.平行线间的垂线段长度处处相等；

?    2.在两条平行线间的平行线段相等。

平行四边形的判定

?    1.定义法2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

?    4.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

菱形

?    定义：有一组邻边相等的平行四边形叫～

?    性质：

    1.具有平行四边形的所有性质； 2.四条边都相等； 3.两条对角互相垂直；4.每一条对角线平分一组对角；

   菱形的判定：

1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2.四条边都相等的四边形是菱形；

3.两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形；4.两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。

矩形、正方形：

  1、（知识）矩形的性质——对角线相等，四个角都是直角；矩形的判定——对角线相等的平行四边形是矩形；

2、正方形的性质——正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；正方形的判定——用定义：一组邻边相等的矩形是正方形。

梯形

等腰梯形同一底上的两底角相等、两条对角线相等”、“同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形”等性质．

 探索多边形的内角和与外角和

第五章  位置的确定

平面直角坐标系概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水平的数轴叫x轴或横轴；铅垂的数轴叫y轴或纵轴，两数轴的交点O称为原点。

※点的坐标：在平面内一点P，过P向x轴、y轴分别作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫P点的横坐标和纵坐标，则有序实数对（a、b）叫做P点的坐标。

※在直角坐标系中如何根据点的坐标，找出这个点（如图4所示），方法是由P（a、b），在x轴上找到坐标为a的点A，过A作x轴的垂线，再在y轴上找到坐标为b的点B，过B作y轴的垂线，两垂线的交点即为所找的P点。

※如何根据已知条件建立适当的直角坐标系？

  根据已知条件建立坐标系的要求是尽量使计算方便，一般地没有明确的方法，但有以下几条常用的方法：①以某已知点为原点，使它坐标为（0,0）；②以图形中某线段所在直线为x轴（或y轴）；③以已知线段中点为原点；④以两直线交点为原点；⑤利用图形的轴对称性以对称轴为y轴等。

※图形“纵横向伸缩”的变化规律: 

A、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变，而横坐标分别变成原来的n倍时，所得的图形比原来的图形在横向：①当n>1时，伸长为原来的n倍；②当0<n<1时，压缩为原来的n倍。

B、将图形上各个点的坐标的横坐标不变，而纵坐标分别变成原来的n倍时，所得的图形比原来的图形在纵向：①当n>1时， 伸长为原来的n倍；②当0<n<1时，压缩为原来的n倍。

※图形“纵横向位置”的变化规律:

A、将图形上各个点的坐标的纵坐标不变，而横坐标分别加上a，所得的图形形状、大小不变，而位置向右（a>0）或向左(a<0)平移了|a|个单位。

B、将图形上各个点的坐标的横坐标不变，而纵坐标分别加上b，所得的图形形状、大小不变，而位置向上（b>0）或向下(b<0)平移了|b|个单位。

※图形“倒转与对称”的变化规律:

A、将图形上各个点的横坐标不变，纵坐标分别乘以-1，所得的图形与原来的图形关于x轴对称。

B、将图形上各个点的纵坐标不变，横坐标分别乘以-1，所得的图形与原来的图形关于y轴对称。

※图形“扩大与缩小”的变化规律:

将图形上各个点的纵、横坐标分别变原来的n倍（n>0），所得的图形与原图形相比，形状不变；①当n>1时，对应线

段大小扩大到原来的n倍；②当0<n<1时，对应线段大小缩小到原来的n倍。

第六章  一次函数

1、函数的定义:

