中考数学重难点专题讲座

第九讲 几何图形的归纳,猜想,证明问题

【前言】实行新课标以来，中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。08年的中考填空压轴是一道代数归纳题，已经展现出了这种趋势。09年的一模，二模也只是较少的区县出了这种归纳题，然而中考的时候就出了一道几何方面的n等分点总结问题。于是今年的一模二模，这种有关几何的归纳，猜想问题铺天盖地而来，这就是一个重要的风向标。而且根据学生反映，这种问题一般较难，得分率很低，经常有同学选择+填空就只错了这一道。对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的，所以一下我们通过今年的一二模真题来看看如何应对这种新题型。

第一部分真题精讲

【例1】20##，海淀，一模

如图，+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设的面积为，的面积为，…，的面积为，则=       ；=____        （用含的式子表示）．

【思路分析】拿到这种题型，第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。本题还好，将阴影部分标出，不至于看错。但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是,这种的,第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系.首先所代表的三角形的底边是三角形的底边,而这个三角形和△是相似的.所以边长的比例就是与的比值.于是.接下来通过总结,我们发现所求的三角形有一个最大的共性就是高相等,为（连接上面所有的B点，将阴影部分放在反过来的等边三角形中看）。那么既然是求面积，高相等，剩下的自然就是底边的问题了。我们发现所有的B,C点连线的边都是平行的，于是自然可以得出 自然是所在边上的n+1等分点.例如就是的一个三等分点.于是(n+1-1是什么意思?为什么要减1?)

【例2】2010，西城，一模

在平面直角坐标系中，我们称边长为1且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点 正方形，如图，菱形的四个顶点坐标分别是，，，，则菱形能覆盖的单位格点正方形的个数是_______个；若菱形的四个顶点坐标分别为，，，（为正整数），则菱形能覆盖的单位格点正方形的个数为_________（用含有的式子表示）．

【思路分析】此题方法比较多，例如第一空直接数格子都可以数出是48（笑）。这里笔者提供一种方法，其他方法大家可以自己去想想看。因为求的是菱形包涵的正方形个数，所以只需求出被X,Y轴所分的四个三角形包涵的个数，再乘以4即可。比如我们来看第二象限那个三角形。第二象限菱形那条边过（-2n,0）(0,n),自然可以写出直线解析式为,斜率意味着什么?看上图,注意箭头标注的那些空白三角形,这些RT三角形一共有2n/2=n个,他们的纵直角边与横直角边的比是不是就是?而且这些直角三角形都是全等的,面积均为两个单位格点正方形的一半.那么整个的△AOB的面积自然就是,所有n个空白小三角形的面积之和为,相减之后自然就是所有格点正方形的面积,也就是数量了.所以整个菱形的正方形格点就是. 

【例3】2010，平谷，一模

如图，，过上到点的距离分别为的点作的垂线与相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为．则第一个黑色梯形的面积          ；观察图中的规律，第(为正整数)个黑色梯形的面积        ．

【思路分析】本题方法也比较多样。所有阴影部分都是一个直角梯形，而因为，所以梯形的上下底长度分别都对应了垂足到0点的距离,而高则是固定的2。第一个梯形上底是1，下底是3，所以.第二个梯形面积,第三个是,至此,我们发现本题中梯形面积数值上其实就是上下底的和.而且各个梯形的上底都是前一个梯形上底加上4。于是第n个梯形的上底就是1+4(n-1)=4n-3,(第一个梯形的上底1加上(n-1)个4.)下底自然就是4n-1,于是就是8n-4.

【例4】2010，丰台，一模

在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．请你观察图中正方形A₁B₁C₁D₁，A₂B₂C₂D₂，A₃B₃C₃D_3……每个正方形四条边上的整点的个数．按此规律推算出正方形A₁₀B₁₀C₁₀D₁₀四条边上的整点共有　　　个．

【思路分析】此题看似麻烦，但是只要把握住“正方形”这个关键就可以了。对于来说,每条边的长度是2n,那么自然整点个数就是2n+1，所以四条边上整点一共有(2n+1)x4-4=8n(个)(要减去四个被重复算的顶点),于是就是80个.

