量子力学和物质波

摘 要：量子力学是20世纪最成功的理论之一，物质波是量子力学从建立到完成过程中起决定性作用的概念之一。本文从量子力学的建立和发展过程出发，对量子力学与物质波的关系给出了论证：量子力学的建立过程就是对物质波的认识过程；量子力学的框架就是围绕

粒子的波动性（波函数）来完成的；量子力学的含义就是给物质波一个物理解释。文章最后 作者根据自己的观点给出了解决“量子物理论战”的一条可能途径。

关键词：量子力学；物质波；波粒二象性

1 引言

量子力学是关于微观粒子运动的一门科学，其核心内容是描述微观粒子的波粒二象性——微

观粒子的运动规律类似于波的运动；而微观粒子在被一些实验手段测量时又体现经典粒子的性质，如，具有动量、质量、电荷——这看似矛盾的性质被统一于物质波的概念中。虽然我们对量子力学仍有疑问，但是它的成功已经被无数实验确认，而且数学证明它也是自洽的，它自身的内部体系已经变得几乎无懈可击；所以我们要有所突破只能从外部，从它的假设入手。我想，最有可能突破的就是它的统计解释，也就是量子力学的主要任务——描述物质波。当然这一切需要实验的支持。由此可见物质波对于量子力学的意义。本文将从量子力学的建立、体系、含义和物质波三方面论述二者的关系；并且为解决“量子物理论战”问题做了尝试。为了论述方便，本文提到的很多实验仅仅是给出了结论性描述，如果需要详细的资料可以查阅本文的参考资料。

2 量子力学的建立与物质波

量子力学是20世纪最成功的物理理论之一，熟悉它的建立过程对我们更好的理解量子力学会有很大的帮助。我们将会看到，量子力学的建立过程就是对物质波的认识过程。

2.1量子物理的开始

2.1.1能量量子化的提出

19xx年12月14日，在德国物理学会的一次会议上，普朗克宣读了他的论文《正常光谱的

能量分布理论》。这篇开始几乎没人注意的文章因为使用内插法引入了普朗克常数h，漂亮

的解决了20世纪物理学上空的两朵乌云中之一----黑体辐射的问题，从而开创了物理学的新纪元。人们也就把这篇文章发表的日期看作量子物理学的诞辰。这篇论文的功绩在于普朗克常数h的引入表明了黑体空腔壁中起辐射作用的电子的能量是量子化的。

19xx年，爱因斯坦以勒纳总结出的光电效应性质作为光是粒子的依据，在普朗克的基础上

注意到辐射在发射和吸收时所表现的粒子性，在《关于光的产生和转化的一个启发性的观点》中提出光量子假说：能量在和物质相互作用时，不是连续的，而是集中在光量子上，光量子

的能量：

（1）

这个假说成功的解释了光电效应。密立根是这样评价光电效应的：“它把普朗克通过研究黑

体辐射而发现的量h物质化了，并且使我们完全相信，普朗克的著作所依据的主要物理概念是同现实相符的。[2]”

2.1.2能量量子化的实验检验

19xx年，密立根用实验完全确认了爱因斯坦的光量子理论。19xx年，康普顿的X射线散射实验证实了辐射的粒子性；在康普顿的“X射线在轻元素上的散射的量子理论”中写道：“这

个实验非常令人信服的指出，辐射量子确实既带有能量，也带有定向的动量。”

至此能量的量子化观念就完全建立起来了。需要说明的是，普朗克、爱因斯坦等人的关于能量量子化的工作虽然与物质波没有直接联系，但是确实为物质波的提出提供了很好的启示。

2.2量子力学的建立基础

2.2.1 物质波的提出

能量量子化观念建立以后，考虑到光子和实物粒子的类比，19xx年9月到10月间，德布罗意在《法国科学院通报》上先后发表了分别题为《辐射——波与量子》、《光学——光量子、衍射和干涉》、《量子、气体分子运动论和费马原理》的论文，逐步阐述了他关于物质波的思想，随后在19xx年向巴黎大学科学院提交的博士论文《量子理论研究》中完善了物质波的理论：能量子(光子)的波粒二象性同样也适应于物质，写出了有关物质波的关系式

2.2.2物质波的实验检验

19xx年，美国物理学家戴维逊、革末用电子束投射到镍单晶上，观察到和X射线照射同样的衍射现象。同年英国物理学家G?P?汤姆生通过快速电子穿过薄金属片，也观察到了衍射图样。他们的实验证实了德布罗意的假设。

至此物质波的概念就被验证是正确的了，它的确立使我们关于微观物质本性有了一个崭新的认识，随后重要的是建立描述物质波的详细数学理论了，这个理论是沿两条不同的道路建立的。

2.3量子力学的确立

2.3.1旧量子论

19xx年3月、6月和9月，玻尔在考察了氢光谱线的基础上把量子概念引入到了原子体系中，分三部分发表了《论原子的和分子的组成》，成功的解释了氢及类氢原子的光谱，建立了量子论。但这是一个经典理论加上量子化的不自洽的理论。