若两个变量x,y间的关系式可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x为自变量,y为因变量)。

特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数。

6.3．一次函数的图象

2、※正比例函数y=kx的图象是经过原点(0,0)的一条直线。

3、※在一次函数y=kx+b中:    当k>0时,y随x的增大而增大; 当k<0时,y随x的增大而减小。

4、一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的性质：

（1）与y轴的交点坐标：（0，b）

(2）当k>0时，y随x的增大而(增大)。

（3）当k<0时，y随x的增大而（减少）

（4）根据下列一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的草图，回答出各图中k、b的符号：

K >0，b>0              k>_0，b_<_0        k__<0，b>0                k<0，b<0

图像过第一、二、三象限    一、三、四               一、二、四               二、三、四

5、函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系

当k1 ≠ k2，两直线相交；

当k1 ≠ k2，b1=b2时，两直线相交于y轴上同一点；

当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行。

6、关于确定函数的解析式

（1）根据已知条件写出含有待定系数的解析式——（定型）

（2）将x，y的几对值或图象上点的坐标代入上述解析式，得到以待定系数为未知数的方程或方程组，并解

方程（组），得到待定的系数的值  ——      （定系数）

3）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中，得到所求函数的解析式                                         （求一次函数的解析式，只要确定k和b两个常数即可；求正比例函数或反比例函数的解析式，只要确定k一个系数即可。

一次函数图象的应用

第七章二元一次方程组

（一）基本概念

1.二元一次方程：

 含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程.

(1)含有两个未知数    (2)含未知数的项（单项式）的次数是1        (3)是整式方程

2.二元一次方程的解：

 适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解.

 一个二元一次方程有无数个解.

3.二元一次方程组：

含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.

4.二元一次方程组的解：

 二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.

方程组的解法

基本思想或思路——消

常用方法————代入法和加减

根据方程未知数的系数特征确定用哪一种解法.

用代入法解二元一次方程组的步骤：

(1).求表达式：从方程组中选一个系数比较简

单的方程，将此方程中的一个未知数，如y，用

含x的代数式表示;

(2).把这个含x的代数式代入另一个方程中，

消去y，得到一个关于x的一元一次方程；

(3).解一元一次方程，求出x的值;

(4).再把求出的x的值 代入变形后的方程，求

出y的值.

用加减法解二元一次方程组的步骤：

(1).利用等式性质把一个或两个方程的两边都乘以适当的数，变换两个方程的某一个未知数的系数，使其绝对值相等；

(2).把变换系数后的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得一元一次方程；

(3).解这个一元一次方程，求得一个未知数的值 ；

(4).把所求的这个未知的值代入方程组中较为简便的一个方程，求出另一个未知数，从而得到方程的解 .

第八章数据的代表

1．平均数

2．中位数与众数

3．利用计算器求平均数

※加权平均数：一组数据的权分加为，则称为这n个数的加权平均数。 （如：对某同学的数学、语文、科学三科的考查，成绩分别为72，50，88，而三项成绩的“权”分别为4、3、1，则加权平均数为：）

※一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

※一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。

※众数着眼于对各数据出现次数的考察，中位数首先要将数据按大小顺序排列，而且要注意当数据个数为奇数时，中间的那个数据就是中位数；当数据个数为偶数时，居于中间的两个数据的平均数才是中位数，特别要注意一组数据的平均数和中位数是唯一的，但众数则不一定是唯一的。

1、通过学习，平均数、中位数、众数各是 么样的特征数？他们有什么联系？分别怎样来求他们？

A、都可以作为一组数据的代表。

B、平均数比较可靠和稳定，它包括所有数据提供的信息。因而应用最为广泛。但计算比较麻烦，容易受到极端数的影响。

C、众数可靠性差，但其大小只与这组数据中部分数据有关。计算简单，在一组数据中有不少数据重复出现时，常选用它来 表示这组数据的集中趋势。

D、中位数可靠性也差，它与数据 的排序有关，不受极端数据的影响，计算简单，当一组数据中个别数据变动较大时，适合用中位数表示。

第二篇：北师大版初二数学下第二章分解因式(适于家教上课使用)

第二章 分解因式

一. 分解因式

※1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.

※2. 因式分解与整式乘法是互逆关系.

因式分解与整式乘法的区别和联系:

(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;

(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.

