经济数学基础课程教学实施方案

为了落实教育部《关于开展“中央广播电视大学人才培养模式改革和开放教育试点”项目研究工作的通知》精神，按照电大高等财经专科培养目标和教育部面向２１世纪财经类课程教学内容改革的有关要求，积极进行中央电大金融专科开放教育工程的建设和实施，搞好经济数学基础课程教学与管理工作，保证教学质量，特提出以下实施意见。

一、课程的性质与任务

经济数学基础课程是广播电视大学经济与管理学科各专业学生的一门必修的重要基础课。它是为培养适应四个现代化需要的、符合社会主义市场经济要求的大专应用型经济管理人才服务的。

通过本课程的学习，使学生获得微积分、概率统计和线性代数的基本知识，培养学生的基本运算能力和用定性与定量相结合的方法处理经济问题的初步能力，并为学习财经科各专业的后继课程和今后工作需要打下必要的数学基础。

二、课程的目的与要求

通过本课程的学习，使学生对极限的思想和方法有初步认识，对具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系有初步的了解，培养辩证唯物主义观点；初步掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能，并受到运用变量数学方法解决简单实际问题的初步训练。

通过本课程的学习，使学生初步认识概率统计是研究随机现象数量规律性的学科，初步掌握有关的基本知识和处理随机现象的基本方法。

通过本课程的学习，使学生初步熟悉矩阵代数于实际的基本方法，培养学生的抽象思维、逻辑推理以及运算能力。

三、课程的教学内容

（一）预备知识,

数系、绝对值。一次方程、二次方程。数轴与直角坐标系。直线方程。一次、二次不等式及图示法。集合与区间。排列组合。

（二）一元函数微分学

1. 函数

函数概念，复合函数，初等函数，幂函数，多项式函数，指数函数和对数函数，三角函数 ，经济函数举例。

2．一元函数微分学

极限的定义，极限的四则运算，两个重要极限。连续函数的定义和四则运算，间断点。导数定义，微分定义，导数公式、微分公式。导数的四则运算法则，复合函数求导法则，隐函数求导数举例。二阶导数的概念及简单计算。

3. 导数应用

函数单调性判别，函数极值。导数在几何中的应用，导数在经济中的应用〔边际分析，需求弹性，平均成本最小，收入、利润最大〕。二元函数偏导数。

（三）一元函数积分学

1. 一元函数积分学

原函数概念。不定积分定义、性质，积分基本公式，直接积分法。定积分定义(用牛顿? ? 莱布尼兹公式作定义)、性质，曲线下的面积。无穷积分。第一换元积分法，分部积分法。

2.积分在经济中的应用

不定积分和定积分的经济应用? ? 成本，收入，利润。定积分在几何上的应用。微分方程的基本概念，可分离变量的微分方程与一阶线性微分方程求解举例。

（四）、概率论

1. 数据处理

总体、样本、均值、方差与标准差，加权平均数、几何平均数。直方图与频率密度曲线。

2. 随机事件与概率

概率概念与主要性质，随机事件及其简单运算，概率的加法公式和乘法公式，事件独立性，条件概率。

3．随机变量与数字特征

两类随机变量，二项分布、泊松分布、均匀分布和正态分布。期望与方差的概念，期望与方差的主要性质及计算。

（五）、矩阵代数

1. 矩阵

矩阵概念、特殊矩阵。矩阵的加法、数乘、乘法、转置和分块。逆矩阵的定义、性质，初等行变换法求逆矩阵。矩阵秩的概念，矩阵秩的求法。

2. 线性方程组

线性方程组的概念，消元法，线性方程组解的存在性初步讨论，解的存在性定理。线性方程组解的结构(用一般解表示)。矩阵代数应用举例。

四、课程建设目标设想

1.总体目标

课程组在教学设计专家、数量经济学家、数学家的指导下，高起点、高质量、全方位地进行教学媒体设计和教材编制，在体现电大远距离教育特点、适应以业余自学为主的开放教育形式上取得重要突破。