2.3.2量子力学的完成：

19xx年海森伯沿着波尔的足迹在《关于运动学和力学关系的量子论新释》中给出了新理论的数学表述体系，奠定了矩阵力学的基础，随后矩阵力学又在海森伯、波恩和约当的工作中共同完善起来。

19xx年薛定谔在德布罗意物质波的基础上通过光学和力学的类比在总题为《量子化是本征值问题》的4篇论文中给出了物质波的波动方程，建立了波动力学。

需要说明的是，薛定谔的工作完全是为了给物质波找一个方程，假如不是德布罗意关于物质波的思想，单靠薛定谔很难建立起波动力学，正如他自己所说：“这些考虑的灵感主要归于德布罗意先生的独创性论文。”

随后薛定谔证明了波动力学和矩阵力学的等价性。

19xx年狄拉克把量子力学和狭义相对论结合建立了相对论量子力学。从此量子力学的完整数学表述基本建立起来。[4]

2.4总结

物质波的概念在量子物理学发展过程中起了纽带的作用，它既深化了量子化的观念，把量子化推广到所有物质，使我们对世界物质有了新的认识；又是波动力学的出发点，正是对于物质波的追问，才导致了量子力学的诞生。

3 量子力学的体系与物质波

物质波的概念提出后，接下来的任务就是找到一个描述它的数学理论，这就导致了量子力学的建立。我们将看到量子力学的体系是怎样围绕物质波的概念建立的。

3.1量子力学的体系

一.由实验得出的一个出发点：微观粒子具有波粒二象性

二.随之而来的基本问题：

1.波函数（粒子波动性）的物理意义？

2.波函数如何随时间变化？

3.已知波函数，如何确定力学量的取值情况？

三.对基本问题的回答：基本假定

1.波函数及其物理意义

2.薛定谔方程

3.力学量与力学量算符

4.力学量的平均值

四.量子力学的数学任务

1.求解薛定谔方程

a.束缚态

b.（非束缚态）散射问题

c.量子跃迁

2.态的分析：

（对粒子的完全描述）即已知波函数，确定力学量的取值情况

3.2说明

(1)量子力学的产生是因为新的实验不能被经典物理学解释。所有新的实验全部指向一个事实：微观粒子具有波粒二象性。

(2)实物粒子的波动性不能被平常的物理经验所体现，因此是最难理解的问题，于是量子力学的基本问题就是解释这个波动性。

(3)与其他的物理问题不一样，量子力学对波动性的解释首先是通过基本假定——薛定谔方程（基本假定二）给出了数学描述（量子力学数学任务一），而不是物理解释（基本假定一）。关于物理解释参见本文第三部分。

(4)经典物理学关心的力学量的取值情况可以根据基本假定三和四，由波函数 ψ（r，t）确定下来；波函数对粒子提供完备描述（量子力学的数学任务二）。

3.3总结

可见量子力学的框架就是围绕粒子的波动性（波函数）来完成的。从德布罗意提出物质波概念到薛定谔写出物质波遵循的波动方程，再到狄拉克把波动方程同狭义相对论结合写出相对论量子力学后，量子力学的数学结构就完成了。

4 量子力学的含义与物质波

到19xx年薛定谔的波动力学完成，量子力学的数学结构就比较完善了，但是量子力学是关于什么的科学，它所描述的微观实物粒子的物质波是什么，它的含义是什么，还没有系统的给出描述。其实量子力学的含义就是给物质波一个物理解释。

物质波显然不是像薛定谔说的那样是简单的实物波包，因为那样的波泡不稳定，不能存在于自然界。其实物质波（波函数）的物理意义从它诞生以来就还没有给出令人信服的解释。当然有一个解释是被大多数人接受的，它就是哥本哈根解释。值得注意的是，大部分人接受哥本哈根解释并不是因为它的合理性，而是因为没有比它更能让人接受的解释。为了得到更令人信服的解释，“EPR悖论”和“薛定谔猫”向哥本哈根发起了强有力的质问。

4.1哥本哈根解释的基本要点

(1)波函数（物质波）的含义是由量子力学第一假设给出的：波函数Ψ本身没有意义，它的意义由|Ψ（r ，t）|2 确定的值给出：代表t时刻在r处找到粒子的几率。

(2)我们不能同时测得二个相互不对易的物理量的确切值，因为这由海森伯不确定关系决定。

(3)量子力学现行体系不仅是一个“完备的”理论，而且也是唯一的理论，即：某些问题不仅是量子力学所“不允许的”，而且也是我们的知识本性所“不允许的”。换句话说，量子力学的现行体系已经规定了我们知识的限度，也规定了我们探求理解的限度。

4.2哥本哈根解释存在的问题

哥本哈根解释是说，在波函数演化的过程中，不能说系统具有任何确定的特定力学量，例如粒子的动量或者位置。当我们测量系统的特定力学量的取值时，系统将以测量前决定特定力学量的|Ψ|2的值所决定的几率，跃入具有某个确定力学量取值的状态。[5]由此可见测量（意识）对于微观粒子是多么重要——如果我们不能确定粒子的力学量取值，我们能说粒子存在吗？如果粒子不能确定存在，那么粒子体现的性质，例如质量，电量将如何存在？难道月亮在我们不“看”的时候就不存在吗？而我们传统的物理观念认为“相信一个独立于意志的客观世界的存在”是我们科学存在的前提。

