第七章  平面图形的认识(二)

一、平行线

1、同位角、内错角、同旁内角的定义

两条线（a,b）被第三条（c）直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角(corresponding angles) 如图：∠1与∠8，∠2与∠7，∠3与∠6，∠4与∠5均为同位角。

两条线（a,b）被第三条（c）直线所截，两个角分别在截线的两侧，且在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角。如图：∠1与∠6，∠2与∠5均为同位角。

两条线（a,b）被第三条（c）直线所截，两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角（interior angles of thesame side） 。 如图：∠1与∠5，∠2与∠6均为同位角。

2、平行线的性质

（1）两直线平行,同位角相等。（2）两直线平行,内错角相等。（3）两直线平行,同旁内角互补。

3、平行线的判定

（1）同位角相等,两直线平行。（2）内错角相等,两直线平行。

（3）同旁内角互补,两直线平行。（4）平行于同一直线的两直线平行。

4、平移

平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移（translation），简称平移。

５、平移的性质

经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。

（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;

（2）图形平移后，对应点连成的线段平行且相等（或在同一直线上）

（3）多次平移相当于一次平移。

（4）多次对称后的图形等于平移后的图形。

（5）平移是由方向，距离决定的。

（6）经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等。

二、三角形

1、由三条不在同一直线上的三条线段首尾依次相接组成的图形叫做三角形。

2、三角形的性质

１）三角形的任意两边之和大于第三边（由此得三角形的两边的差一定小于第三边）

２）三角形三个内角的和等于180度（在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度）（一个三角形的3个内角中最少有2个锐角）

３）直角三角形的两个锐角互余

４）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）

５）等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一

６）三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点

７）三角形的外角和是360°

８）等底等高的三角形面积相等

９）三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。

3、三角形的分类

１）按边分①不等边三角形②等腰三角形（含等腰直角三角形、等边三角形 ）

2）按角分①锐角三角形②直角三角形③钝角三角形（锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形 ）

４、三角形的有关定义

１）三角形的高：在三角形中，从一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称为高。 三角形的三条高交于一点 ，这一点叫三角形的垂心。垂心到三角形三个顶点的距离相等

２）三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线。（也叫三角形的内角平分线。）三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并交于一点 ，这一点叫三角形的内心。 三角形的内心到三边的距离相等 。

３）三角形的中线：三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。三角形的三条中线在三角形的内部，并交于一点 ，这一点叫三角形的重心。每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

三、多边形

１、多边形：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。按照不同的标准，多边形可以分为正多边形和非正多边形、凸多边形及凹多边形等。

２、n边形内角和为（n-2）*180°         ３、任意多边形的外角和为360°

４、正n边形的一个外角为360°/n        ５、n边形具有不稳定性（n>3）

第八章 幂的运算

幂（power）指乘方运算的结果。ɑⁿ指将ɑ自乘n次(n个ɑ相乘）。把ɑⁿ看作乘方的结果，叫做ɑ的n次幂。

对于任意底数ɑ,b，当ｍ，ｎ为正整数时，有

ɑ^ｍ?ɑⁿ=ɑ^m+n  (同底数幂相乘,底数不变,指数相加)

ɑ^ｍ÷ɑⁿ=ɑ^m-n  (同底数幂相除,底数不变,指数相减)

(ɑ^ｍ)ⁿ=ɑ^mn  (幂的乘方,底数不变,指数相乘)

(ɑb)ⁿ=ɑⁿɑⁿ  (积的乘方,把积的每一个因式乘方,再把所得的幂相乘)

ɑ⁰=1(ɑ≠0) (任何不等于0的数的0次幂等于1)

ɑ^-n=1/ɑⁿ (ɑ≠0) (任何不等于0 的数的-n次幂等于这个数的n次幂的倒数)

科学记数法:把一个绝对值大于10(或者小于1)的整数记为a×10ⁿ的形式(其中1≤|a|＜10),这种记数法叫做科学记数法.

第九章  从面积到乘法公式

一、单项式、多项式、整式

１、代数式：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。单独一个数或者字母也是代数式。

２、单项式： 由数字与字母或字母与字母的相乘组成的代数式叫做单项式（单独的一个数字或字母也是单项式）。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

１）分母含有未知数的式子不属于单项式。因为单项式属于整式，而分母含有未知数的式子是分式。例如，1/x不是单项式。

２）单独的一个数字或字母也是单项式。例如，1和x^2y也是单项式。如果一个单项式，只含有字母因数，如果是正数的单项式系数为1，如果是负数的单项式系数为－1.

