初中平面几何知识点汇总(一)

平面几何知识点汇总（一）

知识点一 相交线和平行线

1.定理与性质

对顶角的性质：对顶角相等。

2.垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

3.平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

4.平行线的性质：

性质1：两直线平行，同位角相等。

性质2：两直线平行，内错角相等。

性质3：两直线平行，同旁内角互补。

5.平行线的判定：

判定1：同位角相等，两直线平行。

判定2：内错角相等，两直线平行。

判定3：同旁内角相等，两直线平行。

知识点二 三角形

一、三角形相关概念

1．三角形的概念   由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形

要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．

2．三角形中的三种重要线段  

（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．

（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．

（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．

二、三角形三边关系定理

①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．

②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．

注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可

三、三角形的稳定性

    三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．

四、三角形的内角

结论1：三角形的内角和为180°．表示： 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°

结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．

注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角

如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）

②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．

如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．

五、三角形的外角

1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．

2．性质：

①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.

③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补

六、多边形

①多边形的对角线条对角线；②n边形的内角和为（n－2）×180°；③多边形的外角和为360°

知识点三 全等三角形

一、全等三角形

1、“全等”的理解   全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；

即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质

（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；

3、全等三角形的判定方法

（1）三边对应相等的两个三角形全等。（SSS）

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(ASA)

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS)

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS)

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL)

4、角平分线的性质及判定

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上

二、轴对称图形

（一）基本定义

1.轴对称图形

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴.折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.

2.线段的垂直平分线

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线

3.轴对称变换

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.

4.等腰三角形

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

5.等边三角形

三条边都相等的三角形叫做等边三角形.

（二）性质

1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.或者说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

2.线段垂直平分钱的性质

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

3.（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（x，-y）.

（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（-x，y）.

4.等腰三角形的性质

（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.

（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.

（4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.

（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。

（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.

5.等边三角形的性质

（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.

（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.

（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.

（三）有关判定

1.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.

3.三个角都相等的三角形是等边三角形.

4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

知识点四 勾股定理

1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

a²＋b²＝c². 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方

 

勾：直角三角形较短的直角边

股：直角三角形较长的直角边

弦：斜边

勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²＋b²＝c²，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a²＋b²＝c²的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。）

   *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13

3. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a²+b²=c² ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）

   其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

            （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。       

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：

（1）确定最大边（不妨设为c）；

（2）若c²＝a²＋b²，则△ABC是以∠C为直角的三角形；

若a²＋b²＜c²，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；

若a²＋b²＞c²，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）

4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：

    （1）已知直角三角形的两边求第三边。

    （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为的线段

6.勾股定理的证明

　勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法

知识点五 四边形   

一、基本定义

1．四边形的内角和与外角和定理：

（1）四边形的内角和等于360°；

（2）四边形的外角和等于360°.

2．多边形的内角和与外角和定理：

（1）n边形的内角和等于(n-2)180°；

（2）任意多边形的外角和等于360°.

3．平行四边形的性质：

因为ABCD是平行四边形Þ

4.平行四边形的判定：

.

5.矩形的性质：

因为ABCD是矩形Þ

6. 矩形的判定：

Þ四边形ABCD是矩形.

7．菱形的性质：

因为ABCD是菱形

Þ

8．菱形的判定：

Þ四边形四边形ABCD是菱形.

9．正方形的性质：

因为ABCD是正方形

Þ 

（1）      （2）（3）       

10．正方形的判定：

Þ四边形ABCD是正方形.

(4)∵ABCD是矩形

又∵AD=AB

∴四边形ABCD是正方形

11．等腰梯形的性质：

因为ABCD是等腰梯形Þ 

12．等腰梯形的判定：

Þ四边形ABCD是等腰梯形

                       (4)∵ABCD是梯形且AD∥BC

                           ∵AC=BD

∴ABCD四边形是等腰梯形

 

14．三角形中位线定理：

三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.

15．梯形中位线定理：

梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.

二  定理：中心对称的有关定理

1．关于中心对称的两个图形是全等形.

2．关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.

3．如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称.

三 公式：

1．S菱形 =（a、b为菱形的对角线 ,c为菱形的边长 ，h为c边上的高）

2．S平行四边形 =ah. （a为平行四边形的边，h为a上的高）

3．S梯形 =.（a、b为梯形的底，h为梯形的高,L为梯形的中位线）

四 常识：

1．若n是多边形的边数，则对角线条数公式是：.

2．如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系.

