第五章 不定积分法

基本要求

1、正确理解原函数与不定积分的概念．

2、牢记基本积分公式．

3、牢固掌握并能熟练运用换元积分法与分部积分法．

重点与难点

    重点：原函数与不定积分的概念，基本积分公式，换元积分法与分部积分法．

    难点：换元积分法．

例题与例题分析

一、填空题

l、若为连续函数，且则             .

2、若，则               ．

3、若，而，则           .

4、已知是的一个原函数，则           .  

5、         .

6、设的一个原函数是，则          .

7、             .

8、            .

9、设，则         .

10、设是的一个原函数，则         .

二、单项选择题

1、若在（a，b）内连续，则在内（    ）

（A）必有导函数    （B）必有原函数 （C）必有界   （D）必有极值

2、若的一个原函数是，则（     ）

（A）  （B） （C）   （D）

3、下列各对函数中，是同一函数的原函数的是（     ）

（A）arctgx和arcctgx       （B）和

（C）和    （D）和

4、若，则下列各式中不成立的是（    ）

（A）           （B）

（C）         （D）

5、若（），则（   ）

（A）   （B） （C）   （D） 

6、若，则（   ）

（A）    （B）  （C）  （D）

7、设是的一个原函数，则（   ）

（A）        （B） 

（C）        （D）

8、如果函数在区间内连续，则在内的原函数（  ）

（A）有唯一的一个存在      （B）有有限多个存在

      （C）有无穷多个存在        （D）不一定存在

三、计算与证明题

1、计算下列不定积分

（1）       （2）    （3）

分析  计算不定积分首先考虑能否直接利用不定积分的运算性质和基本积分公式或经过恒等变形后应用基本积分公式计算积分。

2、计算下列不定积分

（l）     （2）    

分析  如果被积函数中出现复合函数，且此被积函数可以分解或经恒等变形凑成两个函数之积，其中一个函数是复合函数，另一个函数是其内层函数的导数，这时可用第一换元积分法（凑微分法）求此不定积分．

3、计算下列不定积分

（1）              （2）

分析  如果被积函数中含有无理函数时，通常采用第二类换元积分法，使用第二类换元积分法的基本思想方法是通过变量替换将根号去掉．

4、计算下列不定积分

（1）  （2）   （3）

5、已知的一个原函数是，求.

    

第六章 定积分及其应用

基本要求

1、领会定积分定义中所概括的解决实际问题的思想方法和步骤．

2、理解积分中值定理、变上限积分的求导定理、牛顿一莱布尼兹公式的意义和重要性，注意这些定理成立的条件．对这些定理与公式只要求用于计算，不要求用于理论探讨．

3、借助于已知的原函数，能熟练地运用定积分的性质和牛顿一莱布尼兹公式计算定积分的值．

4、能用元素法解一些比较简单的应用题．

重点与难点

重点：定积分的概念，定积分的中值定理，变上限积分的求导定理，牛顿一莱布尼兹公式．

难点：定积分的应用问题．

例题与例题分析

一、填空题

1、函数在闭区间上有界是定积分存在的      条件．

2、设函数在区间上连续，则至少存在一点c，使得等式    成立. 

3、比较两个定积分的大小，     .

4、=        .

5、       .

6、函数在[0，1]上的最大值为       .

7、由曲线，及围成的平面图形的面积    .

8、由曲线与直线围成的平面图形，绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积V=      .

9、当时，积分=     .

10、已知广义积分收敛，则     ．

二、单项选择题

1、设为连续函数，且，其中，则I的值（   ）

（A）依赖于   （B）仅依赖于  （C）仅依赖于s，t    （D）仅依赖于x, t

2、设，，，则（  ）

（A）    （B）    （C）  （D）   

3、=（   ）

（A）      （B）   （C）   （D）

4、已知，则      .