还有一个问题就是系统跃迁（波函数坍缩）时似乎存在一种超距作用，先不说它违背狭义相对论，至少量子力学没有给出波函数坍缩的描述，那么我们是不是能说量子力学提供了关于粒子的完备描述？

4.3不同的声音

正是考虑到上述两个问题，人们对物质波给出了不同于哥本哈根的解释，这里仅仅介绍两种比较成熟的解释。

(1)隐变量解释

玻姆认为哥本哈根学派的量子力学只给微观客体以统计性解释是不完备，19xx年他提出有必要引入一些附加的隐参量，这些隐参量确定体系的规律，如果能找到这些隐变量，就可以确定地决定对微观现象每一次测量的结果，而不是决定各种可能出现的结果的几率。玻姆的隐变量解释是第一个实在模型，它“打开了通往更微妙的实在底层的大门”，这一解释给那些坚持实在性观念的人们以更加坚定的信心，而这种信心必将指引他们最终发现量子实在的真实图像。

(2)多世界解释

19xx年，普林斯顿大学的研究生艾弗雷特三世公布了一个令所有人为之震惊的新理论，它就是量子力学的多世界解释：只要一个量子测量发生，每个宇宙分支以及这个分支中的分量就会导致一个可能的测量结果。每个处在某个特殊宇宙分支中的人都会认为他们的测量结果和所处的宇宙是唯一存在的。这些不同的宇宙分支几乎再也不能回到一起。多世界解释因为数学上的精确性，渐渐的被人们所接受。19xx年7月，在剑桥的牛顿研究所举行了一次关于量子计算的会议，其间人们对量子力学解释再一次进行了投票表决，结果如下： 量子力学的解释 投票数

多世界解释 30

哥本哈根解释 4

修正的量子动力学（GRW等） 4

隐变量解释 2

其他解释（包括未决定者） 50

值的注意的是，虽然多世界解释是客观的、连续的、因果的，但是它同样没有为波函数这一数学实体及其演化规律---薛定谔方程提供进一步的物理解释，同时，它也没有为隐藏在波函

数背后的神秘的量子实在提供一幅清晰的物理图像。[1]

4.4审判者——贝尔不等式

19xx年，期约翰?S?贝尔在定域性隐参量理论的基础上，提出了一个著名的关系——贝尔不等式:

｜P（a，b）-P（a，c）｜≤1+P（b，c） (3)

其中P（a，b），P（a，c）和P（b，c）分别表示：在a和b方向，a和c方向，b和c方向上分别测量粒子A和B的自旋投影的乘积AaBb、AaBc、AbBc的平均值——证明如果存在隐变量，那么实验观察到的概率应该在一个特定的界限之下。于是有可能对隐参量理论进行实际的实验检验，从而判断哥本哈根学派对量子力学的解释是否正确。最著名的是19xx年艾思贝克特的实验，它的结果不仅仅违背了贝尔定理，与量子理论非常一致，而且说明任何定域的隐变量理论都是值得怀疑的！但是我们不能说量子力学就是终极真理，它仍然必须接受新的实验的检验。

4.5可能的解决途径

关于量子力学的争论是由对微观粒子的波粒二象性的解释引起的，而概率解释的引入是问题争论的核心。第一个问题在于“真实”的定义是什么，这是个颇具有哲学味道的论题；第二个问题是关于波函数坍缩的描述，我看只能在实验方面给出确定的回答，如果能给出描述，那么第一个问题也就解决了。既然不能同时测量出波动性和粒子性的状态，那么我们是不是可以从微观粒子被我们测量到波动性或者粒子性的实验条件入手，找出波函数坍缩的条件，进而给出描写这种坍缩的数学理论，完成对微观粒子的完备描述？

光的粒子性主要反映在光和物质的相互作用中，特别反映在光的检测过程中。当我们用各种仪器（如光电管/计数器/云室）去检测可见光/x射线/γ射线时，在强度足够弱的情况下，只要仪器的时空分辨率足够高，我们接受到的总是一个个离散的电脉冲信号或径迹。即光总是同检测器工作物质的单个电子、原子或分子起作用，检测器对光的响应总是发生在短促的时间间隔和微小的空间区域内。这就是常说的光的粒子性[3]。既然电子的波动性由光子联想而来，那么光子的粒子性的体现是不是能对电子的粒子性的体现给出类似启示呢——波函数坍缩的条件、实物的粒子性也反映在粒子和物质的相互作用中，而且这种作用似乎和相互作用的能量有关——作用能量越低波动性越明显——实物粒子的存在是因为它们之间的相互作用，更进一步的想法是“真实”的仅仅是能量，其它的性质仅仅是能量的表现形式。有三个问题或许可以给出启示：