【例5】2010，宣武，一模

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_____．

【思路分析】本题依然要找出每个三角形和上一个三角形之间的规律联系。关键词“中点”“垂线”“等腰直角”。这就意味着每个三角形的锐角都是45度，并且直角边都是上一个三角形直角边的一半。绕一圈是360度，包涵了8个45°。于是绕到第八次就可以和BC重叠了，此时边长为△ABC的，故而得解。

【例6】2010，门头沟，一模

如图，以等腰三角形的斜边为直角边向外作第个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的斜边为直角边向外作第个等腰直角三角形，……，如此作下去，若，则第个等腰直角三角形的面积 ________（n为正整数）.

【思路分析】和上题很类似的几何图形外延拓展问题。还是一样慢慢找小三角形面积的规律。由题可得，分子就是1,2,4,8,16这样的数列。于是

【总结】几何图形的归纳总结问题其实就包括了代数方面的数列问题，只不过需要考生自己找出图形与图形之间的联系而已。对于这类问题，首先就是要仔细读题，看清楚题目所求的未知量是什么，然后找出各个未知量之间的联系，这其中就包括了寻找未知量的拓展过程中，哪些变了，哪些没有变。最后根据这些联系列出通项去求解。在遇到具体关系很难找的问题时，不妨先写出第一项，第二项，第三项然后去找数式上的规律，如上面例6就是一例，如果纠结于几何图形当中等腰三角形直角边的平方，反而会使问题复杂化，直接列出前几项的面积就可以大胆的猜测出来结果了。这类题目计算量往往不大，重在思考和分析的方法，还请考生细心掌握。

第二部分发散思考

【思考1】2009，西城，二模

如图，在平面直角坐标系xOy中，，，，

，…，以为对角线作第一个正方形，以

为对角线作第二个正方形，以为对角线作第

三个正方形，…，如果所作正方形的对角线都在

y轴上，且的长度依次增加1个单位，顶点都在第一象

限内（n≥1，且n为整数）．那么的纵坐标为         ；用n

的代数式表示的纵坐标：         ．

【思考2】2009，朝阳，二模

如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点处开始跳动，第一

次跳到点关于x轴的对称点处，接着跳到点关于y轴

的对称点  处，第三次再跳到点关于原点的对称点处，…，

如此循环下去．当跳动第2009次时，棋子落点处的坐标是

    ．

【思考3】2009，昌平,一模

对于大于或等于2的自然数n的平方进行如下“分裂”，分裂成n个连续奇数的和，则自然数7²的分裂数中最大的数是     ，自然数n的分裂数中最大的数是     .

 

【思考4】2009，延庆，一模

一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动,即，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是_______

【思考5】2009，海淀，二模

如图，将边长为的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的正方形的中心依次为A₁, A₂, A₃, ….①若摆放前6

个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）

之和为        ；②若摆放前n（n为大于1的正

整数）个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为        .

第三部分思考题解析

【思考1答案】2；

【思考2答案】（3，－2）

【思考3答案】13；2n-1

【思考4答案】（5，0）

【思考5答案】10，

第二篇：初中数学知识点归纳口诀

初中数学知识点归纳口诀

1.1 有理数的加法运算

同号两数来相加，绝对值加不变号。 异号相加大减小，大数决定和符号。 互为相反数求和，结果是零须记好。 【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。

1.2 有理数的减法运算

减正等于加负，减负等于加正

1.3 有理数的乘法运算符号法则

同号得正异号负，一项为零积是零。

2 合并同类项

说起合并同类项，法则千万不能忘。 只求系数代数和，字母指数留原样。

3 去、添括号法则

去括号、添括号，关键要看连接号。 扩号前面是正号，去添括号不变号。 括号前面是负号，去添括号都变号。

4 解方程

已知未知闹分离，分离要靠移完成。 移加变减减变加，移乘变除除变乘。

5.1 平方差公式

两数和乘两数差，等于两数平方差。 积化和差变两项，完全平方不是它。

5.2.1 完全平方公式

二数和或差平方，展开式它共三项。 首平方与末平方，首末二倍中间放。 和的平方加联结，先减后加差平方。

5.2.2 完全平方公式

首平方又末平方，二倍首末在中央。 和的平方加再加，先减后加差平方。

6.1 解一元一次方程

先去分母再括号，移项变号要记牢。 同类各项去合并，系数化“1”还没好。 求得未知须检验，回代值等才算了。

6.2 解一元一次方程

先去分母再括号，移项合并同类项。 系数化1还没好，准确无误不白忙。

7 因式分解与乘法

和差化积是乘法，乘法本身是运算。 积化和差是分解，因式分解非运算。

8.1因式分解

两式平方符号异，因式分解你别怕。 两底和乘两底差，分解结果就是它。 两式平方符号同，底积2倍坐中央。 因式分解能与否，符号上面有文章。 同和异差先平方，还要加上正负号。 同正则正负就负，异则需添幂符号。