（A）1  （B）1/2     （C）3/2    （D）2

5、（   ）

（A） 0      （B）1/3  （C）  （D） 1/6

6、下面等式中不成立的是（  ）

（A）      （B）

（C）            （D）

7、由曲线与围成的平面图形绕x轴旋转所形成的旋转体体积（ ）

（A）       （B）  （C）  （D）

8、（    ）

（A）       （B）  （C）0  （D）

三、计算与证明题

1、求下列定积分

（1）      （2）

（3）设，求

注：使用牛顿-莱布尼兹公式时，要求原函数能求得出来。当被积函数出现偶次方根或带有绝对值，在去掉根号或绝对值符号时，要注意被积函数在所给积分区间内取值的正负号是否发生变化，如本例中第（2）小题的方法处理；当被积函数是分段函数时，利用定积分对积分区间具有可加性的性质，将定积分表示为几个积分之和，如本例中的第（3）题．

2、计算下列积分

（1）    （2）   （3）

分析：当积分区间是关于原点的对称区间时，首先要考虑被积函的奇偶性，或分项以后被积函数的奇偶性，如第（1）题。求无理函数的积分，基本的思想方法是通过变量替换将被积函数中的根号去掉．特别被积函数含有：、等根式，可采用三角函数置换法即可将根号去掉．而有些无理函数则可采用直接去根号的方法．

3、设在上连续，，令. 证明：在内只有一个实根。

4、证明：

5、求值，使曲线，（）与在点和处的法线所围成的平面图形的面积最小.

   

第二篇：不定积分的常用求法(定稿)

              

                   郑州大学毕业论文

题目：  不定积分的常用求法

指导老师：任国彪                职称：讲师

学生姓名：王嘉朋                  学号：20082100428

专    业：数学与应用数学（金融数学方向）

院    系：数     学     系

完成时间：20##年5月25日

                 20##年5月25日

                                 摘要

微积分是微分学与积分学的简称，微积分的创立是数学史上最重要的事情之一。不定积分的相关知识是微积分中重要的知识，掌握不定积分的求法是学好微积分的前提。另外，不定积分的求法和定积分的求法有一定的相关性，在求面积以及质量中也有一定的应用。但是不定积分的计算是数学分析中的难点之一。求不定积分的方法灵活多样，本文介绍了微分学的来源，创立以及发展历史。并且基于自己对不定积分的理解，通过实例对不定积分的求法进行了总结。

关键字：微积分，微分学，积分学，不定积分，求解方法。

Abstract: Calculus is short for differential calculus and integral calculus and its foundation is one of the most important events in math history. Relevant knowledge in indefinite integral is very significant in calculus learning. Grasping solutions to indefinite integral is the premise of leaning calculus well. Besides, there is correlation between solutions to indefinite integral and definite integral. Indefinite integral can be applied in obtaining area and mass. However，calculating indefinite integral is one of the most hardest parts in math analysis.

A variety of methods can be used in seeking indefinite integral. This paper introduced the origin of calculus, founding and developing history. Besides, through some examples based on understanding of indefinite integral，this paper also summarized solutions to indefinite integral.

Keywords: calculus; differential calculus; integral calculus; solutions

                    

                   目录：

一，前言。------------------------------------------------------4

二，不定积分基本原理--------------------------------------------6

（一） 原函数与不定积分-----------------------------------------6

（二）不定积分的基本性质----------------------------------------6

（三）基本积分公式----------------------------------------------6

三、不定积分求法的具体运用--------------------------------------7

（一）利用不定积分的定义来求不定积分。--------------------------7

（二）直接积分法求不定积分。------------------------------------7

（三）第一类换元积分法（凑微分法）------------------------------8

（四）第二类换元积分法------------------------------------------9

1，三角代换-------------------------------------------------10

2，倒代法---------------------------------------------------10

3，去根号法-------------------------------------------------11

（五），分部积分法-----------------------------------------------12

四、总结--------------------------------------------------------13

五、致谢--------------------------------------------------------14

六、参考文献----------------------------------------------------15

                        

                              一、前言

微积分是高等数学的一个主要内容，不定积分是微积分的重要部分，首先向大家阐述微积分的时代背景及其创立原因。

1.1、微积分的时代背景

微积分是微分学和积分学的简称。微积分的创立是数学史上最重要的事件之一。其基本思想源于古希腊的求积术，但直接原因是17世纪的科技问题。下面是当时有关微积分创作的研究项目。

（1）运动问题。已知物体移动的位置关于时间的函数关系式，求物体在任意时刻的速度或加速度；反之，已知物体的加速度关于时间的函数关系式，求任意时刻的速度与距离。因运动物体的速度与加速度时刻都在变化，瞬时速度的求法超出了常规数学的范围。抛射体＆行星的运动都属于此列。

