《电动力学》知识点归纳及典型试题分析

《电动力学》知识点归纳及典型试题分析

一、试题结构

总共四个大题：

1．单选题（）：主要考察基本概念、基本原理和基本公式，及对它们的理解。

2．填空题（）：主要考察基本概念和基本公式。

3．简答题 ()：主要考察对基本理论的掌握和基本公式物理意义的理解。

4. 证明题 （）和计算题（）：考察能进行简单的计算和对基本常用的方程和原理进行证明。例如：证明泊松方程、电磁场的边界条件、亥姆霍兹方程、长度收缩公式等等；计算磁感强度、电场强度、能流密度、能量密度、波的穿透深度、波导的截止频率、空间一点的电势、矢势、以及相对论方面的内容等等。

二、知识点归纳

知识点1：一般情况下，电磁场的基本方程为：（此为麦克斯韦方程组）；在没有电荷和电流分布（）的自由空间（或均匀介质）的电磁场方程为：（齐次的麦克斯韦方程组）

知识点2：位移电流及与传导电流的区别。

答：我们知道恒定电流是闭合的：

          

在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有

 

现在我们考虑电流激发磁场的规律： 取两边散度，由于，因此上式只有当时才能成立。在非恒定情形下，一般有，因而式与电荷守恒定律发生矛盾。由于电荷守恒定律是精确的普遍规律，故应修改式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。

 把式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量，它和电流合起来构成闭合的量  并假设位移电流与电流一样产生磁效应，即把修改为  。此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。由电荷守恒定律

     电荷密度与电场散度有关系式  两式合起来得：与式比较可得的一个可能表示式

           

位移电流与传导电流有何区别：

   位移电流本质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。它说明，与磁场的变化会感应产生电场一样，电场的变化也必会感应产生磁场。而传导电流实际上是电荷的流动而产生的。

知识点3：电荷守恒定律的积分式和微分式，及恒定电流的连续性方程。

答：电荷守恒定律的积分式和微分式分别为：

恒定电流的连续性方程为：

知识点4：在有介质存在的电磁场中，极化强度矢量p和磁化强度矢量M各的定义方法；P与；M与j；E、D与p以及B、H与M的关系。

答：极化强度矢量p：由于存在两类电介质：一类介质分子的正电中心和负电中心不重和，没有电偶极矩。另一类介质分子的正负电中心不重和，有分子电偶极矩，但是由于分子热运动的无规性，在物理小体积内的平均电偶极矩为零，因而也没有宏观电偶极矩分布。在外场的作用下，前一类分子的正负电中心被拉开，后一类介质的分子电偶极矩平均有一定取向性，因此都出现宏观电偶极矩分布。而宏观电偶极矩分布用电极化强度矢量P描述，它等于物理小体积内的总电偶极矩与之比，为第i个分子的电偶极矩，求和符号表示对内所有分子求和。

磁化强度矢量M：

介质分子内的电子运动构成微观分子电流，由于分子电流取向的无规性，没有外场时一般不出现宏观电流分布。在外场作用下，分子电流出现有规则取向，形成宏观磁化电流密度。分子电流可以用磁偶极矩描述。把分子电流看作载有电流i的小线圈，线圈面积为a，则与分子电流相应的磁矩为：

 

介质磁化后，出现宏观磁偶极矩分布，用磁化强度M表示，它定义为物理小体积内的总磁偶极矩与之比，

   

知识点5：导体表面的边界条件。

答：理想导体表面的边界条件为：。它们可以形象地表述为：在导体表面上，电场线与界面正交，磁感应线与界面相切。

知识点6：在球坐标系中，若电势不依赖于方位角，这种情形下拉氏方程的通解。

答：拉氏方程在球坐标中的一般解为： 

式中为任意的常数，在具体的问题中由边界条件定出。为缔合勒让德函数。若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势不依赖于方位角，这球形下通解为：