8.2 因式分解

一提二套三分组，十字相乘也上数。 四种方法都不行，拆项添项去重组。 重组无望试求根，换元或者算余数。 多种方法灵活选，连乘结果是基础。 同式相乘若出现，乘方表示要记住

【注】 一提（提公因式)二套（套公式）

8.3 因式分解

一提二套三分组，叉乘求根也上数。 五种方法都不行，拆项添项去重组。 对症下药稳又准，连乘结果是基础。

8.4.1 用平方差公式因式分解

异号两个平方项，因式分解有办法。 两底和乘两底差，分解结果就是它。

8.4.2 用完全平方公式因式分解

两平方项在两端，底积2倍在中部。 同正两底和平方，全负和方相反数。 分成两底差平方，方正倍积要为负。 两边为负中间正，底差平方相反数。 一平方又一平方，底积2倍在中路。 三正两底和平方，全负和方相反数。 分成两底差平方，两端为正倍积负。 两边若负中间正，底差平方相反数。

8.5 二次三项式的因式分解

先想完全平方式，十字相乘是其次。 两种方法行不通，求根分解去尝试。

9.1 比和比例

两数相除也叫比，两比相等叫比例。 外项积等内项积，等积可化八比例。 分别交换内外项，统统都要叫更比。 同时交换内外项，便要称其为反比。 前后项和比后项，比值不变叫合比。

前后项差比后项，组成比例是分比。 两项和比两项差，比值相等合分比。 前项和比后项和，比值不变叫等比。

9.2 解比例

外项积等内项积，列出方程并解之。

9.3 求比值

由已知去求比值，多种途径可利用。 活用比例七性质，变量替换也走红。 消元也是好办法，殊途同归会变通。

9.4.1 正比例与反比例

商定变量成正比，积定变量成反比。

9.4.2 正比例与反比例

变化过程商一定，两个变量成正比。 变化过程积一定，两个变量成反比。

9.5.1 判断四数成比例

四数是否成比例，递增递减先排序。 两端积等中间积，四数一定成比例。

9.5.2 判断四式成比例

四式是否成比例，生或降幂先排序。 两端积等中间积，四式便可成比例。

9.6 比例中项

成比例的四项中，外项相同会遇到。

有时内项会相同，比例中项少不了。 比例中项很重要，多种场合会碰到。 成比例的四项中，外项相同有不少。 有时内项会相同，比例中项出现了。 同数平方等异积，比例中项无处逃。

10 根式与无理式

表示方根代数式，都可称其为根式。 根式异于无理式，被开方式无限制。 被开方式有字母，才能称为无理式。 无理式都是根式，区分它们有标志。 被开方式有字母，又可称为无理式。

11 求定义域

求定义域有讲究，四项原则须留意。 负数不能开平方，分母为零无意义。 指是分数底正数，数零没有零次幂。 限制条件不唯一，满足多个不等式。 求定义域要过关，四项原则须注意。 负数不能开平方，分母为零无意义。 分数指数底正数，数零没有零次幂。 限制条件不唯一，不等式组求解集。

12.1 解一元一次不等式

先去分母再括号，移项合并同类项。 系数化“1”有讲究，同乘除负要变向。 先去分母再括号，移项别忘要变号。 同类各项去合并，系数化“1”注意了。 同乘除正无防碍，同乘除负也变号。 12.2 解一元一次不等式组

大于头来小于尾，大小不一中间找。 大大小小没有解，四种情况全来了。 同向取两边，异向取中间。 中间无元素，无解便出现。

幼儿园小鬼当家，(同小相对取较小) 敬老院以老为荣，(同大就要取较大) 军营里没老没少。(大小小大就是它) 大大小小解集空。(小小大大哪有哇) 12.3 解一元二次不等式

首先化成一般式，构造函数第二站。 判别式值若非负，曲线横轴有交点。 a正开口它向上，大于零则取两边。 代数式若小于零，解集交点数之间。 方程若无实数根，口上大零解为全。