（1）自由电子——

自由电子不与其它物质发生相互作用，其位置是完全不确定的，其粒子性是体现不出来的，要想体现其粒子性，必须让它与物质发生相互作用，我们才能测量到。

（2）云室中的电子——

利用云室可以在实验室里看到电子的路径，但有条件，必须使电子成为凝聚核心（空气的体积膨胀比应在1.25和1.28之间），这个条件就和能量有关。

（3）BEC——

我们在极低的温度下已经观测到了BEC现象中微观粒子的相干波（波动性的体现），这时微观粒子的能量很低，相互作用也小。

还有一种可能就是存在违反狭义相对论的、我们未探测到的相互作用，这种作用可以传递信息,至少这样能解释艾思贝克特实验中波函数坍缩超光速的问题，这当然需要更好的实验确认。

4.6说明

虽然对量子力学有众多反面看法，但量子力学仍然是我们用来分析和综合物理经验，特别是微观物理经验的最基本的理论。我们也不知道这种情形能持续多久，量子力学的适用范围能

走多远，仅有一点可以肯定，修改量子力学的某些观念和图像的任何可靠要求，都必须来自全新的物理经验，而不是某种先验的思辩，虽然这种思辩能提供给我们探索的信念。[6]

5 结论

20世纪初建立的量子力学是对经典物理学的革命性突破，其中最重要也是最难理解的概念是物质波，它贯穿于整个量子力学。它不但使我们对于物质的性质有了崭新的认识，而且未来更新的认识也许需要从对它的物理解释入手找到突破。通过分析，我们看到物质波概念在量子力学中决定性的地位，可以说，物质波的存在一定意义上决定了量子力学的产生和发展！弄清它们之间的关系，对于我们更好的学习、理解、运用量子力学会有很大的帮助；对于我们日后发展新的理论也会有很好的启示。

参考文献

[1]高山.量子.清华大学出版社,2003

[2]（美）R?埃斯伯格,R?瑞斯尼克.量子物理学.吴伯泽,暴永宁,黄惠英译.北京工业学院出版社 1985

[3]赵凯华,罗蔚茵.量子物理.高等教育出版社,2001

[4]郭奕玲,沈慧君.物理学史.清华大学出版社,1993

[5]（美）S温伯格.终极理论之梦.李泳 译.湖南科学技术出版社,2003

[6]王正行. 量子力学原理.北京大学出版社,2003

第二篇：量子力学与物质波论文

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目录

1. 量子力学的建立与发展……………………………………………

1.1前言．…………………………………………………………………………..

1.2量子化…………………………………………………………………………..

1.2.1经典物理的困境………………………………………………………………

1.2.2全新的概念——量子化………………………………………………………

1.2.3能量量子化的实验检验……………………………………………………....

1.3 物质波……………………………………………………..

1.3.1物质波的提出………………………………………………………………..

1.4薛定谔方程的建立……………………………………………

2.量子力学的体系与物质波……………………………………………

2.1 量子力学的体系…………………………………………………………….

2.2 说明………………………………………………………………………….

2.3 总结………………………………………………………………………….

3.量子力学的疑难和争论………………………………………………

3.1 波函数的解释争论…………………………………………………………..

3.1.1哥本哈根解释………………………………………………………………

3.1.2隐变量解释………………………………………………………………….

3．1.3多世界解释……………………………………………………………….

3.2量子概率和量子测量…………………………………………………………….

4.结论…………………………………………………………………….

1

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量子力学与物质波

摘要：

关键词：

１． 量子力学的建立与发展

1.1前言

整整80年前，两位20世纪最伟大的物理巨擎就量子物理中的随机性即不确定性原理“华山论剑”，其中有过这样的一段经典对白：

爱因斯坦：波尔，亲爱的上帝不掷筛子。

波尔：爱因斯坦，别去指挥上帝应该怎么做。

他们都是二十世纪最伟大的物理学家之一，都各自因对量子物理的杰出贡献而先后荣膺诺贝尔物理学奖，但面对量子力学的不断发展所展现出来的基础问题困惑，使他们对量子力学表现出极为不同的态度，那量子力学到底有怎样的魅力和难题，又是如何建立起来的呢？与物质波又有怎样的联系呢？

1.2量子化

1.2.1经典物理的困境

物理学究物质的运动规律，从物质的质量角度去分类，物质分为两类，一类是有质量的物质，他们遵从牛顿方程，另一类是无静止质量的电磁波，由麦克斯韦方程描述。它们共同成为经典物理，对处理这类物质的问题它们一直都很成功，引发了工业革命和电气革命，然而到了19xx年前后，由于科学技术的发展，电子的发现，人们开始研究微观粒子的运动规律，如原子的辐射，光对原子的作用，原子的内部结构等，情况就变了，经典物理不再能解释它们的运动规律，遇到很多无法解决的困难，由此出现了二十世纪的开尔文勋爵口中的经典物理头顶的“一朵乌云”。