把下列各式分解因式

（1）8x－72=8（x－9）

（2）a2b－5ab=ab（a－5）

（3）4m3－6m2=2m2（2m－3）

（4）a2b－5ab+9b=b（a2－5a+9）

（5）－a2+ab－ac=－（a2－ab+ac）=－a（a－b+c）

32322（6）－2x+4x－2x=－（2x－4x+2x）=－2x（x－2x+1）

二. 提公共因式法

※1. 如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因

式乘积的形式.这种分解因式的方法叫做提公因式法.

如: ab?ac?a(b?c)

、做一做

请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:

（1）2－a=__________（a－2）;（2）y－x=__________（x－y）;（3）b+a=__________（a+b）;

（4）（b－a）2=__________（a－b）2;（5）－m－n=__________－（m+n）;

（6）－s2+t2=__________（s2－t2）.

※2. 概补充练习

把下列各式分解因式

解：1.5（x－y）3+10（y－x）2=5（x－y）3+10（x－y）2=5（x－y）2［（x－y）+2］=5（x－y）2（x－y+2）;

2. m（a－b）－n（b－a）=m（a－b）+n（a－b）=（a－b）（m+n）;

3. m（m－n）+n（n－m）=m（m－n）－n（m－n）=（m－n）（m－n）=（m－n）2;

4. m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q）= m（m－n）（p－q）+n（m－n）（p－q）

=（m－n）（p－q）（m +n）;

概念内涵:

(1)因式分解的最后结果应当是“积”;

(2)公因式可能是单项式,也可能是多项式;

(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: ma?mb?mc?m(a?b?c)

※3. 易错点点评:

(1)注意项的符号与幂指数是否搞错;

(2)公因式是否提“干净”;

(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉.

三. 运用公式法

※1. 如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做运用公式法.

※2. 主要公式:

(1)平方差公式: a2?b2?(a?b)(a?b)

1

(2)完全平方公式: a2?2ab?b2?(a?b)2

a2?2ab?b2?(a?b)2

［例2］把下列各式分解因式:

（1）9（m+n）2－（m－n）2 2）2x3－8x.

解：（1）9（m +n）2－（m－n）2=［3（m +n）］2－（m－n）2=［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］ =（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）=（4 m +2n）（2 m +4n）=4（2 m +n）（m +2n）

（2）2x3－8x=2x（x2－4）=2x（x+2）（x－2）

五、课后作业

1.（1）x2y2－2xy+1=（xy－1）2;（2）9－12t+4t2=（3－2t）2;（3）y2+y+1

4=（y+1

2）2;

）25m2－80 m +64=（5 m－8）2;（5）x2

（44+xy+y2=（x

2+y）2;6）a2b2－4ab+4=（ab－2）2

2.（1）（x+y）2+6（x+y）+9=［（x+y）+3］2=（x+y+3）2;

（2）a2－2a（b+c）+（b+c）2=［a－（b+c）］2=（a－b－c）2;

（3）4xy2－4x2y－y3=y（4xy－4x2－y2）=－y（4x2－4xy+y2）=－y（2x－y）2;

（4）－a+2a2－a3=－（a－2a2+a3）=－a（1－2a+a2）=－a（1－a）2.

¤3. 易错点点评:

因式分解要分解到底.如x4?y4?(x2?y2)(x2?y2)就没有分解到底.

※4. 运用公式法:

(1)平方差公式:

①应是二项式或视作二项式的多项式;

②二项式的每项(不含符号)都是一个单项式(或多项式)的平方;

③二项是异号.

(2)完全平方公式:

①应是三项式;

②其中两项同号,且各为一整式的平方;

③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍.

※5. 因式分解的思路与解题步骤:

(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提取公因式;

(2)再看能否使用公式法;

(3)用分组分解法,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;

(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解;

(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.