  为勒让德函数，是任意常数，由边界条件确定。

知识点7：研究磁场时引入矢势A的根据；矢势A的意义。

答：引入矢势A的根据是：磁场的无源性。矢势A的意义为：它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。只有A的环量才有物理意义，而每点上的A（x）值没有直接的物理意义。

知识点8：平面时谐电磁波的定义及其性质；一般坐标系下平面电磁波的表达式。

答：平面时谐电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的形式。它是传播方向一定的电磁波，它的波阵面是垂直于传播方向的平面，也就是说在垂直于波的传播方向的平面上，相位等于常数。

平面时谐电磁波的性质：

（1）电磁波为横波，E和B都与传播方向垂直；

（2）E和B同相，振幅比为v；

（3  E和B互相垂直，E×B沿波矢k方向。

知识点9：电磁波在导体中和在介质中传播时存在的区别；电磁波在导体中的透射深度依赖的因素。

答：区别:（1）在真空和理想绝缘介质内部没有能量的损耗，电磁波可以无衰减地传播（在真空和理想绝缘介质内部）；（2）电磁波在导体中传播，由于导体内有自由电子，在电磁波电场作用下，自由电子运动形成传导电流，由电流产生的焦耳热使电磁波能量不断损耗。因此，在导体内部的电磁波是一种衰减波（在导体中）。在传播的过程中，电磁能量转化为热量。

电磁波在导体中的透射深度依赖于：电导率和频率。

知识点10：电磁场用矢势和标势表示的关系式。

答：电磁场用矢势和标势表示的关系式为：

知识点11：推迟势及达朗贝尔方程。

答：推迟势为：

达朗贝尔方程为：

知识点12：爱因斯坦建立狭义相对论的基本原理（或基本假设）是及其内容。

答：（1）相对性原理：所有的惯性参考系都是等价的。物理规律对于所有惯性参考系都可以表为相同的形式。也就是不论通过力学现象，还是电磁现象，或其他现象，都无法觉察出所处参考系的任何“绝对运动”。相对性原理是被大量实验事实所精确检验过的物理学基本原理。（2）光速不变原理：真空中的光速相对于任何惯性系沿任一方向恒为c，并与光源运动无关。

知识点13：相对论时空坐标变换公式（洛伦兹变换式）和速度变换公式。

答：坐标变换公式（洛伦兹变换式）： 洛伦兹反变换式：

速度变换公式：

知识点14：导出洛仑兹变换时，应用的基本原理及其附加假设；洛仑兹变换同伽利略变换二者的关系。

答：应用的基本原理为：变换的线性和间隔不变性。

基本假设为：光速不变原理（狭义相对论把一切惯性系中的光速都是c作为基本假设，这就是光速不变原理）、空间是均匀的并各向同性，时间是均匀的、运动的相对性。洛仑兹变换与伽利略变换二者的关系：伽利略变换是存在于经典力学中的一种变换关系，所涉及的速率都远小于光速。洛仑兹变换是存在于相对论力学中的一种变换关系，并假定涉及的速率等于光速。当惯性系（即物体）运动的速度时，洛伦兹变换就转化为伽利略变换，也就是说，若两个惯性系间的相对速率远小于光速，则它以伽利略变换为近似。

知识点15：四维力学矢量及其形式。

答：四维力学矢量为：（1）能量－动量四维矢量（或简称四维动量）：（2）速度矢量：（3）动量矢量：（4）四维电流密度矢量：（5）四维空间矢量：（6）四维势矢量：（7）反对称电磁场四维张量：（8）四维波矢量：

