数学必修一第二章小结

第二章       初等函数小结

指数函数

1、指数

（1）n次方根的定义若xⁿ=a，则称x为a的n次方根，“”是方根的记号.

（2）方根的性质

（3）分数指数幂的意义

2、指数函数的定义

一般地，函数（＞0且≠1）叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R.

3、 指数函数的图像及其性质

对数函数

1、  对数

（1）对数的概念

（2）指数式与对数式的关系：a^b=Nlog_aN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.

（3）对数运算性质:

①log_a（MN）=log_aM+log_aN.　　　　　　　　　②log_a=log_aM－log_aN.

③log_aMⁿ=nlog_aM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）

④对数换底公式：log_bN=（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.

（4）两类对数

2、  对数函数的概念

3、  对数函数的图象及其性质

幂函数

1、幂函数的定义

一般地，形如（R）的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数.

2、幂函数的图像

3、幂函数的性质

 例一   (1)16的平方根为________，－27的5次方根为________．

(2)已知x⁷＝6，则x＝________.

(3)若有意义，则实数x的取值范围是________．

[解析]　(1)∵(±4)²＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为.

(2)∵x⁷＝6，∴x＝.

(3)要使有意义，则需x－2≥0，即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．

[答案]　(1)±4　　(2)　(3)[2，＋∞)

变式训练一、(1)若81的平方根为a，－8的立方根为b，则a＋b＝________.

(2)用根式表示下列各式中的x：

①已知x⁶＝2015，则x＝________.

②已知x⁵＝－2015，则x＝________.

[答案]　(1)－11或7　(2)①± ②－

例二 1、计算下列各式的值：

(1)；         (2)；    (3)；           (4)；

(5)＋＋.

[解析]　(1)＝，因为(－4)³＝－64，

所以＝－4，即＝－4.

(2)＝|3－π|＝π－3.

(3)＝|x－2|＝.

(4)＝＝＝3.

(5)因为3－2＝()²－2＋1＝(1－)²，

所以原式＝＋＋＝|1－|＋(1－)＋|1－|＝－1＋1－＋－1＝－1.

2、化简(1)＋＋(a＜0，b＜0)；

(2)－(－3＜x＜3)．

[解析]　(1)原式＝|b|＋|a＋b|＋a－b＝－b－a－b＋a－b＝－3b.

(2)原式＝－＝|x－1|－|x＋3|.

∵－3<x<3，∴－4<x－1<2,0<x＋3<6.

当－4<x－1<0，即－3<x<1时，

|x－1|－|x＋3|＝1－x－(x＋3)＝－2x－2；

当0≤x－1<2，即1≤x<3时，

|x－1|－|x＋3|＝x－1－(x＋3)＝－4.

∴－＝

变式训练二 1、计算下列各式的值：

(1)；(2)；(3)；(4).

[解析]　(1)＝－2.

(2)＝＝4－π.

(3)＝|x＋2|＝.

(4)＝x－7.

2、若代数式＋有意义，化简＋2.

(2)由＋有意义，则即≤x≤2.

故＋2＝＋2＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3.

3、计算＋.

[解析]　解法一：原式＝＋＝－＋＋＝2.

解法二：设x＝＋，则x>0.

平方得x²＝(5－2)＋(5＋2)＋2

即x²＝12，∵x>0，∴x＝2.∴原式＝2.

4、化简－＝(　　)

A．2              B．2             C．－2                 D．－2

[解析]　＝＝＝－1，同理＝＋1，

∴－＝－2，故选D.

例三、1、用分数指数幂表示下列各式(a＞0，b＞0)：

(1)·；(2)；(3)()²·；(4).

[解析]　(1)原式＝a·a＝a^＋＝a；

(2)原式＝[a·(a·a)]＝a·a·a＝a^＋＋＝a；

(3)原式＝(a)²·(ab³) ＝a·a·b＝a^＋·b＝ab；

(4)原式＝[(a³＋b³)²]^－＝(a³＋b³)^2×(－)＝(a³＋b³)^－.

2、计算：(2)⁰＋2^－2·(2)^－－－(0.01)^0.5＝________.

3、化简：÷÷.

[解析]　(1)原式＝1＋×()－()＝1＋－＝.