3．梯形中常见的辅助线：

知识点六 圆

1、圆的定义：

（１）在一个平面内线段ＯＡ绕它固定的一个端点Ｏ旋转一周，另一个端点Ａ随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点Ｏ叫做圆心，线段ＯＡ叫做半径。

（２）圆是所有点到定点Ｏ的距离等于定长ｒ的点的集合。

注意：确定一个圆有２个元素，一个是圆心，一个是半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。

２、和圆相关的概念：

（１）弦：连结圆上任意两点的线段；（弦不一定是直径，直径一定是弦，直径是圆中最长的弦）

（２）直径：经过圆心的弦；

（３）弧：圆上任意两点间的部分；（弧的度数等于这条弧所对的圆心角的度数，等于这条弧所对圆周角的两倍）

（４）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆；

（５）优弧：大于半圆的弧，用三个大写字母表示；

（６）劣弧：小于半圆的弧，用两个大写字母表示；

（７）弓形由弦及其所对的弧组成的图形；

（８）等圆：能够重合的两个圆；

（９）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧；

（１０）同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆；

（１１）圆心角：定点是圆心的角；

（１２）圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角；

（１３）弦心距：圆心到弦的距离。

注意：（１）直径等于半径的２倍；

　　（２）同圆或等圆的半径相等；

　　（３）等弧必须是同圆或等圆中的弧；

　　（４）弧长相等的弧不一定是等弧，但等弧的弧长必相等。

３、圆心角的定义及性质：

（１）圆心角的定义：

定点是圆心的角叫做圆心角。

（２）圆心角、弦、弧的有关定理：

①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；

②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么这两条弧所对的圆心角相等，所对的弦相等；

③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等，所对的弧相等。

4、圆周角的定义及性质：

（１）圆周角的定义：

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

注意：圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交，二者缺一不可；

圆周角和圆心角的①相同点：两边都和圆相交；②不同点：圆心角的顶点在圆心；圆周角的顶点在圆上。

（２）圆周角的性质：

①一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半；

②在同圆或等圆中，同弧（或等弧）所对的圆周角相等；

③在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；

④半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于９０°（直角）；

⑤９０°的圆周角所对的弦是圆的直径，所对的弧是半圆；

⑥如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

5、垂径定理与推理：

（１）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

注意：这个结论中涉及圆中不是直径的弦与直径所在直线的关系，如果圆的一条非直径的弦和一条直线满足以下五个条件中的任意两个，那么它一定满足其余三个：①直线过圆心；②直线垂直于弦；③直线平分弦；④直线平分弦所对的劣弧；⑤直线平分弦所对的优弧，也可简单地理解为“二推三”。

（２）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

6、圆的对称性：

（１）圆既是中心对称图形，又是轴对称图形。

注意：圆具有旋转不变性，有无数条对称轴。

（２）在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等。

注意：运用本知识时应注意其成立的条件：“在同圆或等圆中”，也可简单地理解为“一推三”。

７、点与圆的位置关系：

点与圆有三种位置关系：点在圆外、点在圆上、点在圆内。

设⊙Ｏ的半径为ｒ，点到圆心Ｏ的距离为ｄ，则有：

点在圆外?ｄ＞ｒ；

点在圆上?ｄ＝ｒ；

点在圆内?ｄ＜ｒ。

注意：可以根据点到圆心的距离与圆的半径的大小比较来确定点与圆的位置关系。

８、确定圆的条件：

过一个点可以作无数个圆；过两个点可以作无数个圆，这些圆的圆心在连接这两个点的线段的垂直平分线上；过在同一条直线上的三个点不能作圆；过不在同一直线上的三个点可确定一个圆。

９、三角形的外接圆及外心：

经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。

注意：（１）三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点；三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，任何三角形有且只有一个外接圆，任何一个圆有无数个内接三角形；

　　（２）锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆的半径等于斜边的一半；钝角三角形的外心在三角形的外部。

10、圆的内接四边形：

如果一个四边形的各个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。

定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

注意：圆的内接平行四边形是矩形；圆的内接梯形是等腰梯形。

11、直线与圆的位置关系：相交、相切、相离。

（１）直线和圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的割线；

（２）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点；

（３）直线和圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。

若⊙Ｏ的半径为ｒ，圆心Ｏ到直线ｌ的距离为ｄ，则直线与圆的位置关系、交点个数及ｄ与ｒ的数量关系如下表：

注意：可以根据圆心到直线的距离ｄ与圆的半径ｒ的大小比较来判定直线与圆的位置关系。

12、切线的判定与性质：

（１）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线必须满足两个条件：①经过半径的外端；②垂直于这条半径。两个条件缺一不可。

注意：在判定直线与圆相切时，若直线与圆的公共点已知，证题方法是“连半径，证垂直”；若直线与圆的公共点未知，证题方法是作垂线，证半径。这两种情况可概括为一句话：“有点连半径，无点作垂线”。

（２）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

推论：①经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；②经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

注意：圆的切线性质定理与它的两个推论涉及了一条直线的三条性质：①垂直于切线；②过圆心；③过切点。如果一条直线满足以上三个条件中的任意两个，那它一定满足另外一个条件，也可以简单地理解为“二推一”。

13、三角形的内切圆和内心：

（１）定义：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。

（２）性质：三角形的内心是三角形三内角的角平分线的交点，三角形的内心到三角形三边的距离相等。

注意：任意三角形有且只有一个内切圆，内心一定在三角形内，任意一个圆有无数个外切三角形；如果三角形三边长分别为ａ、ｂ、ｃ，内切圆半径为r，则三角形的面积Ｓ＝½（ａ＋ｂ＋ｃ）ｒ。