３）单项式书写规则：数与字母相乘时，数在字母前；乘号可以省略为点或不写；除法的式子可以写成分数式；带分数与字母相乘，带分数要化为假分数

３、多项式：若干个单项式的和组成的式子叫做多项式（减法中有：减一个数等于加上它的相反数）。多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。

４、整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除数不能含有字母。单项式和多项式统称为整式。

５、同类项：所含字母相同，并且相同字母的次数也分别相同的项叫做同类项。

６、合并同类项：多项式中的同类项可以合并，叫做合并同类项，合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

７、去、添括号法则

1)括号前是"+"号,把括号和它前面的"+"号去掉后,原括号里各项的符号都不改变。

2)括号前是"-"号,把括号和它前面的"-"号去掉后,原括号里各项的符号都要改变。（改成与原来相反的符号)

3)若括号前是数字因数时,应利用乘法分配律先将数与括号内的各项分别相乘再去括号

4)遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号,也可由外到里.数"-"的个数.

８、单项式乘单项式,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

９、单项式乘多项式，就是根据乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

１０、 多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

二、乘法公式

１、完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b²

２、平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²

３、完全立方公式： (a±b)³ =a³±3a²b+3ab²±b³

４、立方和公式：a³＋b³= (a＋b)(a²＋ab＋b²)

立方差公式：a³－b³= (a－b)(a²＋ab＋b²)

三、因式分解

１、公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

２、因式分解（分解因式）Factorization：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。

３、因式分解的方法：

⑴提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

⑵运用公式法：运用乘法公式把一个多项式因式分解的方法叫运用公式法。

⑶分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行．

⑷十字相乘法：有些二次三项式，可以把第一项和第三项的系数分别分解为两个数之积，然后借助画十字交叉线的方法，把二次三项式进行因式分解，这种方法叫十字相乘法．

４、因式分解和整式乘法是互逆的两种运算。

５、通常，把一个多项式分解因式，应先提公因式，再应用公式法，或者其他方法。进行多项式因式分解时，必须把每一个因式都分解到不能再分解为止。

第十章 二元一次方程组

１、含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程(linear equations of two unknowns) 。

２、含有两个未知数的两个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组。

３、二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。

４、代入消元法：把二元一次方程中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再带入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

５、加减消元法：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.

６、二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：

（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；

（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；

（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；

（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；

（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.

十一  一元一次不等式和一元一次不等式组

一、不等式

1、概念：一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.

2、解不等式：求不等式解集的过程叫解不等式。

3、不等式组：由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组

4、不等式组的解集 :一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分。

5、等式基本性质：

（1）在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式。

（2）在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式。

6、不等式的基本性质

（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 （注：移项要变号，但不等号不变。）

（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

（4）若a>b,  则a+c>b+c；

（2）若a>b, c>0 则ac>bc若c<0, 则ac<bc

7、不等式的其他性质：

（1）反射性：若a>b,则b<a。

（2）传递性:若a>b,且b>c,则a>c。

8、解不等式步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项合并同类项（4）系数化为1。

9、解不等式组步骤：（1）解出不等式的解集（2）在同一数轴表示不等式的解集。                                                 10、列一元一次不等式组解实际问题步骤：（1）审题（2）设未知数，找关系式（3）设元，根据关系式列不等式（4）解不等式组,检验并作答。

第六章  证明

1、对事情作出判断的句子，就叫做命题。

2、命题结构：

（1）条件：条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。 

（2）结论：由条件所推出的结果。

（3）反例：要说明一个命题是一个假命题，通常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论.这种例子称为反例。

3、证明一个命题是真命题的基本步骤：

（1）根据题意，画出图形。

（2）根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证。

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

（在证明时需注意：（1）在一般情况下，分析的过程不要求写出来.（2）证明中的每一步推理都要有根据）

第二篇：七年级数学(苏教版)知识点总结

第二章有理数

正数：positive number 负数：negative number

正整数、负整数与0统称为整数（integer），正分数与负分数统称为分数（fraction），整数和分数统称为有理数（rational number）。

像这样规定了原点、方向及单位长度的直线叫做数轴（number axis）。

数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值（absolute value）。

正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，绝对值大的负数反而小。

有理数的加法（addition）法则：

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

一个数与0相加，仍得这个数。

有理数加法运算律：

交换律：a+b=b+a。

结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。

有理数减法（subtraction）法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

有理数乘法（multiplication）法则：

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数与0相乘都得0.

有理数乘法运算律：

交换律：a×b=b×a。

结合律：（a×b）×c=a×（b×c）。

分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。

乘积为1的两个数互为倒数（reciprocal），其中一个是另一个的倒数。

有理数除法（division）法则：

除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0.