知识点16：事件的间隔：

答：以第一事件P为空时原点（0，0，0，0）;第二事件Q的空时坐标为：（x,y,z,t），这两事件的间隔为：

两事件的间隔可以取任何数值。在此区别三种情况：

（1）若两事件可以用光波联系，有r＝ct，因而（类光间隔）；

（2）若两事件可用低于光速的作用来联系，有，因而有（类时间隔）；（a）绝对未来；（b）绝对过去。

（3）若两事件的空间距离超过光波在时间t所能传播的距离，有，因而有（类空间隔）。

知识点17：导体的静电平衡条件及导体静电平衡时导体表面的边界条件。

答：导体的静电平衡条件：

（1）导体内部不带电，电荷只能分布在于导体表面上；

（2）导体内部电场为零；

（3）导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面。整个导体的电势相等。

导体静电平衡时导体表面的边界条件：

知识点18：势方程的简化。

答：采用两种应用最广的规范条件：

（1）    库仑规范：

     辅助条件为

（2）    洛伦兹规范：

辅助条件为：

例如：对于方程组：（适用于一般规范的方程组）。

若采用库仑规范，可得：；

若采用洛伦兹规范，可得：（此为达朗贝尔方程）。

知识点19：引入磁标势的条件。

答：条件为：该区域内的任何回路都不被电流所环绕，或者说，该区域是没有传导电流分布的单连通区域，用数学式表示为：

知识点20：动钟变慢：

  系中同地异时的两事件的时间间隔，即系中同一地点，先后（）发生的两事件的时间间隔在S系的观测：

称为固有时，它是最短的时间间隔，

知识点21：长度收缩（动尺缩短）

  尺相对于系静止，在系中观测在S系中观测即两端位置同时测定   

称为固有长度，固有长度最长，即。

知识点22：  电磁场边值关系（也称边界上的场方程）

知识点23：A－B效应

1959年Aharonov和Bohm提出一种后来被试验所证实的新效应（这简称A－B效应），同时A－B效应的存在说明磁场的物理效应不能完全用描述。

知识点24：电磁波的能量和能流

平面电磁波的能量为：

平面电磁波的能流密度为：

能量密度和能流密度的平均值为：

知识点25：波导中传播的波的特点：

电场E和磁场H不同时为横波。通常选一种波模为的波，称为横电波（TE）；

另一种波模为的波，称为横磁波（TM）。

知识点26：截止频率

①定义:能够在波导内传播的波的最低频率称为该波模的截止频率。

②计算公式: (m,n)型的截止频率为：；若a>b，则波有最低截止频率若管内为真空，此最低截止频率为，相应的截止波长为：（在波导中能够通过的最大波长为2a）

知识点27：相对论的实验基础:

①横向多普勒（Doppler）效应实验（证实相对论的运动时钟延缓效应）；

②高速运动粒子寿命的测定（证实时钟延缓效应）；

③携带原子钟的环球飞行实验（证实狭义相对论和广义相对论的时钟延缓总效应）；

④相对论质能关系和运动学的实验检验（对狭义相对论的实验验证）．

知识点28：静电场是有源无旋场：（此为微分表达式）

稳恒磁场是无源有旋场：（此为微分表达式）

知识点29：相对论速度变换式：其反变换式根据此式求。

知识点30：麦克斯韦方程组积分式和微分式，及建立此方程组依据的试验定律。

答：麦克斯韦方程组积分式为：

麦克斯韦方程组微分式为：

依据的试验定律为：静电场的高斯定理、静电场与涡旋电场的环路定理、磁场中的安培环路定理、磁场的高斯定理。

三、典型试题分析

1、         证明题：

1、试由毕奥－沙伐尔定律证明

证明：由式：又知：，因此    由  所以原式得证。

2、试由电磁场方程证明一般情况下电场的表示式

证：在一般的变化情况中，电场E的特性与静电场不同。电场E]一方面受到电荷的激发，另一方面也受到变化磁场的激发，后者所激发的电场是有旋的。因此在一般情况下，电场是有源和有旋的场，它不可能单独用一个标势来描述。在变化情况下电场与磁场发生直接联系，因而电场的表示式必然包含矢势A在内。得：，该式表示矢量是无旋场，因此它可以用标势描述，。因此，在一般情况下电场的表示式为：。即得证。

