第二章

1.波函数/平面波：

（1）频率和波长都不随时间变化的波叫平面波。

（2）如果，粒子受到随时间或位置变化的力场作用，他的动量和能量不再是常量，这时的粒子就不能用平面波来描写。在一般情况下，我们用一个复函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数

2.自由粒子/粒子的状态：不被位势束缚的粒子叫做自由粒子.

3.波函数的几率解释/波恩解释：

（1）粒子衍射试验中，如果入射电子流的强度很大，则照片上很快就会出现衍射图样；如果入射电子流强度很小，电子一个一个的从晶体表面上反射，开始它们看起来是毫无规则的散布着，随时间变化在照片上同样出现了衍射图样。

     由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验的统计结果，或者是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。

（2）波恩提出了统计解释，即：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和该点找到粒子的概率成比例，按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波。

4.几率密度: 在t时刻r点，单位体积内找到粒子的几率是：

ω(r,t) ={dW(r,t)/dτ}= C|Ψ(r,t)|²       

5.平方可积：

由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：               

     C∫_∞|Ψ(r,t)|²  dτ= 1

而得常数C 之值为：  

     C = 1/∫_∞|Ψ(r,t)|²  dτ

若 ∫_∞|Ψ(r , t)|²dτ→∞,则C  → 0,  这是没有意义的。故要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。

7.归一化：

   C∫_∞|Φ(x,y,z,t)|²  dτ= 1       

（波函数乘以一个常数以后，并不改变空间各点找到粒子的概率，不改变波函数的状态）  

 C = 1/∫_∞|Φ(x,y,z,t)|²  dτ

现把上式所确定的C开平方后乘以Φ，并以Ψ表示所得函数：

 Ψ(x,y,z,t)=C½Φ(x,y,z,t)

在t时刻 在（x,y,z）点附近单位体积内找到粒子的概率密度是：

ω( x,y,z,t) = C|Φ(x,y,z,t)|²

故把（1）式改写成  

∫_∞|Ψ(r , t)|²dτ=1    把Φ换成Ψ的步骤称为归一化。

8.δ—函数

δ(x-x₀)=   0    x≠x₀

           ∞    x=x0

∫^+∞ _-∞δ（x-x₀）dx=1

9.波函数的标准化条件：

（1）单值、有限、连续

（2）正交  归一 完备

10.态叠加原理：

  态叠加原理一般表述：若Ψ₁  ，Ψ₂ ……Ψ_n ……

是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加

Ψ= C₁Ψ₁+ C₂Ψ₂+……+C_nΨ_n  也是体系的一个可能状态。

11.能量算符/哈密顿算符

  定态波函数满足下面两个方程：

两个方程的特点：都是以一个算符作用于Ψ(r, t)等于EΨ(r, t)。

             

             

             →哈密顿算符

 这两个算符都是能量算符                                               

12.薛定谔方程:

13.几率流密度

单位时间内通过τ的封闭表面S 流入（面积分前面的负号）τ内的几率，因而可以自然的把J解释为概率密度矢量。

14.质量守恒定律：

15.电荷守恒定律：

16.状态波函数或态函数

所谓态函数,就是指它们的数值由系统的状态唯一地确定,而与系统如何达到这个状态的过程无关。

17.量子力学的基本假定

(1)微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性、单值性三个条件。

(2)力学量用厄米算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量得算符.表示力学量的算符有组成完备系的本征函数。

(3)将体系的状态波函数Ψ用算符F的本征函数Φ展开（FΦ_n=λ_nΦ_n     FΦ_λ=λΦ_λ）:

Ψ=ΣCnΦn+∫C_λΦ_λdλ,

则在Ψ态中测量力学量F得到结果为λn的概率为|Cn|^2,得到结果在λ→λ+dλ范围内的概率是|C_λ|²dλ

（4）体系的状态波函数满足薛定谔方程

（5）在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系状态（全同性原理）

18.定态/定态波函数/定态S方程：

求解薛定谔方程 的特解                                  

                   (1)                                        

由此可见，体系处于(1)式所描写的状态是，能量具有确定值，所以这种状态成为 定态..(1)式称为定态波函数（在定态中概率密度和概率流密度都与时间无关）

                    (2)

