选修2-2 1.2.2 第1课时 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则 （一）
一、选择题
71－1，－处切线的倾斜角为( ) 1．曲线y＝x3－2在点?3?3
A．30°
C．135°
[答案] B
[解析] y′|x＝－1＝1，∴倾斜角为45°.
2．设f(x)＝1A．－ 6
7C．－ 6
[答案] B 1x －，则f′(1)等于( ) x 5B. 67D. 6
1 B．45° D．60°
3．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－3＝0
C．4x－y＋3＝0
[答案] A
[解析] ∵直线l的斜率为4，而y′＝4x3，由y′＝4得x＝1而x＝1时，y＝x4＝1，故直线l的方程为：y－1＝4(x－1)即4x－y－3＝0.
4．已知f(x)＝ax3＋9x2＋6x－7，若f′(－1)＝4，则a的值等于( )
19 3
10 3
[答案] B
[解析] ∵f′(x)＝3ax2＋18x＋6，
B．x＋4y－5＝0 D．x＋4y＋3＝0 16B. 313D. 3
16∴由f′(－1)＝4得，3a－18＋6＝4，即a. 3
∴选B.
15．已知物体的运动方程是s＝4－4t3＋16t2(t表示时间，s表示位移)，则瞬时速度为04
的时刻是( )
A．0秒、2秒或4秒
C．2秒、8秒或16秒
[答案] D
[解析] 显然瞬时速度v＝s′＝t3－12t2＋32t＝t(t2－12t＋32)，令v＝0可得t＝0,4,8.故选D.
6．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为( )
A．y＝x－1
C．y＝2x－2
[答案] A
[解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．
由题可知，点(1,0)在曲线y＝x3－2x＋1上，求导可得y′＝3x2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y＝x3－2x＋1的切线方程为y＝x－1，故选A.
7．若函数f(x)＝exsinx，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为( )
π 2
B．0 D．锐角 B．y＝－x－1 D．y＝－2x－2 B．0秒、2秒或16秒 D．0秒、4秒或8秒 C．钝角
[答案] C
π[解析] y′|x＝4＝(exsinx＋excosx)|x＝4＝e4(sin4＋cos4)2e4sin(4＋，故倾斜角为钝4
角，选C.
ππ－处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为 8．曲线y＝xsinx在点??22( )
π2 2
C．2π2
[答案] A
ππ－处的切线方程为y＝－x，所围成的三角形的面积为[解析] 曲线y＝xsinx在点??22 B．π2 1D.(2＋π)2 2
π2. 2
9．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2011(x)等于( )
A．sinx
C．cosx
[答案] D
[解析] f0(x)＝sinx，
f1(x)＝f0′(x)＝(sinx)′＝cosx，
f2(x)＝f1′(x)＝(cosx)′＝－sinx，
f3(x)＝f2′(x)＝(－sinx)′＝－cosx，
f4(x)＝f3′(x)＝(－cosx)′＝sinx，
∴4为最小正周期，∴f2011(x)＝f3(x)＝－cosx.故选D.
10．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足( )
A．f(x)＝g(x)
B．f(x)－g(x)为常数 D．f(x)＋g(x)为常数 B．－sinx D．－cosx C．f(x)＝g(x)＝0
[答案] B
[解析] 令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝0，∴F(x)为常数．
二、填空题
π?111．设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′??3?＝2a＝________，b＝________.
[答案] 0 －1
[解析] f′(x)＝2ax－bcosx，由条件知
－bcos0＝1????b＝－1??2π，∴. π1?a＝0a－bcos??32?3
12．设f(x)＝x3－3x2－9x＋1，则不等式f′(x)＜0的解集为________．
[答案] (－1,3)
[解析] f′(x)＝3x2－6x－9，由f′(x)＜0得3x2－6x－9＜0，∴x2－2x－3＜0，∴－1＜x＜3.
π113．曲线y＝cosx在点P??3，2处的切线的斜率为______．
[答案] 3 2
[解析] ∵y′＝(cosx)′＝－sinx，
π∴切线斜率k＝y′|x＝πsin. 323
14．已知函数f(x)＝ax＋bex图象上在点P(－1,2)处的切线与直线y＝－3x平行，则函数f(x)的解析式是____________．
51＋[答案] f(x)＝－x－ex1 22
[解析] 由题意可知，f′(x)|x＝－1＝－3，
∴a＋be1＝－3，又f(－1)＝2， －
51－∴－a＋be1＝2，解之得a＝－b＝－e， 22
51＋故f(x)＝－x－ex1. 22
三、解答题
15．求下列函数的导数：
111(1)y＝x(x2；(2)y＝x＋1)(－1)； xx1＋x1xxx(3)y＝sin4＋cos4；(4)y＝. 441－x1x
111x2＋＋＝x3＋1＋ [解析] (1)∵y＝x?xx?x
2∴y′
＝3x2－ x
xx (3)∵y＝sincos444
xxxxsin2cos2－2sin22 ＝?4?4441x11－cosx31＝12＝1x， 222244
1∴y′＝－sinx； 4
1x1－(1＋)2(1x)2
(4)∵y＝＋＋ 1－x1－x1x1＋＝2＋2x4－2， 1－x1－x
4－4(1－x)′4∴y′＝?1－x－2?′＝. ??(1－x)(1－x)
16．已知两条曲线y＝sinx、y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
[解析] 由于y＝sinx、y＝cosx，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，
∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为
若使两条切线互相垂直，必须cosx0·(－sinx0)＝－1，
即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的，
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
17．已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2.直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程．
2[解析] 设l与C1相切于点P(x1，x21)，与C2相切于点Q(x2，－(x2－2))．
对于C1：y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为y－x21＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x21.①
对于C2：y′＝－2(x－2)，与C2相切于点Q的切线方程为y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)，
即y＝－2(x2－2)x＋x22－4. ②
2∵两切线重合，∴2x1＝－2(x2－2)且－x21＝x2－4，
解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0.