Ⅵ.活动与探究

把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式

解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc

=［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc

=abc+a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc

=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2

=（b+c）［a2+bc+a（b+c）］

=（b+c）［a2+bc+ab+ac］

=（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］

=（b+c）（a+b）（a+c）

2

四. 分组分解法:

※1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.

如: am?an?bm?bn?a(m?n)?b(m?n)?(a?b)(m?n)

※2. 概念内涵:

分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.

※3. 注意: 分组时要注意符号的变化.

五. 十字相乘法:

※1.对于二次三项式ax2?bx?c,将a和c分别分解成两个因数的乘积,a?a1?a2 , c?c1?c2, 且满足

ac1

c2b?a1c2?a2c1,往往写成a2 的形式,将二次三项式进行分解.

如: ax2?bx?c?(a1x?c1)(a2x?c2)

※2. 二次三项式x2?px?q的分解:

p?a?b

※3. 规律内涵: a1q?ab1bx2?px?q?(x?a)(x?b)

(1)理解:把x2?px?q分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同.

(2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.

※4. 易错点点评:

(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;

(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.

一、 选择题

１、下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（ ）

A ．a(a＋b－1)=a＋ab－a B． a–a－2=a(a－1)－2

C ．－4 a＋9b=(－2a＋3b)(2a＋3b) D． 2x＋1=x(2＋1/x)

２、下列各式分解因是正确的是（ ）

A ．xy＋7xy＋y=y(x＋7x) B． 3 ab＋3ab＋6b=3b(a＋a＋2)

C． 6xyz－8xy=2xyz(3－4y) D． －4x＋2y－6z=2(2x＋y－3z)

３、下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是（ ）

A． x－y B． x＋2x C． x＋y D．x－xy＋y

４、2(a－b)－(b－ a)分解因式的正确结果是（ ）

A． (a－b)(2a－2b＋1) B． 2(a－b)(a－b－1)

C． (b－a)(2a－2b－1) D． (a－b)(2a－b－1)

５、下列多项式分解因式正确的是（ ）

A． 1＋4a－4a=(1－2a) B． 4－4a＋a=(a－2)

C． 1＋4x=(1＋2x) D．x＋xy＋y=(x＋y)

６、运用公式法计算99，应该是（ ）

A．(100－1) B．(100＋1)(100－1)

C．(99＋1)(99－1) D． (99＋1)

3 222222222 22 2 222322222 22 222222222

７、多项式：①16x－8x；②(x－1) －4(x－1)；③(x＋1)－4(x＋1)＋4x④－4x－1＋4x分解因式后，结果中含有相同因式的是（ 222422 2

）

Ａ．①和② Ｂ．③和④ Ｃ．①和④ Ｄ．②和③

８、无论x、y取何值，x2＋y2－2x＋12y＋40的值都是（ ）

Ａ．正数 Ｂ．负数 Ｃ．零 Ｄ．非负数

９、下列正确的是（ ）

Ａ．x2＋y2=(x＋y)(x－y) Ｂ．x2－y2=(x＋y)(x－y)

Ｃ．－x2＋y2=(－x＋y)(－x－y) Ｄ．－x2－y2=－(x＋y)(x－y)

二、 填空题

２、多项式－9x2y＋36xy2－3xy提公因式后的另一个因式是 ；

３、把多项式－x4＋16分解因式的结果是

４、已知xy=5,a－b=3,a＋b=4,则xya2－yxb2的值为 ；

５、若x2＋2mx＋16是完全平方式，则m=

6、分解因式：－x２＋4x－4= -)

7、 m的平方 ＋3mn＋9n2=；

８、若x＋y=1则1/2x2＋xy＋1/2y2= ;

三、 解答题

－24x3－12x2＋28x 6(m－n)3－12(n－m)2 3(a－b)2＋6(b－a)

18(a＋b)3－12b(b－a)2 (2a＋b)(2a－3b)－3a(2a＋b)

2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)；

12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______；

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5