小于零将没有解，开口向下正相反。

13.1 用公式法解一元二次方程

要用公式解方程，首先化成一般式。 调整系数随其后，使其成为最简比。 确定参数abc，计算方程判别式。 判别式值与零比，有无实根便得知。 有实根可套公式，没有实根要告之。 13.2 用常规配方法解一元二次方程 左未右已先分离，二系化“1”是其次。 一系折半再平方，两边同加没问题。 左边分解右合并，直接开方去解题。 该种解法叫配方，解方程时多练习。 13.3 用间接配方法解一元二次方程 已知未知先分离，因式分解是其次。 调整系数等互反，和差积套恒等式。 完全平方等常数，间接配方显优势

【注】 恒等式

13.4 解一元二次方程

方程没有一次项，直接开方最理想。 如果缺少常数项，因式分解没商量。 b、c相等都为零，等根是零不要忘。

b、c同时不为零，因式分解或配方， 也可直接套公式，因题而异择良方。

14.1 正比例函数的鉴别

判断正比例函数，检验当分两步走。 一量表示另一量， 有没有。

若有再去看取值，全体实数都需要。 区分正比例函数，衡量可分两步走。 一量表示另一量， 是与否。

若有还要看取值，全体实数都要有。 14.2 正比例函数的图象与性质 正比函数图直线，经过 和原点。 K正一三负二四，变化趋势记心间。 K正左低右边高，同大同小向爬山。 K负左高右边低，一大另小下山峦。

15.1 一次函数

一次函数图直线，经过 点。

K正左低右边高，越走越高向爬山。 K负左高右边低，越来越低很明显。 K称斜率b截距，截距为零变正函。 15.2 反比例函数

反比函数双曲线，经过 点。

K正一三负二四，两轴是它渐近线。 K正左高右边低，一三象限滑下山。 K负左低右边高，二四象限如爬山。 15.3 二次函数

二次方程零换y，二次函数便出现。 全体实数定义域，图像叫做抛物线。 抛物线有对称轴，两边单调正相反。 A定开口及大小，线轴交点叫顶点。 顶点非高即最低。上低下高很显眼。 如果要画抛物线，平移也可去描点， 提取配方定顶点，两条途径再挑选。 列表描点后连线，平移规律记心间。 左加右减括号内，号外上加下要减。 二次方程零换y，就得到二次函数。 图像叫做抛物线，定义域全体实数。 A定开口及大小，开口向上是正数。 绝对值大开口小，开口向下A负数。 抛物线有对称轴，增减特性可看图。 线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。 如果要画抛物线，描点平移两条路。 提取配方定顶点，平移描点皆成图。

列表描点后连线，三点大致定全图。 若要平移也不难，先画基础抛物线， 顶点移到新位置，开口大小随基础。

【注】基础抛物线

16 直线、射线与线段

直线射线与线段，形状相似有关联。 直线长短不确定，可向两方无限延。 射线仅有一端点，反向延长成直线。 线段定长两端点，双向延伸变直线。 两点定线是共性，组成图形最常见。

17 角

一点出发两射线，组成图形叫做角。 共线反向是平角，平角之半叫直角。 平角两倍成周角，小于直角叫锐角。 直平之间是钝角，平周之间叫优角。 互余两角和直角，和是平角互补角。 一点出发两射线，组成图形叫做角。 平角反向且共线，平角之半叫直角。 平角两倍成周角，小于直角叫锐角。 钝角界于直平间，平周之间叫优角。

和为直角叫互余，互为补角和平角。

18 证等积或比例线段

等积或比例线段，多种途径可以证。 证等积要改等比，对照图形看特征。 共点共线线相交，平行截比把题证。 三点定型十分像，想法来把相似证。 图形明显不相似，等线段比替换证。 换后结论能成立，原来命题即得证。 实在不行用面积，射影角分线也成。 只要学习肯登攀，手脑并用无不胜。 19 解无理方程

一无一有各一边，两无也要放两边。 乘方根号无踪迹，方程可解无负担。 两无一有相对难，两次乘方也好办。 特殊情况去换元，得解验根是必然。 20 解分式方程

先约后乘公分母，整式方程转化出。 特殊情况可换元，去掉分母是出路。 求得解后要验根，原留增舍别含糊。

21 列方程解应用题

列方程解应用题，审设列解双检答。 审题弄清已未知，设元直间两办法。 列表画图造方程，解方程时守章法。 检验准且合题意，问求同一才作答。 22 添加辅助线

学习几何体会深，成败也许一线牵。 分散条件要集中，常要添加辅助线。 畏惧心理不要有，其次要把观念变。 熟能生巧有规律，真知灼见靠实践。 图中已知有中线，倍长中线把线连。 旋转构造全等形，等线段角可代换。 多条中线连中点，便可得到中位线。 倘若知角平分线，既可两边作垂线。 也可沿线去翻折，全等图形立呈现。 角分线若加垂线，等腰三角形可见。 角分线加平行线，等线段角位置变。 已知线段中垂线，连接两端等线段。 辅助线必画虚线，便与原图联系看。