（2）切线问题。17世纪许多数学家参与了透镜的设计。要研究光线通过透镜后的通道，必须知道射线射入透镜的角度，以便应用光的反射定律，这就需要求出光线在入射点的法线或切线。同时，运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向都是轨迹的切线方向。在当时，切线的定义与求法也都没有出现，对于复杂曲线求切线更是无从下手。

（3）极值问题。即求函数的最大值与最小值。例如求炮弹能获得最大射程的发射角，求行星离开太阳的最远距离等。17世纪初已有一些实际推测，但缺乏理论上严谨的证明。

（4）求积问题。包括求曲线的长度，曲线围成的面积，曲面围成的体积，物体的重心等，这些问题的研究都对科技的发展有重要的意义。穷竭法只对一些简单的面积和体积有效，但它却是微积分的萌芽，给了数学家创作微积分的灵感。

 1.2、微积分的早期工作

在数学史上，积分概念先于微分概念产生，积分是与某些面积、体积和弧长相联系的求和过程中发展起来的。后来数学家们对曲线作切线问题和函数的极大值、极小值问题的研究产生了微分。再往后人们才注意到：积分和微分彼此为逆运算而相互关联。

（1）极限概念。它是整个微积分学的基础。芝诺悖论就涉及极限的问题，例如二分说，追龟论等，穷竭法也使用了极限概念。

（2）穷竭法。最早，古希腊人在研究化圆为方时，提出一种将圆内接正多边形边数不断加倍逼近圆周的方法，后人认为这是穷竭法的最早形式。当多边形的边数不断加倍时，圆内接正多边形与圆周之间存在着空隙逐渐被“穷竭”了。公元前4世纪，就出现了“欧多克索斯原理”：设给定两个不相等的量，如果从其中较大的量减去比它的一半大的量，再从所余的量中减去比这余量的一半大的量 ，继续重复这一过程，必有某个余量将小于给定的较小的量。他利用这一原理建立建立了完善的穷竭法，求出了棱锥体积和圆锥体积。后来，穷竭法被欧几里得收入《几何原本》中，成为几何证明得一种方法。

（3）不可分原理。1635年，意大利数学家卡瓦列里建立了不可分原理。原理为：“两同高得立体，若在等高处的截面积恒相等，则它们的体积相等；如果截面积成定比，则它们的体积之比等于截面积之比。”基于此理论上，他用巧妙的几何方法求出若干曲边图形的面积，还证明了旋转体的表面积及体积公式等，极大程度上启发了微积分的创立。

（4）切线求法。1637年法国费马给出一种求切线的方法，与现代方法基本一致。费马还在文中讲述了求最大值和最小值的方法，确立了多项式方程代表的曲线上的极大点、极小点和拐点。他还将这一方法用在了如物体的重心、曲线的长度及旋转面的面积等各类问题的求法，并应用于光学问题研究，其工作被认为是“微积分新计算的第一发明人”。1670年，英国数学家巴罗应用几何方法对曲线进行计算，在求切线时提出了“微分三角形”概念。巴罗还使用了与费马同样的方法求曲线的切线，并且可能当时认识到了微分法是积分法的逆运算，是第一个如此认为的数学家。

1.3、微积分的创立

后来微积分的大量知识积累起来，但这些知识往往沉湎于细节，而且多用几何方法寻求严密的推理，忽略了新发展的解析几何。英国的牛顿和德国的莱布尼茨最终完成了微积分的创造，历时上对于谁先创造了微积分还有很大的争议，后来数学史统一认为两位数学家都死微积分的创作者。

（1）牛顿。据牛顿自述，他于1665年发明正流数术（即微分法），1666年建立反流数术（即积分法），1666年写出第一篇微积分论文《流数简述》，其中以速度形式引进了流数，使用无穷小瞬概念，建立了“微积分基本定理”,并讨论了正、反微分运算的各种应用。但到了1687年，牛顿的《自然哲学之数学原理》在伦敦出版，这才是他第一次公开表述了微积分方法。

（2）莱布尼茨。1673年阐述了特征三角形（即微分三角形）思想，并通过积分变换，得到平面曲线的面积公式。1675年10月，他使用了不定积分符号，用不定积分表示面积，还得到分部积分公式。1675-1676年他得到微积分基本定理，后来后来这一原理被称为“牛顿－莱布尼茨公式”。1677年他明确定义了dy为函数的微分，给出了dy的演算规则。1684年，莱布尼茨发表第一篇微积分论文。

                二、不定积分的基本原理

 2.1.原函数与不定积分

2.1.1． 定义 1 设函数y = f (x)在区间I 有定义，若

F '(x) = f (x), x∈ I ，则称F(x)是f (x)在I 的一个原函数.