（1） 黑体辐射的困境

黑体是能够将照射在它表面上的电磁波全部吸收掉的物体，经典物理学证明黑体辐射的电磁波的性质与组成黑体的材料无关，其辐射能量密度U只跟黑体的温度和辐射波的频率有关，19xx年瑞利和金斯给出试图描述能量密度的公式—瑞利-金斯公式：U(T,V)=8πkTν2 /c3 ，这个公式在v比较小的范围内同实验符合的比较好，但v比较大范围内同实验严重不符，特别当v趋于无穷大的时候，U（T, ν）趋于无限，显然是错误的，他们严格按照经典物理学推导出来公式，具有如此严重的错误，被认为是经典物理需遇到的一个灾难，称为紫外灾难。

（2）光电效应的困境

光照射到金属表面上，电子有金属表面逸出的现象叫光电效应。按照经典电磁理论，只要光的强度够，就能使电子逸出，但实验发现有一个频率限定，超过这个频率才能使电子逸出，这在经典力学是不能理解的。

还有散射光的波长困惑，固体原子的比热困惑，原子的稳定结构和线状光谱等均出现了经典物理不能解释的现象。

2

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1.2.2全新的概念——量子化

19xx年，普朗克在考察了黑体辐射的现象，研究了瑞利——金斯公式和黑体辐射实验数据，应用内插法给出一个实验完全符合的公式：

aν3/（ebv/T-1）;

在给出公式后，就立即研究如何从理论上去推导这个公式，为了能够解释他的新公式，普朗克已经决定抛弃他心中的一切，他反复地咀嚼新公式的意义，体会它和原来那两个公式的不同。作为一个传统的保守的物理学家，普朗克总是尽可能试图在理论内部解决问题，而不是颠覆这个理论以求突破。但是，在经过种种失败之后，普朗克发现，他必须接受他一直不喜欢的统计力学立场，从波尔兹曼的角度去看问题，把熵和几率引入到这个系统中去。他发现只要假定原子振动的能量不是按经典物理学所要求的那样在0和∞之间去连续值，而是取如下分立值：E=nhν（n=0,1,2,3，…，ν是振动频率，h为常数），结合数学中的级数知识，推得了这个公式。之后爱因斯坦深化了能量子的认识，认为电磁辐射能量不仅发射与吸收时表现为量子性，而且电磁波本身同时就具有能量子的特性，正是普朗克常数h将代表波动性的ν和代表粒子性的E联系了起来，出于这个考虑，很好的解决了光电效应的困难。之后又提出了固体的振动能量也是量子化的，从而解释了低温下固体比热的问题，开创了属于量子论的一个新时代。

量子论的更系统的运用和发展则是与分子和原子光谱的实验紧密联系的，19xx年，波尔在卢瑟福原有克原子模型的基础上把量子概念引入到了原子体系中，分三步分发表了《论量子的和分子的组成》，成功的解释了氢原子的光谱，从而建立了量子论，但这是一个经典论加上量子化的不自洽的理论。光谱是复杂的，包含很多条频率不同的谱线康维1907 年想象不同频率的谱线是由大量不同原子或分子产生的，每次吸收或发射只牵涉到某一条一定频率的谱线和一定状态的原子或分子里兹1908 年整理谱线频率，发现其中有如下的组合规则，即某些谱线的频率为另外两条谱线频率之和，因而谱线频率皆可表示为两个光谱项之差反过来看，并不是任意两个光谱项之差都是谱线，有所谓选择规则需要满足。1912，bjerrum 年，将量子概念用到氯化氢和溴化氢气体的红外吸收带时，错误地将分子转动模———简称转子———的能量量子取为普朗克常量乘转动频率埃伦菲斯特于年对此作了改进，取转子的能量子为普朗克常量乘转动频率的一半理由是转子只有动能，不像振子还有位能他发现转子的量子化条件为角动量须为普朗克常量除以圆周弧度的整数倍弗兰克和赫兹于 年用电子撞击气体原子，发现能量转移是依不同原子按一定的分立的数量间断地进行，表明原子的确有分立的能级，但不是等间隔的 ，玻尔将量子概念用以解释氢原子光谱时，就是利用卢瑟福根据其粒子散射实验而建立的核原子模型，用经典力学处理电子绕原子核的圆周轨道，加上角动量等于普朗克常量除以圆周弧度的整数倍的量子化条件，这样定出氢原子的能级，计算结果与氢原子光谱项符合一致原子从能量高的能级跃迁到低的能级时，从能量守恒得知发射的光量子频率为能级间能量差除以普朗克常量，这称为普朗克玻尔关系原子从低能级跃迁到高能级时吸收光量子的频率也由普朗克 玻尔关系决定量子理论用能级间的跃迁解释光谱，能量转移以整个能量子进行，与按经典电动力学预计的电子应连续地辐射能量而缩小轨道半径的行为迥然不同玻尔关于氢原子能级的工作，显示了量子理论的巨大威力，使原子的稳定和光谱可以理解，成为后来称为老量子论的典范。

1.2.3能量量子化的实验检验

3

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实践是检验真理的唯一标准， 一切完美的理论原理， 只有在实验上得以证明，才能真正意义上实现完美。

1914 年，密立根意想不到的用实验不但没有推翻爱因斯坦的光量子理论而通过各个数据的记录证实了其正确性。1923 年，康普顿在研究 X 射线被自由电子散射的时候证实了辐射的粒子性。至此能量的量子化观念就完全建立起来了。 需要说明的是， 普朗克、 爱因斯坦等人的关于能量量子化的工作虽然与物质波没有直接联系， 但确实为以后的物质波概念的提出提供了一个很好的启示。

