我校06级高一数学第二课堂辅导总结

东莞中学数学组 胡佐华

得益于学校的大力支持和数学科组全体老师们的努力，我校数学第二课堂辅导多年来一直得以正常开展。在高一、高二阶段，每学期从第二周开始，与其他学科一样，数学第二课堂都有计划、有固定的学生、有指定的辅导教室正常地开展，为高三参加每年10月的全国高中数学联赛作了充分的准备，为培养高考中数学的高分学生打下了其实的基础。根据现在的课程体系，数学第二课堂辅导活动又被称为校本课程，在工作实践中，一直都是按同样的计划与目标来进行。近几年笔者有幸参加了高一高二阶段的数学第二课堂辅导工作，本文就对高一年级的数学第二课堂工作进行一些反思与总结。

首先，高一数学第二课堂辅导的目标定位与可行性。我校的高一学生中每年都有一部分在数学家竞赛方面有浓厚的兴趣,其中不乏在初中数学联赛中取得较好成绩的学生,有的同学在初中联赛中获得全国一、二等奖。这些同学上高中后仍对数学竞赛有浓厚兴趣，愿意在数学上投入精力，很多同学把在高中联赛取得全国奖作为自己在高中阶段学习的一个重要目标。从近几年的实践来看，正因为这些同学以这样的目标不断激励自己，他们在学习上才能克服很多困难，牺牲了大量休息时间。为拓宽自己的知识面，提高解题能力，他们在完成正常的学习任务外，钻研了很多数学竞赛辅导资料，凡到高三参加全国高中数学联赛的同学，他们都会钻研过这样辅导资料一至二套。对于参加辅导小组成员的选拔，从实践中来看，最好的是在全级自愿报名的基础上进行测试，将测试成绩、中考成绩、初中竞赛成绩综合起来进行选拔，较为合适。

鉴于以上分析，以在全国联赛中取得全国三等奖、二等奖作为我校数学第二课堂的努力目标是可行的。就目前的实际情况来看，在全国联赛中拿全国一等奖还有很大困难。这个目标在高一第二课堂活动开始就告知学生，让他们明确自己参加第二课堂活动的一个重要目的，为今后的认真学习提供动力。

其次，高一数学第二课堂辅导的内容计划与可行性。实际上参加高中数学联赛，学生的学习培养时间只有两年时间，根据现有的高中数学联赛大纲，联赛命题的知识内容和能力要求除了全部的高中教学内容外，还有初等数论、平面几何、运筹学、组合数学、图论等内容。因此，在这样有限的时间内要为联赛作好准备，必须作好有关内容的辅导计划。在高一阶段，理想情况是要完成一半以上的内容的学习，学生通过自学，学完全部高中教材内容。辅导时间方面除了平常每周一次的第二课堂辅导，还必须利用周末和两个假期进行集中辅导。辅导资料方面可以用一套作为主要参考，但老师要考虑系统性与深度要求，对一些内容作多本资料的综合，编印一些讲义与练习。在高一辅导阶段还必须考虑以下两个问题：其一是开始阶段学生的适应问题，特别以难度方面；其二是与现在课程标准教学内容协调问题。对于前一方面，与初中阶段相比，高中的教学要求、知识的深广度等方面都有相当的提高，尽管我校学生不乏在初中竞赛中的好手，仍然存在适应的问题。开始阶段不能把难度提香得太高，不然对学生的信心与辅导小组的稳定都会有一定影响。对于第二个问题，现在课程标准的教学内容讲究循环上升，螺旋式递进，这与我们第二课堂辅导具体条件难与一致，所以在很多内容上要作好辅导计划，保证在这样的短时间内，有关内容能够辅导完成。

高一辅导内容计划按时间可分为四个阶段来安排，以下内容安排是本届高一辅导中实际的安排情况。

第一阶段是高一上学期每周一次的第二课堂辅导。因式分解及应用、解不等式、集合、函数概念和性质、二次函数、指对数函数、图象与对称性。第二阶段是高一寒假，这个阶段安排学生开始自学高中教材内容，从寒假开始，争取到高一下学期结束时高中教材自学完成。第三阶段是高一下学期每周一次的第二课堂辅导，争取每周末再有一次集中辅导，利用这个阶段完成以下内容：立体几何部分，空间的位置关系、三垂线定理、空间的角、面积与体积；平面解析几何，直线和圆、直线系与圆系、含参数的直线与圆问题、圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、性质）；三角函数，三角变形、图象变换、

三角函数性质。第四个阶段是高一暑假，这个阶段可以安排学生用一本竞赛资料进行学习，布置一定的假期竞赛练习试卷。还可以到学校集中辅导一段时间，完成以下内容：余弦定理正弦定理、三角形中的恒等式、三角形中的不等式、三角换元、计数原理与排列组合问题、二项式定理、复数运算、初等数论，另一个主要内容安排的练习卷练习与讲评，包括外地的一些高一竞赛试卷、圆锥曲线高考题选讲、高中联赛题选讲等。