3、试由洛仑兹变换公式证明长度收缩公式。

答：用洛伦兹变换式求运动物体长度与该物体静止长度的关系。如图所示，设物体沿x轴方向运动，以固定于物体上的参考系为。若物体后端经过点（第一事件）与前端经过点（第二事件）相对于同时，则定义为上测得的物体长度。物体两端在上的坐标设为。在上点的坐标为，点的坐标为，两端分别经过和的时刻为。对这两事件分别应用洛伦兹变换式得 ，两式相减，计及，有 式中为上测得的物体长度（因为坐标是在上同时测得的），为上测得的物体静止长度。由于物体对静止，所以对测量时刻没有任何限制。由式得。

4、试由麦克斯韦方程组证明静电场与电势的关系

答：由于静电场的无旋性，得： 设为由的两条不同路径。合成闭合回路，因此 

即   因此，电荷由而只和两端点有关。把单位正电荷由电场E对它所作的功为：  这功定义为的电势差。若电场对电荷作了正功，则电势下降。由此，由这定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意义的。

   相距为的两点的电势差为 由于  因此，电场强度E等于电势的负梯度 

5、            试由恒定磁场方程证明矢势A的微分方程。

 答：已知恒定磁场方程（在均匀线性介质内），把得矢势A的微分方程 由矢量分析公式 若取A满足规范条件 ，得矢势A的微分方程

6、试由电场的边值关系证明势的边值关系

证：电场的边值关系为：，式可写为

   式中为由介质1指向介质2的法线。利用,可用标势将表为：

       

势的边值关系即得证。

7、试由静电场方程证明泊松方程。

 答：已知静电场方程为：并知道 在均匀各向同性线性介质中，，将（3）式代入（2）得 ，为自由电荷密度。于是得到静电势满足的基本微分方程，即泊松方程。

8、试由麦克斯韦方程证明电磁场波动方程。

答：麦克斯韦方程组 表明，变化的磁场可以激发电场，而变化的电场又可以激发磁场，因此，自然可以推论电磁场可以互相激发，形成电磁波。这个推论可以直接从麦克斯韦方程得到，在真空的无源区域，电荷密度和电流密度均为零，在这样的情形下，对麦克斯韦方程的第二个方程取旋度并利用第一个方程，得到 ，再把第四个方程对时间求导，得到 ，从上面两个方程消去，得到 。这就是标准的波动方程。对应的波的速度是

9、           试由麦克斯韦方程组证明电磁场的边界条件

解：

对于磁场B，把应用到边界上无限小的扁平圆柱高斯面上，重复以上推导可得：

   作跨过介质分界面的无限小狭长的矩形积分回路，矩形回路所在平面与界面垂直，矩形长边边长为，短边边长为。因为，作沿狭长矩形的E的路径积分。由于比小得多，当时，E沿积分为二级小量，忽略沿的路径积分，沿界面切线方向积分为： 即： 。可以用矢量形式表示为：

 式中t为沿着矩形长边的界面切线方向单位矢量。

 令矩形面法线方向单位矢量为，它与界面相切，显然有

将，则 ，利用混合积公式，改写式为：此式对任意都成立，因此  ，此式表示电场在分界面切线方向分量是连续的。

10、试由麦克斯韦方程组推导出亥姆霍兹方程

答：从时谐情形下的麦氏方程组推导亥姆霍兹方程。在一定的频率下，有，把时谐电磁波的电场和磁场方程：代入麦氏方程组 消去共同因子后得 在此注意一点。在的时谐电磁波情形下这组方程不是独立的。取第一式的散度，由于，因而，即得第四式。同样，由第二式可导出第三式。在此，在一定频率下，只有第一、二式是独立的，其他两式可由以上两式导出。

   取第一式旋度并用第二式得   由，上式变为 此为亥姆霍兹方程。

11、            试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电的情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流的情况下，导体内的电场线总是平行于导体表面。

证明：（1）导体在静电条件下达到静电平衡，所以导体内，而：

（2）导体中通过恒定的电流时，导体表面。

而：，。导体内电场方向和法线垂直，即平行于导体表面。

12、            设是满足洛伦兹规范的矢势和标势，现引入一矢量函数（赫兹矢量），若令

证明：满足洛伦兹规范，故有

 