求相同因数的积的运算叫做乘方（power）。乘方运算的结果叫做幂（power）。

正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。

一般地，一个大于10的数都可以写成a×10ⁿ的形式，其中1≤a<10,a是正整数，这种计数法称为科学计数法（scientific notation）。

有理数混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减。如果有括号，先进行括号内的运算。

第三章：用字母表示数

数与字母的积，这样的代数式叫单项式（monomial）。单独一个数或一个字母也是单项式。单项式中的数字系数叫做它的系数（coefficient）。单项式中所有字母的指数的和叫做它的次数。几个单项式的和叫做多项式（polynomial）。单项式和多项式统称整式（integral expression）。

根据乘法对加法的分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项（unite like terms）。

合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。

去括号法则：

括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不改变。

括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项的符号都要改变。

进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项。

第四章一元一次方程

如方程只含有一个未知数（元）且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程（linear equation with one unknown）。

能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解（solution of equation）。求方程的解的过程叫做解方程（solving equation）。

等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

等式两边都乘以或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。

求方程的解就是将方程变形为x=a的形式。

方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项（moving terms）。

一般地，解一元一次方程的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1.

第五章走进图形的世界

棱柱（prism）；棱锥（pyramid）；圆柱（circular cylinder）；圆锥（circular cone）；球（sphere）

棱柱、棱锥中，任何相邻两个面的交线叫做棱（edge）（其中，相邻两个侧面的交线叫做侧棱）。棱柱的棱与棱的焦点叫做棱柱的顶点（vertex）。

从正面看到的图形，称为主视图；从左面看到的图形，称为左视图；从上面看到的图形，称为俯视图。

第六章平面图形的认识一

两点之间的所有连线中，线段（line segment）最短。两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离（distance）。

射线（ray或half line）；直线（straight line或right line）；中点（middle point）。

1^o的1/60为1分，记作1^/，即1^o=60^/。

1^/的1/60为1秒，记作1^//，即1^/=60^//。

将一个角平分为两个相等的角的直线叫做角平分线（angle bisector）。

同角（或等角）的余角相等。

同角（或等角）的补角相等。

对顶角相等。

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线（parallel lines）。

经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。

如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直（perpendicular）。互相垂直的两条直线的焦点叫做垂足（foot of a perpendicular）。当两条直线互相垂直时，其中一条直线叫做另一条直线的垂线（perpendicular line）。

经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

第七章平面图形的认识二

1、同位角相等，两直线平行

2、内错角相等，两直线平行

3、同旁内角互补，两直线平行

4、两直线平行，同位角相等

5、两直线平行，内错角相等

6、两直线平行，同旁内角互补

7、图形经过平移，连接各组对应点所得的

线段互相平行（或在同一条直线上）并且相等

8、三角形的任意两边之和大于第三边

9、三角形3个内角的和等于180^o

10、直角三角形的两个锐角互余

11、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

12、直角三角形的两个锐角互余

13、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

14、n边形的内角和等于（n-2）x 180^o

15、任意多变形的外角和等于360^o

第八章幂的运算

（m、n是正整数）。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

（m、n是正整数）。幂的乘方，底数不变，指数相乘。

(n是正整数)。积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

（m、n是正整数，m>n）。同底数幂相除，底数不变，指数相减。

。任何不等于0的数的0次幂等于1.

。任何不等于0的数的-n（n是正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数。

第九章从面积到乘法公式

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

完全平方公式：；；平方差公式：

多项式中各项都含有的因式，称为这个多项式的公因式（common factor）。

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解（factoring）。

如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，把多项式化成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

第十章二元一次方程组

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程（linear equation with two unknowns）。

含有两个未知数的两个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组（system of linear equations with two unknown）。

我们把二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。

将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，从而消去一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法（elimination by substitution），简称代入法。

把方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程，这种解方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition or subtraction），简称加减法。

第十一章图形的全等

全等三角形的对应边相等，对应角相等。能完全重合的图形叫做全等图形。

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”

两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”

角平分线上的点到角的两边的距离相等

三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”

第十二章数据在我们周围

为一特定目的而对部分考查对象所做的调查叫做抽样调查（简称抽查）（sampling survey）。

我们将所考查的对象的全体叫做总体，把组成总体的每一个考察对象叫做个体。从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本（sample），样本中个体的数目叫做样本的容量

在扇形统计图中，扇形圆心角度数=该部分的百分比×360^o

频数分布图、直方图；

记录数据时，某个对象出现的次数称为频数（absolute frequency），频数与总数的比值称为频率（relative frequency）。

分类个数对应的表格就是频数分布表（table of distribution of absolute frequencies）。

根据频数分布表绘制频数分布直方图（histogram）。频数——范围直角坐标系。

第十三章感受概率

在一定条件下，有些事情我们实现能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件（impossible event）。

在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件（certain event）。

在一定条件下，生活中也有很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件（random event）。

随机事件发生的可能性有大有小。一个事件发生可能性大小的数值，称为这个事件的概率（probability）。如果用A表示一个事件，那么我们就用P（A）表示事件A发生的概率。