空间向量立体几何知识点大汇总

一、空间向量的加法和减法：

求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点，作，，则．

求两个向量和的运算称为向量的加法：在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形，则以起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．

二、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算．当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为．的长度是的长度的倍．

三、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．

四、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使．

五、平行于同一个平面的向量称为共面向量．

六、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，，使；或对空间任一定点，有；或若四点，，，共面，则．

七、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，，则称为向量，的夹角，记作．两个向量夹角的取值范围是：．

八、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作．

九、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作．即．零向量与任何向量的数量积为．

十、等于的长度与在的方向上的投影的乘积．

十一、若，为非零向量，为单位向量，则有；

；，，；

；．

十二、空间向量基本定理：若三个向量，，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得．

十三、若三个向量，，不共面，则所有空间向量组成的集合是．这个集合可看作是由向量，，生成的，称为空间的一个基底，，，称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

十四、设，，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以，，的公共起点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．则对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量．存在有序实数组，使得．把，，称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作．此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标．

十五、设，，则．

． ．

．若、为非零向量，则．

若，则．．

．

，，则．

十六、空间中任意一条直线的位置可以由上一个定点以及一个定方向确定．点是直线上一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上的任意一点，有，这样点和向量不仅可以确定直线的位置，还可以具体表示出直线上的任意一点．

十七、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为，．为平面上任意一点，存在有序实数对使得，这样点与向量，就确定了平面的位置．

十八、直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量．

十九、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，，则

，．

二十、若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则

，．

二十一、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，，则

，．

二十二、设异面直线，的夹角为，方向向量为，，其夹角为，则有．

二十三、设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有．

二十四、设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角为，则．

二十五、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为．

二十六、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．

二十七、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为

第二篇：空间向量立体几何知识点

空间向量、立体几何知识点归纳总结

1、空间向量的加法和减法：

求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点，作，，则．

求两个向量和的运算称为向量的加法：在空间以同一点为起点的两个已知向量、为邻边作平行四边形，则以起点的对角线就是与的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．

2、实数与空间向量的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算．当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，为零向量，记为．的长度是的长度的倍．

3、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．

4、向量共线充要条件：对于空间任意两个向量，，的充要条件是存在实数，使．

5、平行于同一个平面的向量称为共面向量．

6、向量共面定理：空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，，使；或对空间任一定点，有；或若四点，，，共面，则．

7、已知两个非零向量和，在空间任取一点，作，，则称为向量，的夹角，记作．两个向量夹角的取值范围是：．

8、对于两个非零向量和，若，则向量，互相垂直，记作．

9、已知两个非零向量和，则称为，的数量积，记作．即．零向量与任何向量的数量积为．

10、等于的长度与在的方向上的投影的乘积．

11、若，为非零向量，为单位向量，则有

；；

，，；  ；．

12、空间向量基本定理: 若三个向量，，不共面，则对空间任一向量，存在实数组，使得．

13、空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

14、设，，为有公共起点的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以，，的公共起点为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系．则对于空间任意一个向量，一定可以把它平移，使它的起点与原点重合，得到向量．存在有序实数组，使得．把，，称作向量在单位正交基底，，下的坐标，记作．此时，向量的坐标是点在空间直角坐标系中的坐标．

15、设，，则

．． ．

．若、为非零向量，则．

若，则．．

．

，，则．

16、空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点，它们的方向向量分别为，．为平面上任意一点，存在有序实数对使得，这样点与向量，就确定了平面的位置．

17、直线垂直，取直线的方向向量，则向量称为平面的法向量．

18、若空间不重合两条直线，的方向向量分别为，，则

，．

19．，．

20、若空间不重合的两个平面，的法向量分别为，，则

，．

21、设异面直线，的夹角为，方向向量为，，其夹角为，则有．

22、设直线的方向向量为，平面的法向量为，与所成的角为，与的夹角为，则有．

23、设，是二面角的两个面，的法向量，则向量，的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角为，则．

24、在直线上找一点，过定点且垂直于直线的向量为，则定点到直线的距离为．

25、点与点之间的距离可以转化为两点对应向量的模计算．

26、点是平面外一点，是平面内的一定点，为平面的一个法向量，则点到平面的距离为