2、         计算题：

1、真空中有一半径为接地导体球，距球心为 处有一点电荷Q，求空间各点的电势。

解：假设可以用球内一个假想点电荷来代替球面上感应电荷对空间电场的作用。由对称性，应在连线上。关键是能否选择的大小和位置使得球面上的条件使得满足？

   考虑到球面上任一点P。边界条件要求 式中r为Q到P的距离，因此对球面上任一点，应有  由图可看出，只要选的位置使

 设距球心为b，两三角形相似的条件为由（1）和（2）式求出 （3）和（4）式确定假想电荷的位置和大小。

  由和镜象电荷激发的总电场能够满足在导体面上的边界条件，因此是空间中电场的正确解答。球外任一点p的电势是： 式中r为由到P点的距离，为由到P点的距离，R为由球心O到P点的距离，

2、两金属小球分别带电荷和，它们之间的距离为，求小球的电荷（数值和符号）同步地作周期变化，这就是赫兹振子，试求赫兹振子的辐射能流，并讨论其特点。

解：可知赫兹振子激发的电磁场：（取球坐标原点在电荷分布区内，并以P方向为极轴，则可知B沿纬线上振荡，E沿径线上振荡。）。赫兹振子辐射的平均能流密度为：

因子表示赫兹振子辐射的角分布，即辐射的方向性。在的平面上辐射最强，而沿电偶极矩轴线方向没有辐射。

3、已知海水的  试计算频率 为50、和Hz的三种电磁波在海水中的透入深度。

解：取电磁波以垂直于海水表面的方式入射，透射深度

4、电荷Q均匀分布于半径为a 的球体内，求各点的电场强度，并由此直接计算电场的散度。

 解：作半径为r的球（与电荷球体同心）。由对称性，在球面上各点的电场强度有相同的数值E，并沿径向。当球面所围的总电荷为Q，由高斯定理得 

 因而   写成矢量式得 

若则球面所围电荷为：

应用高斯定理得：

由此得

现在计算电场的散度。当E应取式，在这区域，由直接计算可得 

   因而  

当E应取式，由直接计算得 

5、一半径为R的均匀带电球体，电荷体密度为，球内有一不带电的球形空腔，其半径为，偏心距离为 a，（）求腔内的电场。

解：这个带电系统可视为带正电的R球与带负电的的球的迭加而成。因此利用场的迭加原理得球形空腔的一点M之电场强度为： 

6、无穷大的平行板电容器内有两层介质，极板上面电荷密度为   求电场和束缚电荷分布。

解：由对称性可知电场沿垂直于平板的方向，把应用于下板与介质1界面上，因导体内场强为零，故得 同样把式应用到上板与介质2界面上得 由这两式得   束缚电荷分布于介质表面上。在两介质界面处，，由得

在介质1与下板分界处，由得

在介质2与上板分界处，

         

 容易验证，介质整体是电中性的。

7、截面为S ，长为的细介质棍，沿X轴放置，近端到原点的距离为b ，若极化强度为 ，沿X轴   。求：

（1）    求每端的束缚电荷面密度；（2）求棒内的束缚电荷体密度。（3）总束缚电荷。

解：（1）求在棍端  

（2）    求 由 

（3）    求 

8、两块接地的导体板间的夹角为，当板间放一点电荷q时，试用镜像法就的情形分别求其电势。

解：设点电荷q处于两导体面间一点，两导体面间夹角为，各象电荷处在以R为半径的圆周上，它们的位置可用旋转矢量表示，设q及其各个象电荷的位置矢为则有

        ，

1）

象电荷只有3个，各象电荷所处在的直角坐标为：

空间任意一点的电势

2)

象电荷只有5个。各象电荷所在处的直角坐标为：

各个r由相应的象电荷坐标确定。

9、在一平行板电容器的两板上加 的电压，若平板为圆形，半径为a，板间距离为d，试求

（1）、两板间的位移电流；

（2）、电容器内离轴r处的磁场强度；

（3）、电容器内的能流密度。

解：（1）

 （2）

（3）

10、静止长度为的车厢，以速度相对于地面S运行，车厢的后壁以速度为向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。