1.3物质波

1.3.1物质波的提出

波尔的原子结构理论虽然一定程度上解释了电子的行为，但并没有解释电子为什么会发生跃迁，为什么宏观粒子的运动遵守牛顿力学，而微观粒子的运动不遵守牛顿力学，突破在德布罗意这个正在读博士的年轻人身上发生，他应用类比的思想，既然波具有粒子性，那粒子是否具有波动性呢，循着这条路，他一直在思考一个问题，就是如何能够在波尔的原子模型里面自然地引入一个周期的概念以符合观测到的现实。

这是一个重大而又独创的问题，也是一个从来未被任何实验所揭示的问题。它将关系到一般物质是否都具有波粒二象性这一史无前例的答案，19xx年夏末德布罗意终于跨越了革命性的一步，用他自己的话来讲我不能记起它产生的确切日期，但它的确是产生于年夏天那时我突然有一个想法，即把波粒二象性扩展到物质粒子特别是电子上去。19xx年9月到10月德布罗意连续在法国科学院会议通报上发表了3篇重要的论文，公布了他的相波理论的基本内容——相波理论，也就是现在通称的物质波理论终于诞生了。让我们简要论述他的思考过程，他无意间想到了爱因斯坦和他的相对论，那个时候，相对论以极大的成功赢得了物理学界的认可，他开始这样的推论，根据爱因斯坦那著名的方程，如果电子有质量m，那么它一定有一个内禀的能量E=mc2。结合量子论的基本方程，E=hν，也就是说，对应这个能量，电子一定会具有一个內禀的频率，由E=mc2 =hν，ν= mc2/h。说明电子有一个内在频率，它是某种振动的周期，也就是说，电子内部有某些东西在振动。是什么东西呢?德布罗意借助相对论，结果发现，当电子以速度v前进时，必定伴随一个速度为c2/v的波。他证明，这种波不能携带实际的能量和信息，因此并不违反相对论里物质最大速度c的限制。他把这个波称为相波，也就是德布罗意波。

从他的博士论文中论文的内容来看，德布罗意不仅完善了他的物质波理论，而且通过费马原理与莫泊丢原理之间的类比暗示了未来的波动力学与经典力学的关系类似于波动光学与几何光学的关系。这种类比性思想方法与后来薛定谔在创立波动力学时的思想方法不谋而合，这正是他对波动力学的建立所作的主要贡献。

1.3.2实验验证

1925 年，美国物理学家戴维逊和革末通过电子束投射到镍单晶上的实验，并研究了散射电流与轰击电压和散射角的关系，肯定了这是电子衍射的结果， 并 4

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验证电子是一种波。1927 年英国物理学家 G?P?汤姆生使用金属薄层做电子透射实验， 证明了电子的波动性。 并利用实验数据算出的电子行为，和德布罗意所预言的吻合得天衣无缝。因此，从实验方面证实了德布罗意的假设。德布罗意假设的正确使微观物质本性有了一个崭新的认识， 随后重要的研究内容就是通过详实的数学理论来支持它，这个理论是沿两条不同的道路建立的

（海森堡的矩阵力学和薛定谔的波动力学）。

1.4薛定谔方程的建立

德布罗意的工作已毫无疑问揭示了粒子性和波动性的统一，粒子的波动性，这看似疯狂却非常具有独创性的理论必然在通向描述微观世界的路途探索中大有作用，物质波既不同于经典的电磁波，不是实物粒子以波动的形式在空间中传播，这是不能理解的，那么到底应该以怎样去描述这种波呢？首先揭开谜底的是薛定谔。

在19xx年德布罗意物质波理论提出后两年，薛定谔怀着最大的兴趣阅读了德布罗意独创性的论文，他很快就在统计力学中应用这一理论并发表了一篇题为《论爱因斯坦的气体理论》的论文，这是他对德布罗意的工作的肯定和掌握，接着他变决定把他应用到原子体系中的描述中去。

我们已经知道，原子中电子的能量不是连续的，它由原子的分立谱线而充分证实，为了描述这一现象，波尔强加了一个“分立能及”的假设，海森堡则运用他那庞大的矩阵，经过复杂的运算后导出了这一结果，物质波是德布罗意在描述自由粒子时给出的概念，薛定谔尝试把德布罗意关于自由粒子的波推广到束缚粒子的情况，导出了一个满足相对论要求的波动方程，他把它应用到氢原子中的电子上，发现与实验结果不吻合，这使得他极为失望的放弃了它。现在知道这个方程基本上是正确的，只是没有考虑电子的自旋，而电子自旋的概念当时刚刚提出，薛定谔还不很理解，经过短暂的中断，他重新回到这个问题的研究上，略去了相对论效应，从经典力学的哈密顿——雅克比方程出发，利用变分法，和德布罗意公式，最后求出了一个非相对论的波动方程，就是我们所熟知的薛定谔方程。

