等比数列
一、基本概念与公式:
1、等比数列的定义;
2、等比数列的通项公式:
(1); (2) .(其中为首项、为第项,;
3、等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=n a1 (是关于n的正比例式);
当q≠1时,Sn== Sn=
三、有关等比数列的几个特殊结论
1、等比数列中,若,则
注意:由求时应注意什么?
时,;
时,.
2、等比数列中的任意“等距离”的项构成的数列仍为等比数列.
3、公比为的等比数列中的任意连续项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、
S4m - S3m、……(Sm≠0)仍为等比数列,公比为.
4、若与为两等比数列,则数列、、、
(,为常数)仍成等比数列.
5、若为等差数列,则 (c>0)是等比数列.
6、若为等比数列,则(c>0且c1) 是等差数列.
7、在等比数列中:
(1)若项数为,则
(2)若项数为,则
8、数列是公比不为1的等比数列数列前n项和Sn=
9、等比数列的判定方法
(1)、an=an-1·q(n≥2),q是不为零的常数,an-1≠0{an}是等比数列.
(2)、an2=an-1·an+1(n≥2, an-1,an,an+1≠0){an}是等比数列.
(3)、an=c·qn(c,q均是不为零的常数){an}是等比数列.
10、等比数列的前n项和的性质
(1)、若某数列前n项和公式为Sn=an-1(a≠0,±1),则{an}成等比数列.
(2)、若数列{an}是公比为q的等比数列,则Sn+m=Sn+qn·Sm.
(3)、在等比数列中,若项数为2n(n∈N*),则
(4)、Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列.
第二篇:高一数学知识点总结--必修5[1]
高中数学必修5知识点
第一章:解三角形
1、正弦定理:在中,、、分别为角、、的对边,为的外接圆的半径,则有.
2、正弦定理的变形公式:①,,;
②,,;(正弦定理的变形经常用在有三角函数的等式中)
③;
④.
3、三角形面积公式:.
4、余 定理:在中,有,,
.
5、余弦定理的推论:,,.
6、设、、是的角、、的对边,则:①若,则为直角三角形;
②若,则为锐角三角形;③若,则为钝角三角形.
第二章:数列
1、数列:按照一定顺序排列着的一列数.
2、数列的项:数列中的每一个数.
3、有穷数列:项数有限的数列.
4、无穷数列:项数无限的数列.
5、递增数列:从第2项起,每一项都不小于它的前一项的数列.
6、递减数列:从第2项起,每一项都不大于它的前一项的数列.
7、常数列:各项相等的数列.
8、摆动数列:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
9、数列的通项公式:表示数列的第项与序号之间的关系的公式.
10、数列的递推公式:表示任一项与它的前一项(或前几项)间的关系的公式.
11、如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这个常数称为等差数列的公差.
12、由三个数,,组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则称为与的等差中项.若,则称为与的等差中项.
13、若等差数列的首项是,公差是,则.
通项公式的变形:①;②;③;④;⑤.
14、若是等差数列,且(、、、),则;若是等差数列,且(、、),则;下角标成等差数列的项仍是等差数列;连续m项和构成的数列成等差数列。
15、等差数列的前项和的公式:①;②.
16、等差数列的前项和的性质:①若项数为,则,且,.②若项数为,则,且,(其中,).
17、如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这个常数称为等比数列的公比.
18、在与中间插入一个数,使,,成等比数列,则称为与的等比中项.若,则称为与的等比中项.
19、若等比数列的首项是,公比是,则.
20、通项公式的变形:①;②;③;④.
21、若是等比数列,且(、、、),则;若是等比数列,且(、、),则;下角标成等差数列的项仍是等比数列;连续m项和构成的数列成等比数列。
22、等比数列的前项和的公式:.
时,,即常数项与项系数互为相反数。
23、等比数列的前项和的性质:①若项数为,则.
②. ③,,成等比数列.
24、与的关系:
一些方法:
一、求通项公式的方法:
1、由数列的前几项求通项公式:待定系数法
①若相邻两项相减后为同一个常数设为,列两个方程求解;
②若相邻两项相减两次后为同一个常数设为,列三个方程求解;
③若相邻两项相减后相除后为同一个常数设为,q为相除后的常数,列两个方程求解;
2、由递推公式求通项公式:
①若化简后为形式,可用等差数列的通项公式代入求解;
②若化简后为形式,可用叠加法求解;
③若化简后为形式,可用等比数列的通项公式代入求解;
④若化简后为形式,则可化为,从而新数列是等比数列,用等比数列求解的通项公式,再反过来求原来那个。(其中是用待定系数法来求得)
3、由求和公式求通项公式:
① ② ③检验,若满足则为,不满足用分段函数写。
4、其他
(1)形式,便于求和,方法:迭加;
例如:
有:
(2)形式,同除以,构造倒数为等差数列;
例如:,则,即为以-2为公差的等差数列。
(3)形式,,方法:构造:为等比数列;
例如:,通过待定系数法求得:,即等比,公比为2。
(4)形式:构造:为等比数列;
(5)形式,同除,转化为上面的几种情况进行构造;
因为,则,若转化为(1)的方法,若不为1,转化为(3)的方法
二、等差数列的求和最值问题:(二次函数的配方法;通项公式求临界项法)
①若,则有最大值,当n=k时取到的最大值k满足
②若,则有最小值,当n=k时取到的最大值k满足
三、数列求和的方法:
①叠加法:倒序相加,具备等差数列的相关特点的,倒序之后和为定值;
②错位相减法:适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式,如:;
③分式时拆项累加相约法:适用于分式形式的通项公式,把一项拆成两个或多个的差的形式。如:,等;
④一项内含有多部分的拆开分别求和法:适用于通项中能分成两个或几个可以方便求和的部分,如:等;
四、综合性问题中
①等差数列中一些在加法和乘法中设一些数为类型,这样可以相加约掉,相乘为平方差;
②等比数列中一些在加法和乘法中设一些数为类型,这样可以相乘约掉。
第三章:不等式
1、;;.
比较两个数的大小可以用相减法;相除法;平方法;开方法;倒数法等等。
2、不等式的性质: ①;②;③;
④,;⑤;
⑥;⑦;
⑧.
3、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是的不等式.
4、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系:
5、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是的不等式.
6、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组.
7、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的和的取值构成有序数对,所有这样的有序数对构成的集合.
8、在平面直角坐标系中,已知直线,坐标平面内的点.
①若,,则点在直线的上方.
②若,,则点在直线的下方.
9、在平面直角坐标系中,已知直线.
①若,则表示直线上方的区域;表示直线下方的区域.
②若,则表示直线下方的区域;表示直线上方的区域.
10、线性约束条件:由,的不等式(或方程)组成的不等式组,是,的线性约束条件.
目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量,的解析式.
线性目标函数:目标函数为,的一次解析式.
线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题.
可行解:满足线性约束条件的解.
可行域:所有可行解组成的集合.
最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
11、设、是两个正数,则称为正数、的算术平均数,称为正数、的几何平均数.
12、均值不等式定理: 若,,则,即.
13、常用的基本不等式:
①;
②;
③;④.
14、极值定理:设、都为正数,则有
⑴若(和为定值),则当时,积取得最大值.
⑵若(积为定值),则当时,和取得最小值.