(2)原式＝÷÷＝÷÷＝a÷(a)÷(a^－2) ＝a÷a÷a^－＝a^－÷a^－＝a^－＋＝a.

变式训练三  1、将下列根式与分数指数幂进行互化．

(1)a；(2)a^－；(3)(a＞0)；(4)x³·(x＞0)．

[解析]　(1)a＝.

(2)a^－＝.

(3)＝a·a＝a.

(4)x³·＝x³·x＝x

2、化简下列各式：

(1)2××；

(2)÷(1－2)×.

[解析]　(1)2××＝2×3×()×(3×2²) ＝21^－＋×3^＋＋＝2×3＝6.

(2)原式＝÷·a＝··a＝a·a·a＝a.

例四 1、函数y＝(2a²－3a＋2)·a^x是指数函数，则a的值________．

2、指数函数f(x)的图象过点(－3，)，则f(2)＝______

[答案]　(1)　(2)4

[解析]　(1)y＝(2a²－3a＋2)·a^x是指数函数，则有∴a＝.

(2)设f(x)＝a^x(a＞0，且a≠1)．

∵f(x)的图象过点(－3，)，

∴a^－3＝，a³＝8，故a＝2，

∴f(x)＝2^x，∴f(2)＝2²＝4.

3、当a＞1时，函数y＝a^x和y＝(a－1)x²的图象只可能是(　　)

4、图中的曲线是指数函数y＝a^x的图象，已知a的值取，，，四个值，则相应的曲线C₁，C₂，C₃，C₄的a的值依次是(　　)

A.，，，

B.，，，

C.，，，

D.，，，

 

5、(2015·双鸭山高一检测)当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝a^x－2－3必过定点________．

[解析]　3、由a＞1知函数y＝a^x的图象过点(0,1)，分布在第一和第二象限，且从左到右是上升的．

由a＞1知函数y＝(a－1)x²的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点为原点，综合分析可知选项A正确．

4、因为直线x＝1与函数y＝a^x的图象相交于点(1，a)．

又因为0＜＜＜1＜＜，所以曲线C₁，C₂，C₃，C₄的a的值依次为，，，.

5、当a＞0且a≠1时，总有a⁰＝1，所以当x＝2时，y＝－2，过点(2，－2)．

6、函数f(x)＝a^x(a＞0，且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的差为，则a＝________.

[正解]　(1)当a＞1时，函数f(x)＝a^x在[0,1]上是增函数．所以当x＝1时，函数f(x)取最大值；

当x＝0时，函数f(x)取最小值．

由题意得f(1)－f(0)＝，即a－a⁰＝，解得a＝.

(2)当0＜a＜1时，函数f(x)＝a^x在[0,1]上是减函数．

所以当x＝1时，函数f(x)取最小值；当x＝0时，函数f(x)取最大值．由题意得f(0)－f(1)＝，即a⁰－a＝，解得a＝.综上知a＝或.

7、比较下列每组中两个数的大小：

(1)1.7^2.5,1.7³；                                                                             (2)0.8^－0.1,0.8^－0.2；

(3)()^－0.5，()^－0.5；                                                                     (4)1.7^0.3,0.9^3.1.

[解析]　(1)考察指数函数y＝1.7^x，由于底数1.7>1，∴指数函数y＝1.7^x在(－∞，＋∞)上是增函数． ∵2.5<3，∴1.7^2.5<1.7³.

(2)考察函数y＝0.8^x，由于0<0.8<1，

∴指数函数y＝0.8^x在(－∞，＋∞)上为减函数． ∵－0.1>－0.2，∴0.8^－0.1<0.8^－0.2.

(3)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝()^x与y＝()^x的图象，如答图所示，当x＝－0.5时，观察图象可得()^－0.5＞()^－0.5.

(4)由指数函数的性质得

1．7^0.3>1.7⁰＝1,0.9^3.1<0.9⁰＝1，∴1.7^0.3>0.9^3.1.

8、判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝2^|x|；             (2)f(x)＝3^x－3^－x；            (3)f(x)＝.