充分发挥全国电大的系统优势，加强课程建设速度。力争抢先一步，建设出适应社会主义市场经济发展，具有广泛的社会适应性的２１世纪“樊映川”式的多种媒体现代化教材。

2．学科体系上

严格按照教学大纲规定的教学内容和教学要求确定教材编制内容；

准确把握经济数学的定位，力争有权威经济专家和数学家的主持和指导，力求既保持学科体系的合理性及内容的逻辑连贯性，又不失经济概念的严谨无误，真正体现经济数学的特点。

3．教学设计上

应在教育专家的指导下，按照现代教学设计理论，结合电大远距离教学实际，进行本课程多种媒体教材一体化教学设计。

从开放办学的发展方向出发，针对电大学生成人业余学习的特点，贯彻“以学生为中心”的教学思想，合理、有效地分配和利用教学媒体，使每一媒体都真正成为“必需”或不可替代的“补充”。

注重媒体选择的合理性论证，各种媒体的编制设计应有尽可能详细、可行的实施方案。

五、教学措施及策略

1．教学媒体

主辅文字教材、音像教材、计算机课件三者密切配合, 配以适应电大学生学习特点、便于及时总结复习、查阅的速查卡。

文字教材突破传统的面授模式，在版式安排与工艺设计上充分考虑自学、助学作用。主辅教材密不可分的配合及计算机课件的有效补充，使学生的业余自学置身于更为主动和完善的教学环境之中，从而缩短教与学的客观距离。

音像教材与文字教材相对应, 亦分为音像主教材（中心内容录像）和音像辅教材（电视精讲，导引录音）。针对数学课程特点并考虑到资源的合理利用，录像教材采用集中系统讲授与重点精讲相结合的方式，便于提高学生的自学能力；录音教材则作为录像教材的辅助手段,扩展教学空间,引导学生掌握正确的学习方法, 抓住重点,提高学习（预习）效率,充分体现导学功能。 专题内容：强调数学在经济中的应用价值, 提高学生学习的兴趣,采用VCD 意在保留著名经济学家珍贵的影像资料，同时也利于扩大电视大学的社会影响。

计算机辅助教学课件（CAI课件）有助于提高学生做作业的兴趣，帮助学生复习、掌握基本概念和基本方法。

速查卡:主要根据学生学习的流动性特点,考虑到本课程学时少、知识点多、相对抽象、不易记忆和理解等特点而设计。重点将一些定义、经济含义、性质、定理、公式、方法等内容，用一文具卡（尺）形式通过研究其间的逻辑关系（如互为逆运算等）达到简化记忆、一举多得的便捷效果。

网站：建立该课程子网站，利用互联网的优势，在网上为学生的学习提供全方位的服务。

2．工艺设计

针对学生基础较差且水平不一的特点，教材工艺设计上，注意导学及各种教材间的配合及补充。

按照学生学习规律及本课程特点，文字教材用不同的印刷字体及符号，突出主要内容，并通过主教材章末与辅教材章首填空形式强化学生动手、思考及复习过程。

用页旁留白形式起到导学作用，通过留白处随时提问及附注提示其它媒体参考资料等方法，帮助学生积极思考、扩大视野、充分利用多种媒体教材。

3．体系安排

在文字辅教材中，“跟我学解题”的三段式安排, 充分体现“跟我学”导学功能，通过三段不同层次的讲解、练习，使学生逐步掌握教学大纲规定的基本内容，达到教学目标规定的基本要求，同时巧妙地避免了以往教材同类例题多次重复的现象。

4．主要策略

由于本课程建设的目标是建成“ 樊映川式” 的经济数学教材，最终为各类高校经济类学生选用，故文字教材（及速查卡）欲逐步建成大专用、专升本用、本科用三个层次，逐步推向社会，但起初还是立足于电大系统创出牌子，再依序向高教自考──社会成人高校──普通高校发展。 为达到逐步推向社会的目的，在工艺设计上，特意设计成主教材的易改版式，使之经过简单改版后成为易于社会其它高校接受的教材版式。