以上四个阶段的内容安排构成了高一阶段辅导内容的主体，这些计划要得以完成，必须充分调动学生的学习积极性，备课组老师相互协调。不然，象样的内容安排也难以完成。

第二篇：高一数学必修一、四总结

高一数学

必修一

一、集合

一、集合有关概念

1.   集合的含义

2.   集合的中元素的三个特性：

(1)元素的确定性如：世界上最高的山

(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}

(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

u  注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集  N*或 N+   整数集Z  有理数集Q  实数集R

1）列举法：{a,b,c……}

2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{xÎR| x-3>2} ,{x| x-3>2}

3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4）Venn图:

4、集合的分类：

(1)有限集   含有有限个元素的集合

(2)无限集   含有无限个元素的集合

(3)空集     不含任何元素的集合　　例：{x|x²=－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA

2．“相等”关系：A=B  (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设  A={x|x²-1=0}  B={-1,1}   “元素相同则两集合相等”

即：① 任何一个集合是它本身的子集。AÍA

②真子集:如果AÍB,且A¹ B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)

③如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC

④ 如果AÍB  同时 BÍA 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

u  有n个元素的集合，含有2ⁿ个子集，2^n-1个真子集

二、函数

1、函数定义域、值域求法综合

2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略

3、恒成立问题的求解策略

4、反函数的几种题型及方法

5、二次函数根的问题——一题多解

&指数函数y=a^x

a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q)

(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q)

(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q)

指数函数对称规律：

1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称

2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称

3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称

&对数函数y=loga^x

如果，且，，，那么：

1 ·＋；

2 －；

3   ．

注意：换底公式

  （，且；，且；）．

幂函数y=x^a(a属于R)

1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数．

2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；

（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．

方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。

2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。

即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．

3、函数零点的求法：

1 （代数法）求方程的实数根；

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

4、二次函数的零点：

二次函数．

（1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点．

三、平面向量

向量：既有大小，又有方向的量．

数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度．

零向量：长度为的向量．

单位向量：长度等于个单位的向量．

相等向量：长度相等且方向相同的向量

&向量的运算
加法运算
AB＋BC＝AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。
|a＋b|≤|a|＋|b|。
向量的加法满足所有的加法运算定律。

减法运算
与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)＝a，零向量的相反向量仍然是零向量。
（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b)。

数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|＝|λ||a|，当λ > 0时，λa的方向和a的方向相同，当λ < 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。
设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a = λ(μa)（2）(λ μ)a = λa μa（3）λ(a ± b) = λa ± λb（4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a)。

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

向量的数量积
已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作a?b，θ是a与b的夹角，|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。
a?b的几何意义：数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

四、三角函数

1、善于用“1“巧解题

2、三角问题的非三角化解题策略

3、三角函数有界性求最值解题方法

4、三角函数向量综合题例析

5、三角函数中的数学思想方法

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

必修四

角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．

第一象限角的集合为

第二象限角的集合为

第三象限角的集合为

第四象限角的集合为

终边在轴上的角的集合为

终边在轴上的角的集合为

终边在坐标轴上的角的集合为

3、与角终边相同的角的集合为

4、已知是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度．

口诀：奇变偶不变，符号看象限．

公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα

公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα

公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα

公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα

公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈Z)


其他三角函数知识：
同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα ?cotα＝1
sinα ?cscα＝1
cosα ?secα＝1
商的关系：
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
平方关系：
sin^2(α)＋cos^2(α)＝1
1＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1＋cot^2(α)＝csc^2(α)


两角和差公式
⒉两角和与差的三角函数公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ
tan（α＋β）＝——————
1－tanα ?tanβ

tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tanα ?tanβ


倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα
tan2α＝—————
1－tan^2(α)


半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosα
sin^2(α/2)＝—————
2

1＋cosα
cos^2(α/2)＝—————
2

1－cosα
tan^2(α/2)＝—————
1＋cosα


万能公式

⒌万能公式
2tan(α/2)
sinα＝——————
1＋tan^2(α/2)

1－tan^2(α/2)
cosα＝——————
1＋tan^2(α/2)

2tan(α/2)
tanα＝——————
1－tan^2(α/2)


和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式

α＋β α－β
sinα＋sinβ＝2sin—----?cos—---
2 2

α＋β α－β
sinα－sinβ＝2cos—----?sin—----
2 2

α＋β α－β
cosα＋cosβ＝2cos—-----?cos—-----
2 2

α＋β α－β
cosα－cosβ＝－2sin—-----?sin—-----
2 2

积化和差公式

⒏三角函数的积化和差公式
sinα ?cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
cosα ?sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]
cosα ?cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
sinα ?sinβ＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]