[解析]　(1)f(－x)＝2^|－x|＝2^|x|＝f(x)，∴f(x)＝2^|x|是偶函数．

(2)f(－x)＝3^－x－3^x＝－(3^x－3^－x)＝－f(x)，∴f(x)＝3^x－3^－x是奇函数．

(3)f(－x)＝＝＝＝－＝－f(x)，∴f(x)＝是奇函数．

9、讨论函数f(x)＝()^x2－2x的单调性，并求其值域．

∵函数f(x)的定义域为R，令u＝x²－2x，则g(u)＝()^u.

∵u＝x²－2x＝(x－1)²－1，在(－∞，1)上是减函数，

g(u)＝()^u在其定义域内是减函数，

∴函数f(x)在(－∞，1]内为增函数．

又g(u)＝()^u在其定义域内为减函数，而

u＝x²－2x＝(x－1)²－1在[1，＋∞)上是增函数．∴函数f(x)在[1，＋∞)上是减函数．

2）∵x²－2x＝(x－1)²－1≥－1,0<<1，∴0<()x²－2x≤()^－1＝3.

∴函数f(x)的值域为(0,3]．

变式训练四 1、若函数y＝a^x＋(b－1)(a＞0，且a≠1)的图象不经过第二象限，则有(　　)

A．a＞1且b＜1　　　       B．0＜a＜1且b≤1   C．0＜a＜1且b＞0      D．a＞1且b≤0

2、函数y＝a^2x－1＋1(a＞0，a≠1)的图象必过定点________．

[解析]　(1)由于图象不过第二象限知a＞1，且x＝0时，a⁰＋(b－1)≤0，∴b≤0，故选D.

(2)∵a⁰＝1，∴2x－1＝0时a^2x－1＝1，此时x＝，因此图象过定点(，2)．

3、已知a＞0，且a≠1，若函数f(x)＝2a^x－4在区间[－1,2]上的最大值为10，则a＝________.

[解析]　(1)若a＞1，则函数y＝a^x在区间[－1,2]上是递增的，

当x＝2时f(x)取得最大值f(2)＝2a²－4＝10，

即a²＝7，又a＞1，∴a＝.

(2)若0＜a＜1，则函数y＝a^x在区间[－1,2]上是递减的，

当x＝－1时，f(x)取得最大值f(－1)＝2a^－1－4＝10，∴a＝.

综上所述，a的值为或.

4、比较下列各组数的大小：

(1)1.5^2.5和1.5^3.2；(2)0.6^－1.2和0.6^－1.5；(3)7^－0.6和8^－0.6；(4)1.5^0.3和0.8^1.2.

[解析]　(1)∵函数y＝1.5^x在R上是增函数，2.5＜3.2， ∴1.5^2.5＜1.5^3.2.

(2)∵函数y＝0.6^x在R上是减函数，－1.2＞－1.5， ∴0.6^－1.2＜0.6^－1.5.

(3)依据指数函数中底数a对函数图象的影响，画出函数y＝7^x与y＝8^x的图象，

得7^－0.6＞8^－0.6.

(4)由指数函数的性质知1.5^0.3＞1.5⁰＝1，而0.8^1.2＜0.8⁰＝1，∴1.5^0.3＞0.8^1.2.

5、 f(x)＝＋是偶函数，则a＝(　　)

A．1            B．－1           C．±1                              D．2

[解析]　依题意，对一切x∈R，有f(－x)＝f(x)，

即＋a·2^x＝＋.

∴(a－)(2^x－)＝0对一切x∈R成立，则a－＝0，∴a＝±1.

6、求函数f(x)＝2x²－6x＋17的定义域、值域、单调区间．

[解析]　函数f(x)的定义域为R.令t＝x²－6x＋17，则f(t)＝2^t.∵t＝x²－6x＋17＝(x－3)²＋8在(－∞，3)上是减函数，而f(t)＝2^t在其定义域内是增函数，∴函数f(x)在(－∞，3)上为减函数．又∵t＝x²－6x＋17＝(x－3)²＋8在[3，＋∞)上为增函数，而f(t)＝2^t在其定义域内是增函数，∴函数f(x)在[3，＋∞)为增函数．∵t＝x²－6x＋17＝(x－3)²＋8≥8，而f(t)＝2^t在其定义域内是增函数，∴f(x)＝2x²－6x＋17≥2⁸＝256，∴函数f(x)的值域为[256，＋∞)．

7、求函数y＝9^x＋2·3^x－2的值域．

[解析]　设3^x＝t，则y＝t²＋2t－2＝(t＋1)²－3.