                                                            函数Ψ由方程（2）和具体问题中的波函数应满足地条件得出，方程(2)为定态薛定谔方程

第二篇：学科导论总结量子力学部分

学科基础导论总结量子力学部分

做过作业的内容，需要特别关注：物质波计算、概率流密度矢量、力学量与算符的关系、对易的计算、不确定性关系

以前的作业都弄懂了，也差不多了，重在自己理解

1黑体辐射、光电效应等现象揭示了光的波粒二象性。

2玻尔为解释原子的光谱线二提出了原子结构的量子论。

3为克服玻尔理论的局限性，德布罗意提出微粒具有波粒二象性的假设。

4绝对黑体（黑体）：一个能全部吸收投射在其上面的辐射二无反射的物体。

5普朗克常量:                 h=6.626×10^-34 J·s（记下来）

6黑体辐射公式：

                   （hv>>k_Bt时）维恩线           （hv<<k_Bt时）瑞利-金斯线

7爱因斯坦光电效应解释：（光量子）

                  

重要的几个：

    8康普顿散射效应：

        被康普顿、吴有训用实验证明了。

9量子现象：h在其中其重要作用的现象。

10玻尔量子化条件：（1）定态

（2）角动量为h整数倍

                                         （3）从上往下跃迁发出波长一定

                                                            

                   巴耳末公式：

11德布罗意波（物质波、概率波）

                         

            戴维孙、革末等人的实验验证了德布罗意波的存在。

12波函数（上面已经给出PS.记住其形式，后面方程的都能推导）

            态叠加，这部分看书，记住几个式子，当然全部记住更好

                       

一维归一化系数：

三维归一化系数：

13薛定谔方程

           

            动量算符     能量算符

            定态:

                   哈密顿算符     

哈密顿函数

        14一维无限深势阱

                     ▲（重要）详见之前打印的纸质详解

                                   边界条件不同，E_n不同，A不同，Ψ不同

        15线性谐振子（了解，目测不会考）

                            零点能

                            E能级间隔

                            能级

                                   解方程用到了厄米多项式

        16势垒贯穿（了解，目测不考）

                            透射系数D                                 隧道效应

        17算符（重点）

                     算符相等，单位算符，算符之和，算符乘积，逆运算，复共轭，转置，

厄米共轭

厄米算符定义

重要性质   （1） 

（2）厄米算符的本征函数具有正交性，可以组成正交归一系：

或

        18动量算符

                               

三维动量分布

箱归一化意义：动量本征值由连续谱变成分立谱

              角动量算符（掌握）

                           

                            简并：一个本征值由一个以上本征函数

                            简并度：对应于同一本征值的本征函数数目

                                          球谐函数，连带勒让德函数（了解，此处出现了）

                                         

算符的本征函数：

      

                                                

              19一个基本假定：力学量都是厄米算符，本征值函数组成完全系，测量F（不是指力，指代某力学量，下同）所得数值，必定为本征值之一。

              期望值（计算）：

                                          或（用得最多）

                                          或

        20.对易关系（重要）

              基本公式

       一些重要对易关系

                    

              如果两个算符和有一组共同本征函数，而且组成完全系，则算符和对易。（证明见书上）其逆定理也成立。

              21不确定性关系（重要）

                     设和的对易关系为，则有

             

              ；例如：

             

              22力学量期望值岁时间的变化   守恒定律

                            ，则称力学量为运动恒量，或者说在运动中守恒。

              只有体系不处于定态，二力学量又非体系的守恒量，力学量的平均值和几何分布才随时间改变。

              守恒量（范围大于定态）

（1）在体系任意状态下，平均值不随时间变化。

（2）在体系任意状态下，概率密度不随时间变化。

力学量守恒，不一定有确定值；是否有确定值，看初始时刻体系状态性质状态而定（本征态才有）。

具体例子

（1）自由粒子动量

（2）在中心力场中运动的粒子的角动量

（3）哈密顿不显含时间的体系的能量

（4）哈密顿对空间反演不变时的宇称