23 两点间距离公式

同轴两点求距离，大减小数就为之。 与轴等距两个点，间距求法亦如此。 平面任意两个点，横纵标差先求值。 差方相加开平方，距离公式要牢记。 24.1 矩形的判定

任意一个四边形，三个直角成矩形； 对角线等互平分，四边形它是矩形。 已知平行四边形，一个直角叫矩形； 两对角线若相等，理所当然为矩形。 24.2 菱形的判定

任意一个四边形，四边相等成菱形； 四边形的对角线，垂直互分是菱形。 已知平行四边形，邻边相等叫菱形； 两对角线若垂直，顺理成章为菱形。

初中数学知识点归纳口诀（方案二）

1. 有理数的加法运算：

同号相加一边倒；

异号相加“大”减“小”，符号跟着大的跑； 绝对值相等“零”正好。

【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。

2. 合并同类项：

合并同类项，法则不能忘。

只求系数和，字母、指数不变样。

3. 去、添括号法则：

去括号、添括号，关键看符号。

括号前面是正号，去、添括号不变号； 括号前面是负号，去、添括号都变号。

4. 一元一次方程:

已知未知要分离，分离方法就是移。 加减移项要变号，乘除移了要颠倒。

5. 恒等变换：

两个数字来相减，互换位置最常见。

正负只看其指数，奇数变号偶不变。

【注】（a-b）2n+1

=-（b - a）2n+1（a-b）2n

=（b - a）2n

6. 平方差公式:

平方差公式有两项，符号相反切记牢。

首加尾乘首减尾，莫与完全公式相混淆。

7. 完全平方:

完全平方有三项，首尾符号是同乡，

首平方、尾平方，首尾二倍放中央；

首〒尾括号带平方，尾项符号随中央。

8. 因式分解：

一提（公因式）二套（公式）三分组，细看几项不离谱。

两项只用平方差；

三项十字相乘法，阵法熟练不马虎；

四项仔细看清楚，若有三个平方数（项），就用一三来分组，否则二二去分组； 五项、六项更多项，二三、三三试分组；

以上若都行不通，拆项、添项看清楚。

9. “代入”口决：

挖去字母换上数（式），数字、字母都保留；

换上分数或负数，给它带上小括弧，

原括弧内出（现）括弧，逐级向下变括弧（小—中—大）。

10. 单项式运算：

加、减，乘、除，乘、开方，三级运算分得清。

系数进行同级（运）算，指数运算降级（进）行。

11. 一元一次不等式解题的一般步骤：

去分母、去括号，移项时候要变号；

同类项、合并好，再把系数来除掉；

两边除（以）负数时，不等号改向别忘了。

12. 一元一次不等式组的解集：

大大取较大，小小取较小；

小大，大小取中间；

大小,小大无处找。

13. 一元二次不等式、一元一次绝对值不等式的解集：

大(鱼)于(吃)取两边,小(鱼)于(吃)取中间。

14. 分式混合运算法则：

分式四则运算，顺序乘除加减，乘除同级运算，除法符号须变（乘）；乘法进行化简，因式分解在先，分子分母相约，然后再行运算；

加减分母需同，分母化积关键；

找出最简公分母，通分不是很难；

变号必须两处，结果要求最简。

15. 分式方程的解法步骤：

同乘最简公分母，化成整式写清楚，

求得解后须验根，原（根）留、增（根）舍别含糊。

16. 最简根式的条件：

最简根式三条件，

号内不把分母含，

幂指（数）根指（数）要互质，

幂指比根指小一点。

17. 特殊点坐标特征:

坐标平面点(x,y),横在前来纵在后；

(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-),四个象限分前后；

X轴上y为0,x为0在Y轴。

18. 象限角的平分线:

象限角的平分线,坐标特征有特点，

一、三横纵都相等,二、四横纵却相反。

19. 平行某轴的直线:

平行某轴的直线，点的坐标有讲究，

直线平行X轴,纵坐标相等横不同；

直线平行于Y轴,点的横坐标仍照旧。

20. 对称点坐标:

对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆， X轴对称y相反, Y轴对称,x前面添负号； 原点对称最好记,横纵坐标变符号。