∵上式中当t＝0时y＝－2，又∵t＝3^x＞0，∴y＝9^x＋2·3^x－2的值域为(－2，＋∞)．

例五、1、计算：(1)lg14－2lg＋lg7－lg18；

(2)；   (3)lg²5＋lg2·lg50.

[解析]　(1)方法一：原式＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(3²×2)

＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0.

方法二：原式＝lg14－lg()²＋lg7－lg18＝lg＝lg1＝0.

(2)原式＝＝＝.

(3)原式＝lg²5＋(1－lg5)(1＋lg5)＝lg²5＋1－lg²5＝1

2、计算log₂·log₃·log₅；

(2)若log₃4·log₄8·log₈m＝log₄2，求m的值．

[解析]　(1)原式＝··＝＝－12.

(2)由题意，得··＝＝，

∴lgm＝lg3，即lgm＝lg3，∴m＝.

变式训练五、1、求下列各式的值：

(1)log₃18－log₃6；           (2)log3＋2log2；

(3)lg₂＋log₂；(4).

[解析]　(1)原式＝log₃＝log₃3＝1.

(2)原式＝log3＋log4＝log12＝－1.

(3)原式＝log₂[]＝log₂＝log₂)＝log₂4＝2.

(4)原式＝＝＝1.

2设3^x＝4^y＝36，求＋的值；

.

2、[解析]　(1)由已知分别求出x和y，

∵3^x＝36,4^y＝36，∴x＝log₃36，y＝log₄36，

由换底公式得：

x＝＝，y＝＝，

∴＝log₃₆3，＝log₃₆4，

∴＋＝2log₃₆3＋log₃₆4＝log₃₆(3²×4)＝log₃₆36＝1.

3已知log₂3＝a,3^b＝7，求log₁₂56

解法一：因为log₂3＝a，所以2^a＝3.又3^b＝7，故7＝(2^a)^b＝2^ab，故56＝2^3＋ab，又12＝3×4＝2^a×4＝2^a＋2，从而56＝(2^a＋2)＝log₁₂56＝.

解法二：因为log₂3＝a，所以log₃2＝.又3^b＝7，所以log₃7＝b.从而log₁₂56＝＝＝＝＝.

例六  1、求下列函数的定义域：

(1)y＝log₅(1－x)；                                                                      (2)y＝log_(1－x)5；

(3)y＝；                                                                         (4)y＝.

[解析]　(1)要使函数式有意义，需1－x＞0，解得x＜1，所以函数y＝log₅(1－x)的定义域是{x|x＜1}．

(2)要使函数式有意义，需，解得x＜1，且x≠0，所以函数y＝log_(1－x)5的定义域是{x|x＜1，且x≠0}．

(3)要使函数式有意义，需，解得x＜4，且x≠3，所以函数y＝的定义域是{x|x＜4，且x≠3}．

(4)要使函数式有意义，需，解得＜x≤1，所以函数y＝的定义域是{x|＜x≤1}．

2、函数y＝log_a(x＋1)－2(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________．

[解析]　(1)因为函数y＝log_ax(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1得x＝0，此时y＝log_a(x＋1)－2＝－2.

所以函数y＝log_a(x＋1)－2(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)．

3、比较下列各组中两个值的大小：

①ln0.3，ln2；                 ②log_a3.1，log_a5.2(a＞0，且a≠1)；

③log₃0.2，log₄0.2；            ④log₃π，log_π3.

4、若log_a＜1，则a的取值范围为________．

[解析]　(1)①因为函数y＝lnx在(0，＋∞)上是增函数，且0.3＜2，所以ln0.3＜ln2.

②当a＞1时，函数y＝log_ax在(0，＋∞)上是增函数，

又3.1＜5.2，所以log_a3.1＜log_a5.2；

当0＜a＜1时，函数y＝log_ax在(0，＋∞)上是减函数，

又3.1＜5.2，所以log_a3.1＞log_a5.2.

③因为0＞log_0.23＞log_0.24，所以＜，即log₃0.2＜log₄0.2.

④因为函数y＝log₃x是增函数，且π＞3，所以log₃π＞log₃3＝1.

同理，1＝log_ππ＞log_π3，所以log₃π＞log_π3.