定义 2 设F(x)是f (x)在I 的一个原函数，则称F(x) + c为的f (x)

不定积分，记作 ∫f (x)dx = F(x) + c

2.1.2不定积分的几何意义：

函数f (x)的原函数图形成为f (x)的积分曲线，此积分曲线为一族积分曲线，f (x)为积分曲线的斜率。

 2．2. 不定积分的基本性质

2.2.1．∫[αf (x) + βg(x)]dx =α ∫f (x)dx + β ∫g(x)dx

2.2.2．[∫f (x)dx]'= f (x), d ∫f (x)dx = f (x)

2.2.3．∫F'(x)dx = F(x) + c, ∫dF(x) = F(x) + c

2.3基本积分公式

2.3.1．∫0dx = c；

2.3.2.；

2.3.3;    

2.3.4.∫sin xdx = ?cos x + c；∫cos xdx = sin x + c；

2.3.5.

2.3.6.

2.3.7.

2.3.8.

2.3.9.

2.3.10.

三、不定积分求法的运用

3.1利用不定积分的定义来求不定积分。

具备知识：

定义，设F（x)是函数f(x)的一个原函数，则f(x)的全部原函数成为f(x)的不定积分，记做，即=F（x)+C（C为常数).

例题：

3.1.1，求不定积分

解：因为d=

所以 =ln(2+)+C.

由于积分和求导互为逆运算，所以它们有如下关系：

可以利用这些关系和不定积分的求法来求不定积分。

注意：利用不定积分的定义来求不定积分关键在于能够找到f(x)的一个原函数。

3.2直接积分法求不定积分。

具备知识：直接积分法求不定积分是经过适当的恒等变行，将被积函数化为基本积分公式中的几个被积函数的代数和，再利用基本积分公式和性质来求不定积分的方法。

例题：

3.2.1，求不定积分

解：原式=

3.2.2，求不定积分

解：原式

3.2.3，求不定积分

解：原式

注意：利用直接积分法的关键在于将被积函数恒等化为基本积分公式中的几个被积函数的代数和，要注意的是在恒等变化时不要犯错，以及基本积分公式要牢记，不要犯错。

3.3第一类换元积分法（凑微分法）

预备知识：

定理：（第一换元法）

设g(u)的原函数F（u),u=可导，则有换元公式

例题：

3.3.1，求不定积分

解：因为sinxdx=-dcosx,

所以原式=

（令u=cosx)

=

（将u=cosx代回）

=

3.3.2，求不定积分

解：被积函数可分解为和

所以=

=

=

3.3.3，求不定积分

解：原式=

=

（当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇次项去凑微分）

3.3.4求不定积分

解：

（当被积函数是三角函数的偶次幂时，常用半角公式降低幂次得方法计算）

注意：凑微分法就是把被积式子中的某一部分看成一个整体，而把被积式子凑成关于这个整体的积分公式。

注：常见的凑微分

∫f (cos x)sin xdx = ?∫f (cos x)d cos x

∫f (sin x) cos xdx = ∫f (sin x)d sin x

  3.4第二类换元积分法

预备知识：

定理：（第二类换元法）

设x=是单调，可导函数，且，又设具有原函数F（t）,则

其中（x)是x+(t）的反函数。

第二类换元法常用的换元技巧如下：

1，三角代换；

2，倒代法；

3.去根号法。

我们将在下面搭配着例题详细介绍这几种常用的换元技巧。

3.4.1，三角代换。

以三角式换去消去二次根式，一般这种方法称为三角代换法。

一般的，根据被积函数的根式类型，常用的变换如下：

（1）被积函数中含有，令x=asint或x=acost;

（2）被积函数中含有，令x=atant或x=acott;

（3）被积函数中含有，令x=asect或x=acsct

例题：

1，求不定积分

解：令x=asect,dx=asect,

;