∴直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.
18．求满足下列条件的函数f(x)：
(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0；
(2)f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
[解析] (1)设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)
则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c
由f(0)＝3，可知d＝3，由f′(0)＝0可知c＝0，
由f′(1)＝－3，f′(2)＝0
?f′(1)＝3a＋2b＝－3?可建立方程组?， ?f′(2)＝12a＋4b＝0?
??a＝1解得?， ?b＝－3?
所以f(x)＝x3－3x2＋3.
(2)由f′(x)是一次函数可知f(x)是二次函数，
则可设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)
f′(x)＝2ax＋b，
把f(x)和f′(x)代入方程，得
x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1 整理得(a－b)x2＋(b－2c)x＋c＝1 若想对任意x方程都成立，则需 a－b＝0???b－2c＝0
??c＝1 a＝2??解得?b＝2??c＝1，
所以f(x)＝2x2＋2x＋1.
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第二篇：高二数学选修1、3-2-1几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式
3.2.1几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式
一、选择题
1. 表示( )
A．曲线y＝x2的斜率
B．曲线y＝x2在点(1,1)处的斜率
C．曲线y＝－x2的斜率
D．曲线y＝－x2在(1，－1)处的斜率
[答案] B
[解析] 由导数的意义可知， 表示曲线y＝x2在点(1,1)处的斜率．
2．若y＝cos，则y′＝( )
A．－ B．－
C．0 D.
[答案] C
[解析] 常数函数的导数为0.
3．下列命题中正确的是( )
①若f′(x)＝cosx，则f(x)＝sinx
②若f′(x)＝0，则f(x)＝1
③若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx
A．① B．②
C．③ D．①②③
[答案] C
[解析] 当f(x)＝sinx＋1时，f′(x)＝cosx，
当f(x)＝2时，f′(x)＝0.
4．若y＝ln x，则其图象在x＝2处的切线斜率是( )
A．1 B．0
C．2 D.
[答案] D
[解析] ∵y′＝，∴y′|x＝2＝，故图象在x＝2处的切线斜率为.
5．已知直线y＝kx是y＝ln x的切线，则k的值为( )
A. B．－
C. D．－
[答案] C
[解析] y′＝＝k，∴x＝，切点坐标为，
又切点在曲线y＝lnx上，∴ln＝1，∴＝e，k＝.
6．已知函数f(x)＝x，则′＝( )
A．0 B.
C．1 D．－
[答案] A
[解析] ∵f＝，∴′＝0.
7．y＝在点A(1,1)处的切线方程是( )
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y＋2＝0 D．x－y－2＝0
[答案] A
[解析] ∵y′＝－，∴y′|x＝1＝－1.
∴y－1＝－1(x－1)，即x＋y－2＝0.
8．下列结论中正确的个数为( )
①y＝ln2，则y′＝ ②y＝，则y′|x＝3＝－ ③y＝2x，则y′＝2xln2 ④y＝log2x，则y′＝
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析] ①y＝ln2为常数，所以y′＝0，①错．
9．下列结论中不正确的是( )
A．若y＝0，则y′＝0
B．若y＝，则y′＝－
C．若y＝－，则y′＝－
D．若y＝3x3，则y′＝3x2
[答案] D
[解析] y′＝(3x3)′＝3×3·x3－1＝9x2.
10．若y＝sinx，则y′|x＝＝( )
A. B．－
C. D．－
[答案] A
二、填空题
11．曲线y＝lnx与x轴交点处的切线方程是__________．
[答案] y＝x－1
[解析] ∵曲线y＝lnx与x轴的交点为(1,0)
∴y′|x＝1＝1，切线的斜率为1，
所求切线方程为：y＝x－1.
12．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s＝，则质点在t＝32时的速度等于____________．
[答案]
13．在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________．
[答案] (2,1)
[解析] 设P(x0，y0)，
y′＝′＝(4x－2)′＝－8x－3，
∴tan135°＝－1＝－8x.
∴x0＝2，y0＝1.
14．y＝10x在(1,10)处切线的斜率为________．
[答案] 10ln10
[解析] y′＝10xln10，
∴y′|x＝1＝10ln10.
三、解答题
15．已知曲线C：y＝x3
(1)求曲线C上点(1,1)处的切线方程
(2)在(1)中的切线与曲线C是否还有其它公共点？
[解析] (1)∵y′＝3x2
∴切线斜率k＝3
∴切线方程y－1＝3(x－1)
即3x－y－2＝0
(2)由
∴(x－1)(x2＋x－2)＝0
∴x1＝1 x2＝－2
∴公共点为(1,1)及(－2，－8)
16．求下列函数的导数
(1)y＝lnx (2)y＝ (3)y＝
[答案] (1)y′＝(lnx)′＝
(2)y′＝(x－4)′＝－4·x－4－1＝－4·x－5＝－
17．已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
[解析] ∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)
则y′|x＝x0＝2x0，
又∵PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ，∴k＝2x0＝1，即x0＝.所以切点为M.
∴所求切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
18．求过曲线y＝sinx上的点P且与在这点处的切线垂直的直线方程．
[解析] ∵y＝sinx，
∴y′＝(sinx)′＝cosx.
∴经过这点的切线的斜率为，从而可知适合题意的直线的斜率为－.
∴由点斜式得适合题意的直线方程为
y－＝－(x－)，
即x＋y－－π＝0.