5、求下列函数的值域：

(1)y＝log₂(x²＋4)；             (2)y＝ (3＋2x－x²)．

[解析]　(1)y＝log₂(x²＋4)的定义域为R.

∵x²＋4≥4，∴log₂(x²＋4)≥log₂4＝2.

∴y＝log₂(x²＋4)的值域为{y|y≥2}．

6、设f(x)＝lg(＋a)为奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是(　　)

A．(－1,0)　　　　　 B．(0,1)   C．(－∞，0)    D．(－∞，0)∪(1，＋∞)

[解析]　∵f(x)为奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)对定义域内的任一x值均成立．

∴f(0)＝0，∴a＝－1.∴f(x)＝lg，

∵f(x)<0，∴lg<0，∴0<<1，

7、已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象与x，y轴都无公共点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象．

[解析]　由已知，得m²－2m－3≤0，所以－1≤m≤3.

又因为m∈Z，所以m＝－1,0,1,2,3.

当m＝0或m＝2时，y＝x^－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不合题意；

当m＝－1或m＝3时，y＝x⁰，不合题意；

当m＝1时，y＝x^－4，其图象如答图所示．

变式训练六  1、(2014·全国高考山东卷)函数f(x)＝的定义域为(　　)

A．(0,2)　　　　　                                                                    B．(0,2]

C．(2，＋∞)                                                                              D．[2，＋∞)

2、函数y＝f(x)的这义域为(－1,1)，则函数y＝f(lgx)的定义域为________．

[解析]　(1)使函数有意义应满足log₂x－1>0即log₂x>1，∴x>2，故选C.

(2)由y＝f(x)定义域为(－1,1)知－1＜lgx＜1解得＜x＜1，故y＝f(lgx)定义域为(，10)．

3、函数f(x)＝4＋log_a(x－1)(a＞0，且a≠1)的图象过一个定点，则这个定点的坐标是________．

[解析]　(1)因为函数y＝log_a(x－1)的图象过定点(2,0)，所以f(x)＝4＋log_a(x－1)的图象过定点(2,4)．

4、(2015·大庆高一检测)已知a＝log₂3.6，b＝log₄3.2，c＝log₄3.6，则(　　)

A．b＜a＜c　　　       B．c＜b＜a         C．c＜a＜b     D．b＜c＜a

5、)若log_a(2a－1)＞1(a＞0，且a≠1)．则a的范围是________．

[解析]　4、因为函数y＝log₂x在(0，＋∞)上是增函数，且3.6＞2，所以log₂3.6＞log₂2＝1，

因为函数y＝log₄x在(0，＋∞)上是增函数，且3.2＜3.6＜4，所以log₄3.2＜log₄3.6＜log₄4＝1，

所以log₄3.2＜log₄3.6＜log₂3.6，即b＜c＜a.

5)log_a(2a－1)＞1即log_a(2a－1)＞log_aa，则有①，解得a＞1；②，解得＜a＜1.综上，a＞1或＜a＜1.

6、 (2010·山东高考)函数f(x)＝log₂(3^x＋1)的值域为(　　)

A．(0，＋∞)        B．[0，＋∞)   C．(1，＋∞)   D．[1，＋∞)

[答案]　A [解析]　∵3^x＋1>1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增，

∴log₂(3^x＋1)>log₂1＝0，故该函数的值域为(0，＋∞)

7、比较下列各组数的大小．

(1)1.5，  1.7，1；                (2)(－)^－，(－)，1.1^－；

(3)3.8^－，3.9，(－1.8)；           (4)3^{1.4    ,}5^1.5.

[解析]　(1)因为函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，且1.7＞1.5＞1，所以1.7＞1.5＞1.

(2)(－)^－＝()^－，(－)＝()^－，1.1^－＝[(1.1)²]^－＝1.21^－.

因为幂函数y＝x^－在(0，＋∞)上单调递减，且＜＜1.21，所以()^－＞()^－＞1.21^－，即(－)＞(－)^－＞1.1^－.

(3)因为0＜3.8^－＜1,3.9>1，(－1.8)＜0，

所以3.9＞3.8^－＞(－1.8).

(4)根据幂函数和指数函数的单调性，得3^1.4＜3^1.5＜5^1.5，所以3^1.4＜5^1.5.