解：S系的观察者看到长度为的车厢以运动，又看到小球以追赶车厢。小球从后壁到前壁所需的时间为：

11、求无限长理想的螺线管的矢势 （设螺线管的半径为a，线圈匝数为n，通电电流为I）

解：分析：。

（1）当时，可得：

（2）当时，同理可得：

12、在大气中沿＋Z轴方向传播的线偏振平面波，其磁场强度的瞬时值表达式

  

（1）    求 。（2）写出的瞬时值表达式

解： ；

13、内外半径分别为a和b的球形电容器，加上的电压，且不大，故电场分布和静态情形相同，计算介质中位移电流密度及穿过半径R的球面的总位移电流。

解：位移电流密度为：

穿过半径R的球面的总位移电流为：

14、证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度的倍。

证：

即证明了均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度。

15、一根长为的细金属棒，铅直地竖立在桌上，设所在地点地磁场强度为H ，方向为南北，若金属棒自静止状态向东自由倒下，试求两端同时接触桌面的瞬间棒内的感生电动势，此时棒两端的电势哪端高？

解：金属棒倒下接触桌面时的角速度w由下式给出

      式中为棒的质量，I为棒绕端点的转动惯量（），g为重力加速度，代入得    ， 

棒接触桌面时的感生电动势为：

                  此时棒的A点电动势高。

16、点电荷q放在无限大的导体板前，相距为a，若q所在的半空间充满均匀的电介质，介质常数为，求介质中的电势、电场和导体面上的感生面电荷密度。

解：设象电荷位于尝试解为：

1）            求

设在导体板上，

此式对任何y、z都成立，故等式两边y、z的对应项系数应相等，

 

（2）求E  

（3）求

       

17、设有两根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度为，它们以相同速率相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于尺子，求站在一根尺上测量另一根尺的长度。

解：系观察到的速度

          测得的尺子长度是

 运动尺的收缩，只与相对运动的速度的绝对值有关，测得的尺子长度也是 。

18、两束电子作迎面相对运动，每束电子相对于实验室的速度，试求：（1）实验室中观察者观察到的两束电子之间的相对速度；

（2）    相对于一束电子静止的观察者观察的另一束电子的速度。

解：（1）实验室系统中，电子束相对速度为 0.9c+0.9c=1.8c,

(2) 相对于一束电子静止的系统中，相对速度代入 得：

19、设有一随时间变化的电场，试求它在电导率为，介电常数为的导体中，引起的传导电流和位移电流振幅之比，从而讨论在什么情况下，传导电流起主要作用，什么情况下位移电流其主要作用。

解：可知传导电流为：，位移电流为：。当时，传导电流起主要作用；当时，位移电流起主要作用。

20、已知矢势  ，求  ，若  ，  是否对应同一电磁场。

解：

21、电荷固定在球坐标的原点，另一电荷Z轴上运动，其方程，其中a、b均为常数，试求：

（1）    此电荷系统的电矩；

（2）    辐射场强；

（3）    辐射平均功率

解：（1）

（2）

（3）辐射功率P为：

22、矢势，其中为常数，它们对应着同一磁场，因此，求式中的标量函数。

解：

23、已知时变电磁场，试从电磁场方程求常数之间满足的关系。

解：一般情况下，电磁场的基本方程是麦克斯韦方程组：

由（1）式得：

24、有一带电粒子在原点附近作简谐振动，且 试求电偶极矩和辐射场。

解：实际上此带电粒子在原点附近作简谐振动构成一个简单的振荡电偶极子系统，这个系统的的电偶极矩为：

已知一般的振荡电偶极矩产生的辐射

若取球坐标原点在电荷分布区内，并以P方向为极轴，则可得，B沿纬线上振荡。有：

3、         填空题：

4、         选择题：