14、切线长定理：

（１）定义：在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

（２）定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

注意：圆的外切四边形的两组对边的和相等。

15、圆与圆的位置关系：

在平面内，两圆做相对运动，可以得到下面不同的位置关系：

（１）两圆外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部；

（２）两圆外切：两圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部；

（３）两圆相交：两圆有两个公共点；

（４）两圆内切：两圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的内部；

（５）两圆内含：两圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部；

（６）同心圆：两圆同心是两圆内含的一种特例。

１６、两圆的位置关系、数量关系及识别方法：

设两圆的半径分别为Ｒ和ｒ，圆心距（圆心之间的距离）为ｄ。

注意：（1）上表中，两圆内含时，如果ｄ＝０，则来那个圆同心，这是内含的一种特殊情况；

（２）上表中的形与数、数与数均可作等价转换；

（３）两圆公共点个数为０时要分内含与外离两种情况；两圆公共点个数为１时要分内切与外切两种情况。

17、两圆相交的性质：相交两圆的连心线垂直平方两圆的公共弦。

注意：在题目的已知条件中，若有“两圆相交”的条件时，常常作两圆的公共弦，通过公共弦使之出现同弧上的圆周角或构成圆内接四边形进而沟通两圆中角之间的关系。

18、两圆相切的性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。

注意：在题目已知条件中，若有“两圆相切”的条件时，经常过切点作两圆的公切线，这样通过弦切角沟通两圆中角之间的关系。

19、弧长的计算：

（１）圆周长公式：Ｃ＝２πＲ（Ｒ为圆的半径）

（２）弧长公式：ｌ＝2πRn/360°=πRn/180（ｎ为弧所对的圆心角度数，不带单位，Ｒ为圆的半径）

20、扇形面积的计算：

（１）扇形的定义：

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。

（２）圆的面积公式：Ｓ＝πＲ²（Ｒ为圆的半径）

（３）扇形的面积公式：Ｓ扇形＝（Ｒ为扇形所在圆的半径，ｌ为扇形的弧长）

注意：在运用扇形的面积公式时，应注意以下几点：

（１）公式中的ｎ与弧长公式中的ｎ一样，ｎ表示１°的圆心角的倍数，不带单位；

（２）扇形面积公式Ｓ扇形＝与内切圆中的三角形面积公式十分类似；

（３）根据扇形面积公式及弧长公式，已知Ｓ扇形、ｌ、ｎ、Ｒ四个量中的任意两个量都可以求出另外两个量。

21、圆锥的侧面积与全面积：

（１）圆锥的有关概念：

圆锥是由一个底面和一个侧面组成的。我们把圆锥底面圆周长上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。

（２）圆锥的侧面展开图：

沿着圆锥的母线可把圆锥的侧面展开，圆锥的侧面积展开图是扇形，这个扇形的半径等于圆锥的母线长，弧长等于圆锥底面圆的周长。

（３）圆锥的侧面积和全面积公式：

圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面圆的周长，半径为圆锥的一条母线长的扇形面积，其计算公式为：Ｓ侧＝；而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，其计算公式为：Ｓ全＝Ｓ侧＋Ｓ底＝πｒｌ＋πｒ²＝πｒ（ｌ＋ｒ）。

特别提醒：在计算圆锥的侧面积时，要注意各字母之间的对应关系，千万不可错把圆锥底面圆的半径等同于扇形半径或把圆锥母线长当做扇形的弧长。

22、圆柱的侧面展开图：

把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，展在一个平面上，即得到圆柱的侧面展开图，这个展开图是矩形，矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长，另一边是底面圆的周长。圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，圆柱的全面积等于侧面和两个底面圆的面积之和，即Ｓ侧＝２πＲｈ，Ｓ全＝Ｓ侧＋２Ｓ圆＝２πＲｈ＋２πＲ²＝２πＲ（Ｒ＋ｈ）。

23、正多边形的定义及有关概念：

（１）正多边形的定义：

各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。当ｎ≥３时，这个正多边形就叫做正ｎ边形。

（２）正多边形中的有关概念：

①正多边形的外接圆或内切圆的圆心叫做正多边形的中心；

②外接圆的半径叫做正多边形的半径；

③中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距；

④正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，每个中心角等于　　；

⑤任何一个正多边形的中心角都等于外角，等于　　；

⑥外接圆的半径叫做正多边形的半径，用Ｒ表示；

⑦内切圆的半径叫做正多边形的边心距，用ｒ表示。

24、正多边形和圆的关系：

把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。

　　　　　　弦相等　　　　　各边相等　　　　

弧相等→　　　　　　　　→　　　　　　　→　正多边形

　　　　　　圆周角相等　　　各角相等　　　　

25、正多边形的有关计算公式：

任意（正）多边形的面积公式：（ｒ表示内切圆的半径，ｌ表示内切圆的周长）

任意（正）多边形的内角和公式：（ｎ－２）×１８０°

任意正多边形的内角公式：

任意（正）多边形的对角线条数公式：

任意（正）多边形的外角和公式：３６０°

26、反证法的定义及步骤：

（１）反证法的定义：

不是直接从原题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所做的假设不成立，从儿童，原命题不成立，这种方法叫做反证法。

（２）反证法的步骤：①假设命题的结论不成立；②推出矛盾；③得出结论。