据说德拜在例行的讨论会上建议薛定谔去弄清楚德布罗意的一系列文章，作个报告，特别提到是波就要满足波动方程，薛定谔得到和德布罗意一样的相对论性波动方程，觉得与玻尔的氢原子能级不相符后，却进一步作非相对论近似，写出了薛定谔方程薛定谔认为电子本质是波，应该用波动力学描述电子的运动；经典力学应为波动力学的近似，有如几何光学是波动光学的近似一样，而量子效应即相当于干涉效应怀着这种信念，对自由电子的德布罗意波，按波动光学惯例用相位的指数函数表示其波函数时，容易发现电子的动量和非相对性能量，可用对空间和时间坐标的偏微分算符乘以普朗克常量除以圆周弧度和适当虚数表示，即用微分算符作用到德布罗意波函数时，将得到相应的物理量的值乘上该波函数据此薛定谔推广到由普遍的哈密顿量描述的情况，维持微分算符表达形式不变；因为这样，如果这时忽略普朗克常量，波函数的相位便满足熟知的哈密顿 ——雅可比方程，达到经典力学近似对于像氢原子中电子的三维运动保守系，哈密顿量不显含时间而有能量守恒薛定谔方程简化为定态的波动方程，不含时间变量而出现能量参量定态的波动方程是个齐次方程，由于物理原因波函数必须满足一些条件，如处处单值有限，和（特别对于束缚态而言）波函数在无穷远趋于零等要求定态的波动方程有不恒等于零的满足上述物理条件的解，这样就定出能量参量的本征值对于电子的三维运动，由于出现拉普拉斯动能算符，用分离变数法将偏微 5

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分方程化为常微分方程时要引入分离常数，这些常数也由波函数满足的条件定出其本征值一连四篇文章，薛定谔以本征值量子化为题，处理了氢原子能级问题，得到与玻尔和索末菲相同的结果，也发展了微扰理论处理史塔克效应，和含时间的微扰理论得到克拉默斯—— 海森伯色散公式。

在另外一篇文章中，薛定谔出乎他初始意料之外地证明了波动力学与矩阵力学在数学上的等价，在波动力学中，正则动量是用微分算符表示的，正则坐标则用乘法算符表示，其间恰好满足矩阵力学的，某物理量的海森伯矩阵是相应算符夹在两个带能量相位因子定态波函数间的积分，算符左边的波函数连同相位因子须取复数共轭，而哈密顿算符的相应积分即是海森伯能量对角矩阵反过来，创建矩阵力学的玻恩给波函数以概率解释，当玻恩去美国讲学时，遇到数学家，便与之合作探讨能量的连续谱情况，意欲处理非周期性运动，他们不像狄拉克敢创造不正规函数，感到用矩阵有困难，需要用算符，但没想到像薛定谔的微分算符那么简单在波动力学问世后，玻恩当即采用波动力学以处理碰撞问题，如用 ɑ粒子轰击原子核的卢瑟福散射实验从薛定谔方程容易导出一个密度和流密度间的连续方程，玻恩解释为概率守恒，薛定谔波函数的绝对值平方为粒子那时在该处出现的概率，或相对概率，如果波函数没有规一化的话对能量为连续谱中某值的定态方程，玻恩利用他对电磁光学的优势，取波函数为入射波与散射波函数之和这样的解。

在两篇文章中玻恩发展了碰撞理论和计算微分散射截面的近似方法，现称为玻恩近似，wentzel19xx年用玻恩近似公式计算了屏蔽库仑场的散射，结果与经典理论公式一样，与卢瑟福实验一致，支持了玻恩的统计解释。后来狄拉克用他擅长的数学表达方式也给出在动量表象中的玻恩近似公式。

从上我们看到，量子力学的建立离不开物质波这个理论前提，物质波理论以其强大的综合性和开拓性，在解决波和粒子的矛盾过程中推动量子力学的发展方向，物质波的概念在整个量子物理学发展过程中起了重要的纽带作用， 不尽深化了量子化的观念， 又把量子化推广到所有物质， 使我们对世界物质有了新的认识；也是波动力学产生的出发点， 正是对于物质波的不断追问， 才导致了量子力学的诞生。

2．量子力学的体系与物质波

一切成熟的物理现象都需要数学理论加以维持。 物质波的概念提出后，接下来的任务当然就是通过数学理论来描述它，从而导致了量子力学的建立。接下来来论证量子力学的体系是怎样围绕物质波的概念建立的。

2.1 量子力学的体系

量子力学首先是由实验——微观粒子具有波粒二象性作为出发点。产生了波 函数的物理意义、 波函数随时间变化情况和已知波函数如何确定力学量的取值情况的三个基本问题。在解决上述三个问题时，又做出了一下四个基本假设：