所以原式

=

回代sect,tant,得

3.4.2，倒代法。

对于某些被积函数，若分母中含有因子时，可做倒代换，即令：，从而可得出积分。一般在当有理分式函数中分母的阶数较高时常使用。

例题

1，求不定积分

解：令，则

所以原式

=

3.4.3，去根号法。

（1）当被积函数中仅有一种简单根式时，可以令t等于该根式进行代换。

根式有理化是化简不定积分的常用方法。

例题：

1，求不定积分

解：令t=,即做变量代换，从而；

所以

2，求不定积分

解;令t=,即做变量代换，从而；

所以

（2）当被积函数中含有与时，可令t=；其中k为m,n的最小公倍数。

注意：第二类换元积分法的关键在于恰当的选取积分变量x作为新积分变量t的一个函数，并且具有反函数。

3.5.分步积分法

预备知识：

定理：设函数均具有连续导数，则由两个函数乘法的微分法则可得：

或者；

两边积分得：

称这个公式为分步积分公式。

例题：

1，求不定积分

解：令，

那么

；

2，求不定积分

解：利用分部积分法。有

注意：1，v要容易求得。

2，要比容易积出。

3，如果被积函数是幂函数和正（余）弦函数或者幂函数与指数函数的乘积，可以考虑分部积分法，并设幂函数为u，这样用一次分部积分就可以使得幂函数的幂次降低一次。

4，如果被积函数是幂函数和对数函数或者幂函数和反三角函数的乘积，可以考虑用分部积分法，并设对数函数或者反三角函数为u.

                        四、总结

     不定积分是微积分中重要的部分，不定积分的概念，性质，求法，以及应用在数学分析中有着至关重要的位置，也是微积分中的基础部分，所以掌握不定积分的求法是学习微积分的基础，不定积分的求法很多种，这里主要讲了利用定义求法、直接积分法、第一类换元积分法、第二类换元积分法、分步积分法五种最基本的方法，也是最常用的方法，遇到不定积分的题目时，应当先分析题目结构，然后选择最方便求解的方法。

本文的写作目的在于让大家了解积分的基本知识，认识到积分的学习不难，只要细心总结，认真学习基本知识，那么不定积分的求法就可以深刻的掌握，对高等数学可以从容应对。

在这篇论文的写作过程中，我感受到了知识的丢失和自己知识面的不足，不能系统全面得总结不定积分的知识。同时认识到即使是旧知识，只要细心总结，认真思考，都会有所收获，积分知识关键在于学习。

    由于时间以及个人的一些原因。本论文未能对不定积分的求法作深入的探讨，只考察了不定积分的基本性质和不定积分求法的五种方法，而且讨论主要介绍了计算方法的原理和简单实例，而且讨论较为粗浅。事实上，积分是高等数学必须掌握的基础知识，在现代科技中有大量的应用。也是深入研究数学的基础。

掌握不定积分的求法，对我们的工作和继续教育有重要意义。

 致谢：    

四年的读书生活在这个季节即将划上一个句号，而于我的人生却只是一个逗号，我将面对又一次征程的开始。四年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走得辛苦却也收获满囊，在论文即将付梓之际，思绪万千，心情久久不能平静。

伟人、名人为我所崇拜，可是我更急切地要把我的敬意和赞美献给一位平凡的人，我的导师， 任国彪老师。我不是您最出色的学生，而您却是我最尊敬的老师。您治学严谨，学识渊博，思想深邃，视野雄阔，为我营造了一种良好的精神氛围。授人以鱼不如授人以渔，置身其间，耳濡目染，潜移默化，使我不仅接受了全新的思想观念，树立了宏伟的学术目标，领会了基本的思考方式，恩师对我的论文倾注了大量的心血，从选题到提纲的拟定，从初稿、修改到最后定稿，每一个环节都得到了恩师悉心的指导和帮助

    同时，感谢郑州大学数学系的各位领导和老师，是他们的支持和帮助让我顺利完成学业。特别是李华老师、王永刚老师和赵大鹏老师，在此向他们对我在学业、生活和论文写作上的帮助表示深深的谢意。

最后，问候百忙之中抽出时间评阅我的毕业论文的老师及参加毕业论文答辩的老师，在此，向他们表示深深的谢意。

                  王嘉朋     

于20##年5月25号

参考文献

［1］复旦大学数学系欧阳光.数学分析（下）.高等教育出版社.2006，8.

［2］刘亚婷.求不定积分的几种方法.科教文化.1～3.

［3］高职数学中不定积分的几种求法及相应题型.教育战线.1～2

［4］有理函数的不定积分的求法. 湖南科技学院学报.1～5

［5］崔玮.浅谈高等数学中不定积分的求法.科技信息.2010，11.1～2