一元二次方程知识点的总结（湘教版）

知识结构梳理

 

知识点归类

  建立一元二次方程模型

知识点一  一元二次方程的定义

如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。

例  下列关于的方程，哪些是一元二次方程？

⑴；⑵；（3）；（4）；（5）

知识点二一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式为（a，b，c是已知数，）。其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。

例1 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。

（1）；  （2）； （3）

例2 已知关于的方程是一元二次方程时，则       

知识点三  一元二次方程的解

   使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当时，所以是方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

知识点四  建立一元二次方程模型

建立一元二次方程模型的步骤是：审题、设未知数、列方程。

注意：（1）审题过程是找出已知量、未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。

知识点一  因式分解法解一元二次方程

如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。

      例  用因式分解法解下列方程：

（1）；    （2）；  （3）。

知识点二  直接开平方法解一元二次方程

若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是。

例  用直接开平方法解下列一元二次方程

（1）； （2）； （3）

知识点三  灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程

形如的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接开平方法解。

例  运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。

（1）；    （2）

知识点四  用提公因式法解一元二次方程

把方程左边的多项式（方程右边为0 时）的公因式提出，将多项式写出因式的乘积形式，然后利用“若pq=0时，则p=0或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。

如：，将原方程变形为，由此可得出

注意：在解方程时，千万注意不能把方程两边都同时除以一个含有未知数的式子，否则可能丢失原方程的根。

知识点五  形如“”的方程的解法。

对于形如“”的方程（或通过整理符合其形式的），可将左边分解因式，方程变形为，则，即。

注意：应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“”型方程的特征。

例解下列方程：（1）；        （2）

配方法

知识点一  配方法

解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。

注意：用配方法解一元二次方程，当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后，还要再减去这个数。

例  用配方法解下列方程：

（1）；    （2）

知识点二    用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

（1）       在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；

（2）       把原方程变为的形式。

（3）       若，用直接开平方法求出的值，若n﹤0，原方程无解。

例解下列方程：

知识点三    用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程

当一元二次方程的形式为时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；

         (2) 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为的形式；

（3）若，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。

例  用配方法解下列方程：

（1）；     （2）

公式法

知识点一  一元二次方程的求根公式

一元二次方程的求根公式是：

用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；（2）求出的值；（3）若，则把及的值代人求根公式，求出。

例  用公式法解下列方程

（1）；  （2）； （3）

知识点二  选择适合的方法解一元二次方程

   直接开平方法用于解左边的含有未知数的平方式，右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程

因式分解要求方程右边必须是0，左边能分解因式；

公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简单。

注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。

例  用适当的方法解下列一元二次方程：

（1）；（2）；（3）

知识点三   一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式 △=

运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：

（1）       △=﹥0方程有两个不相等的实数根；

（2）       △==0方程有两个相等的实数根；

（3）       △=﹤0方程没有实数根；

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况。

例  不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：

（1）；（2）；（3）

知识点四  根的判别式的逆用

在方程中，

（1）方程有两个不相等的实数根﹥0

（2）方程有两个相等的实数根=0

                      （3）方程没有实数根﹤0

注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。

例  为何值时，方程的根满足下列情况：

（1）有两个不相等的实数； （2）有两个相等的实数根；  （3）没有实数根；

知识点五  一元二次方程的根与系数的关系

若是一元二次方程的两个根，则有，  

根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：

（1）        （2）

（3）；

（4）││==

例  已知方程的两根为，不解方程，求下列各式的值。

（1）；              （2）。

知识点六  根据代数式的关系列一元二次方程

   利用一元二次方程解决有关代数式的问题时，要善于用一元二次方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。

例  当取什么值时，代数式与代数式的值相等？

一元二次方程的应用

知识点一    列一元二次方程解应用题的一般步骤

（1）       审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。

关键点：找出题中的等量关系。

知识点二   用一元二次方程解与增长率（或降低率）有关得到问题

增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为a，增长率为，则一次增长后的值为，两次增长后的值为；（2）若基数为a，降低率为，则一次降低后的值为，两次降低后的值为。

例某农场粮食产量在两年内由3000吨增加到3630吨，设这两年的年平均增长率为，列出关于的方程为                                    

知识点三   用一元二次方程解与市场经济有关的问题

与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：（1）每件利润=销售价-成本价；（2）利润率=（销售价—进货价）÷进货价×100%；（3）销售额=售价×销售量

例 某商店如果将进货价为8 元的商品每件10元售出，每天可售200件，现在采取提高售价，减少进货价的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量减少10件。

（1）要使每天获得700 元，请你帮忙确定售价。

（2）当售价定为多少时，能使每天获得的利润最多？并求出最大利润。

第二篇：一元二次方程知识点总结

一元二次方程

1. 一元二次方程的定义及一般形式：

（1）  等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

（2）  一元二次方程的一般形式： 。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。

2. 一元二次方程的解法

（1）直接开平方法：

形如的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得或者，。

注意：若b<0，方程无解

（2）因式分解法：

   一般步骤如下：

      ①将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；

②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；

③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。

（3） 配方法:

用配方法解一元二次方程的一般步骤

①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；

②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；

③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；

④用直接开平方法解变形后的方程。

注意：当时，方程无解

（4） 公式法：

一元二次方程 根的判别式：

方程有两个不相等的实根:（）的图像与轴有两个交点

方程有两个相等的实根的图像与轴有一个交点

   方程无实根的图像与轴没有交点

3. 韦达定理（根与系数关系）

我们将一元二次方程化成一般式ax²+bx+c＝0之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：

+＝； ＝

4.一元二次方程的应用

列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似

   ①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；

   ②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；

③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。

④“解”就是求出说列方程的解；

⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。

注意：一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。

五．典型例题

1、下列方程中，是一元二次方程的是：（     ）

A、+3x +y=0 ； B、 x+y+1=0 ；

C 、 ；  D、

2、关于x的方程（+a－2）+ax+b=0是一元二次方程的条件是（  ）

A、a≠0 ；     B、 a≠－2  ； 

C 、 a≠－2且 a≠1  ；    D、a≠1

3、一元二次方程－3x = 4的一般形式是                  ，一次项系数为                 。  

      

4、方程 = 225的根是                。

  

5、方程3 －5 x=0的根是                  。

6、（－24x +         ） =（x－      ）2。

7、一元二次方程a+bx +c=0（a≠0）有一个根为1，则a+b +c=             。

8、关于x的一元二次方程m－2x +1= 0有两个相等实数根，则m=                。

9、已知,是方程2+3x －4=0的两个根，那么 + =            ,  × =            。

10、若三角形其中一边为5cm，另两边长是两根，则三角形面积为             。

11、用适当的方法接下列方程。

（1）、（x+3）（x－1） = 5   

                 

（2）、（3x－2）2 =（2x－3）

（3)、（2x－1）2 =3（2x + 1）

                 

(4)、 3－10x +6=0 

12、若两个连续偶数的积是288，求这两个偶数。

13、从一块长80cm，宽60cm的长方形铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方形四周宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度？

14、已知关于x的方程的一个根是，求方程的另一个根和p的值．