1.波函数及其物理意义 、2.薛定谔方程 、3.力学量与力学量算符 、4.量子条件、

5.全同粒子系波函数的粒子交换对称性。最后就是完成其基本的数学任务，即求解薛定谔方程和态的分析。

2.2 说明

(1)量子力学的产生的主要原因是因为新的实验现象不能被经典物理所解

释。而且所有新的实验现象全部指向一个事实：微观粒子具有波粒二象性。

(2)实物粒子的波动性不能被平常的物理经验所体现是最难理解的问题，于 6

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是量子力学的基本问题就是解释这个波动性产生的原因。

(3)与其他的物理问题不一样，量子力学对波动性的解释首先是通过基本假 定——薛定谔方程给出了数学描述，而不是物理解释。

2.3 总结

可见量子力学的框架就是围绕粒子的波动性（波函数）来完成的。从德布罗 意提出物质波概念到薛定谔写出物质波遵循的波动方程， 再到狄拉克把波动方程同狭义相对论结合写出相对论量子力学后，量子力学的数学结构就完成了。

3．量子力学的疑难和争论

从量子力学的统计解释出现后，物理学界对于量子力学的争论就没有停止过。量子力学的另一种形式，矩阵力学，是从粒子是在论的基础上推演出来的，反映了波动性。虽然薛定谔证明它与波动力学是等价的，但二者的理论基础却有区别，二者反映的哲学观念也有所不同，在物理学界，哲学观念是一个很重要的东西，对于同一个问题，由于哲学素养和观念的不同，对问题的处理方式和理解方式都有可能不同，波恩在薛定谔方程刚出炉不久后就热情的赞叹了他的成就成波动方程“是量子规律中最深刻的形式”。但虽然方程确定了，怎么解释它却是另一个大大的问题，薛定谔的那个波函数在物理上到底代表着什么呢？这就引发了波函数解释的争论，这些争论主要是围绕波函数的本体论意义上去进行的。本章主要就是简单阐述这些争论。了解波函数在量子力学发展中的基础性作用和哲学上的争论。

3.1 波函数的解释争论

3.1.1哥本哈根解释

薛定谔的波动力学的建立完成标志着量子力学的数学结构已近比较完善，但是量子力学到底是什么， 还没有系统的给出描述。 其实量子力学的含义就是给物质波一个物理解释。物质波不是像薛定谔说的那样是简单的实物波包，因为那样的波泡不稳定，不能存在于自然界。物质波 （波函数） 的物理意义其实至今都没有给出一个能够让人信服的解释。较为成熟的解释是哥本哈根解释，但是值得注意的是， 大部分人接受哥本哈根解释并不是因为它的合理性， 而是因为没有比它更能让人接受的解释。但是还有很多理论向哥本哈根发起了强有力的质疑如：“EPR 悖论”、“薛定谔猫” 等等。， E P R论证量子力学 的不完备性主要是从实在性和定域性角度考虑的。 然而 ，爱因斯坦的实在性是自在实体的，与量子力学和相对论的建构实在性相悖 。定域性假设很可能已被阿斯佩克特实验所超越 。因此 ，应从另外的途径考察量子力学的完备性问题

3.1.2隐变量解释

玻姆认为哥本哈根学派的量子力学只给微观客体以统计性解释是不完备， 1952 年他提出有必要引入一些附加的隐参量，这些隐参量确定体系的规律，如果能找到这些隐变量， 就可以确定地决定对微观现象每一次测量的结果， 而不是决定各种可能出现的结果的几率。

3.1.3多世界解释

艾弗雷特三世的量子力学的多世界解释:只要一个量子测量发生，每个宇宙分支以及这个分支中的分量就会导致一个可能的测量结果。每个处在某个特殊宇宙分支中的人都会认为他们的测量结果和所处的宇宙是唯一存在的。这些不同的宇宙分支几乎再也不能回到一起。

3.2量子概率和量子测量

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围绕量子实在论与反实在论争论的另一个焦点问题是关于如何理解波恩为波函数赋予的概率解释和如何理解理论上的概率值与具体测量时得到的确定值之间的关系问题。其中包括有概率解释和量子理论的理解，哥本哈根解释的理解，统计系综解释的理解，本体论解释的理解，相对态解释的理解。它们对于测量值与理论值之间的关系给出各自不同的物理解释。

3.2量子概率和量子测量

4 .结论

通过上面的阐述，我们了解到物质波在整个量子力学发展过程中都有很大的作用，波函数是物质波的在束缚态下的一个推广，而且有其波动方程，量子力学就是在解波动方程而得到的波函数去解释微观粒子的运动规律。对建立完整描述微观世界有桥梁的作用。虽然量子力学的波函数和完备性有很多争论，但量子力学以其成功的数学形式在微观世界描述里取得巨大的成功。量子力学仍然是我们用来分析和综合物理经验，特别是微观物理经验的最基本的理论。 我们也不知道这种情形能持续多久，量子力学的适用范围能走多远，仅有一点可以肯定，修改量子力学的某些观念和图像的任何可靠要求，都必须来自全新的物理经验，而不是某种先验的思辩，虽然这种思辩能提供给我们探索的信念。

20世纪初建立的量子力学是对经典物理学的革命性突破，其中最重要也是 最难理解的概念是物质波， 它贯穿于整个量子力学。 它不但使我们对于物质的性质有了崭新的认识， 而且未来更新的认识也许需要从对它的物理解释入手找到突破。

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