21. 自变量的取值范围：

分式分母不为零，偶次根下负不行；

零次幂底数不为零，整式、奇次根全能行。

22. 函数图像的移动规律:

若把一次函数解析式写成y=k（x+0）+b，

二次函数的解析式写成y=a（x+h）2+k的形式， 则用下面后的口诀：

“左右平移在括号,上下平移在末稍,

左正右负须牢记,上正下负错不了”。

23. 一次函数图像与性质口诀:

一次函数是直线，图像经过仨象限；

正比例函数更简单,经过原点一直线；

两个系数k与b,作用之大莫小看，

k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,

k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；

k的绝对值越大,线离横轴就越远。

24. 二次函数图像与性质口诀:

二次函数抛物线，图象对称是关键；

开口、顶点和交点,它们确定图象限；

开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要,一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置, 符号反,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

25. 反比例函数图像与性质口诀:

反比例函数有特点,双曲线相背离的远;

k为正,图在一、三(象)限；k为负,图在二、四(象)限;

图在一、三函数减,两个分支分别减；图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾边。

26. 巧记三角函数定义：

初中所学的三角函数有正弦、余弦、正切、余切，它们实际是三角形边的比值，可以把两个字用／隔开，再用下面的一句话记定义：

一位不高明的厨子教徒弟杀鱼，说了这么一句话:

正对鱼磷(余邻)直刀切。

正：正弦或正切，对：对边即正是对；

余：余弦或余弦，邻：邻边即余是邻；切是直角边。

27. 三角函数的增减性：

正增余减

28. 特殊三角函数值记忆:

分母口诀：30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2，

30度、45度、60度的正切值、余切值的分母都是3，

分子口诀：“123，321，三九二十七”。

29. 平行四边形的判定：

要证平行四边形，两个条件才能行。

一证对边都相等；或证对边都平行；

一组对边也可以，必须相等且平行。

对角线，是个宝，互相平分“跑不了”；

对角相等也有用，“两组对角”才能成。

30. 梯形问题的辅助线：

移动梯形对角线，两腰之和成一线；

平行移动一条腰，两腰同在“△”现；

延长两腰交一点，“△”中有平行线；

作出梯形两高线，矩形显示在眼前；

已知腰上一中线，莫忘作出中位线。

31. 添加辅助线歌：

辅助线，怎么添？找出规律是关键。

题中若有角（平）分线，可向两边作垂线；

线段垂直平分线，引向两端把线连，三角形边两中点，连接则成中位线；三角形中有中线，延长中线翻一番。

32. 圆的证明歌：

圆的证明不算难，常把半径直径连；

有弦可作弦心距，它定垂直平分弦；

直径是圆最大弦，直圆周角立上边，它若垂直平分弦，垂径、射影响耳边；还有与圆有关角，勿忘相互有关联， 圆周、圆心、弦切角，细找关系把线连。同弧圆周角相等，证题用它最多见， 圆中若有弦切角，夹弧找到就好办；圆有内接四边形，对角互补记心间，外角等于内对角，四边形定内接圆；直角相对或共弦，试试加个辅助圆； 若是证题打转转，四点共圆可解难；

要想证明圆切线，垂直半径过外端，直线与圆有共点，证垂直来半径连，直线与圆未给点，需证半径作垂线；

四边形有内切圆，对边和等是条件；如果遇到圆与圆，弄清位置很关键，两圆相切作公切，两圆相交连公弦。

33. 圆中比例线段：

遇等积，改等比，横找竖找定相似；

不相似，别生气，等线等比来代替，

遇等比，改等积，引用射影和圆幂，

平行线，转比例，两端各自找联系。

34. 正多边形诀窍歌:

份相等分割圆，n值必须大于三， 依次连接各分点，内接正n边形在眼前。

经过分点做切线，切线相交n个点，n个交点做顶点，外切正n边形便出现。

正n边形很美观，它有内接，外切圆，内接、外切都唯一，两圆还是同心圆，它的图形轴对称，n条对称轴都过圆心点；如果n值为偶数，中心对称很方便；正n边形做计算，边心距、半径是关键，内切、外接圆半径，边心距、半径分别换，分成直角三角形2n个整，依此计算便简单。

35. 函数学习口决：

正比例函数是直线，图象一定过原点，k的正负是关键，决定直线的象限，负k经过二四限，x增大y在减，上下平移k不变，由引得到一次线，向上加b向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键；

反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y的顺序可交换；

二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，△的符号最简便，x轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。