求不定积分的方法及技巧小汇总~

时间：2024.4.29

求不定积分的方法及技巧小汇总~

1.利用基本公式。（这就不多说了~）

2.第一类换元法。（凑微分）

设f(μ)具有原函数F(μ)。则

其中可微。

用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：

例1：

【解】

例2：

【解】

3.第二类换元法：

设是单调、可导的函数，并且具有原函数，则有换元公式

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：

4.分部积分法.

公式：

分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取时，通常基于以下两点考虑：

（1）降低多项式部分的系数

（2）简化被积函数的类型

举两个例子吧~！

例3：

【解】观察被积函数，选取变换,则

例4：

【解】

上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。

有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。

在中，的选取有下面简单的规律：

将以上规律化成一个图就是：

但是，当时，是无法求解的。

对于（3）情况，有两个通用公式：

（分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx的不定积分》中，常可以看到分部积分）

5.几种特殊类型函数的积分。

（1）有理函数的积分

有理函数先化为多项式和真分式之和，再把分解为若干个部分分式之和。（对各部分分式的处理可能会比较复杂。出现时，记得用递推公式：）

例5：

【解】

故不定积分求得。

（2）三角函数有理式的积分

万能公式：

的积分，但由于计算较烦，应尽量避免。

对于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成。再用待定系数来做。（注：没举例题并不代表不重要~）

（3）简单无理函数的积分

一般用第二类换元法中的那些变换形式。

像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现时，可令；同时出现时，可令；同时出现时，可令x=sint；同时出现时，可令x=cost等等。

第二篇：不定积分求解方法及技巧小汇总

不定积分求解方法及技巧小汇总

摘要：总结不定积分基本定义，性质和公式，求不定积分的几种基本方法和技巧，列举个别典型例子，运用技巧解题。

一．不定积分的概念与性质

定义1 如果F（x）是区间I上的可导函数，并且对任意的xI，有 F’(x)=f(x)dx则称F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数。

定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续，那么f(x)在区间I上一定有原函数，即存在可导函数F（x），使得F（x）=f(x)（xI）

简单的说就是，连续函数一定有原函数

定理2 设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，则

（1） F（x）+C也是f(x)在区间I上的原函数，其中C是任意函数；

（2） f(x)在I上的任意两个原函数之间只相差一个常数。

定义2 设F（x）是f(x)在区间I上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F（x）+C称为f(x)在区间I上的不定积分，记为f(x)d(x),即f(x)d(x)=F(x)+C

其中记号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x称为积分变量，C称为积分常数。

性质1 设函数f(x)和g(x)存在原函数，则[f(x)g(x)]dx=f(x)dxg(x)dx.

性质2 设函数f(x)存在原函数，k为非零常数，则kf(x)dx=kf(x)dx.

二．换元积分法的定理

如果不定积分g(x)dx不容易直接求出，但被积函数可分解为g(x)=f[(x)] ’(x).

做变量代换u=(x),并注意到‘（x）dx=d(x),则可将变量x的积分转化成变量u的积分，于是有g(x)dx=f[(x)] ’(x)dx=f(u)du.

如果f(u)du可以积出，则不定积分g(x)dx的计算问题就解决了，这就是第一类换元法。第一类换元法就是将复合函数的微分法反过来用来求不定积分。

定理1 设F(u)是f(u)的一个原函数，u=(x)可导，则有换元公式

f[(x)] ’(x)dx=f(u)du=F(u)+C=F[(x)]+C.

第一类换元法是通过变量代换u=(x),将积分f[(x) ’(x)dx化为f(u)du.但有些积分需要用到形如x=(t)的变量代换，将积分f(x)dx化为f[(t)] ’(t).在求出后一积分之后，再以x=(t)的反函数t=(X)带回去，这就是第二类换元法。即

f(x)dx={f[(t)] ’(t)dt}.

为了保证上式成立，除被积函数应存在原函数之外，还应有原函数t=（x）存在的条件，给出下面的定理。

定理2 设x=(t)是单调，可导的函数，并且‘（t）0.又设f[(t)] ’(t)具有原函数F（t）,则f(x)dx=f[(t)] ’(t)dt=F(t)+C=F[(x)]+C

其中（x）是x=（t）的反函数。

三．常用积分公式

1 基本积分公式

（1）kdx=kx+C(k是常数)；（2）xdx=+C(u-1);

（3）=ln+C；（4）=arctanx+C;

(5) =arcsinx+C; (6) cosxdx=sinx+C;

(7) sinxdx=-cosx+C ; (8) =secxdx=tanx+C;

(9) =cscxdx=-cotx+C; (10) secxtanxdx=secx+C;

(11) cscxcotxdx=-cscx+C; (12) edx= e+C;

(13) adx= e+C; (14) shxdx=chx+C;

(15) chxdx=shx+C. (16) tanxdx=-ln+C;

(17) cotxdx=ln+C; (18) secxdx=ln+C;

(19)cscxdx=ln+C; (20) =+C;

(21) =arcsin+C; (22) =ln(x++C;

(23) =ln+C.

2.凑微分基本类型

四．解不定积分的基本方法

四．求不定积分的方法及技巧小汇总~