六、教学环节

本课程的教学将采用多种媒体、多种方式进行，使学生通过多种方法获得知识和技能。

1.电视课与录音课

电视课与录音课是本课程的重要教学环节，是学生获得本课程知识的主要教学方式之一。有条件的地方应尽量多组织学生收看电视课，要求学生在收看电视课之前，能及时收听录音课，以保证学生有重点地学习，较系统地掌握本课程的内容。

2.教学辅导与自学

采用现代教育技术（如VBI技术），加强对个体自主学习本课程学生教学辅导。

面授辅导(包括习题课)是电大的重要教学方式之一，由于电大是远距离教育，面授辅导是学生接触老师、获得疑难解答的重要途径。

面授辅导课要服务于电视课，要紧密配合电视课和教材，依据教学大纲进行辅导讲解。要注意运用启发式，采用讲解、讨论、答疑等方式，通过解题思路分析和基本方法训练，培养学生基本运算的能力和分析问题、解决问题的能力。

辅导教师要钻研教学大纲、教材，收看电视课，认真备课，批改作业。辅导课的学时数以本课程的课内学时数的二分之一左右为宜。

自学是电大学生获得知识的另一种重要方式，自学能力的培养也是大学教育的目的之一。无论电视课，还是辅导课，都要注意对学生自学能力的培养，学生自己更应重视自学和自学能力的培养。

各市、地电大的视听教室或视听阅览室中必须配备“经济数学基础”课程的录像教材和录音教材，保证学生可以随时学习，自己安排时间学习。

各市、地电大的多媒体教室或多媒体阅览室中必须配备“经济数学基础”课程的CAI课件《跟我学经济数学》，保证学生学习中使用。

金融专科开放试点的学生必须人手一册“经济数学基础”速查卡。

金融专科开放试点“经济数学基础”课程的任课教师必须熟悉“经济数学基础”多种媒体教材，并有责任向学生推荐和介绍多种媒体教材及其使用方法。任课教师必须掌握CAI课件并能够利用CAI进行教学辅导。

3. 教学研讨

为确保本课程教学活动正常有效地开展，保证课程的教学质量，组织由开设本课程的地方电大教师参加的教学研讨培训会，提高大家对本科开放教育意义的认识，布置课程的教学任务，研究落实课程实施方案。

成立系统内大教研室，经常开展教研活动，搞好课程的教学评估工作，不断提高教学质量。

4.平时作业

(1)作业要求

独立完成作业是学好本课程的重要手段。作业题目应根据教学基本要求精选，份量要适度，由易到难。由于教学时数所限，本课程的理论推证较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各种公式的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。

每学期学生必须完成8次以上的课程作业。中央电大和省市大将对规定的作业的完成情况进行检查。任课教师必须认真批阅学生作业，并根据作业完成的情况对作业进行评分，给出平时作业成绩并计入学生期末总成绩。

（2）作业评分标准

学生必须按规定时间交作业，态度认真，字迹工整，抄写题目，解答题有解答过程。每次作业成绩按百分制计算，具体评分标准如下：

完成全部作业内容，得分80-100；

未完成全部作业内容，但完成全部作业内容的60%以上，得分60-79；

未完成全部作业内容，但完成部分占全部作业内容的60%以下，得分0-59；

抄袭作业按0分计算；

不按时交作业按0分计算。

平时作业最终成绩按平均值确定。

任课教师必须按时收取作业，对于规定的作业进行详批详改，公平公正评定成绩，并对学生的作业情况做详细记录。任课教师应将批改后的作业返还学生，学生对做错的题目应认真进行改正。

对不负责任，不按规定批改作业以至于批改作业送分的教师要进行通报批评直至取消该门课程的任教资格。

任课教师批改作业应记相应的教学工作量。

各省市电大须及时布置并检查学生作业的完成情况，并将检查结果进行通报。

（4）作业成绩的认定

经办学单位鉴定，报上级教学部门审定，验收合格后成绩有效。

各市、地级电大须在学期的第18周前对作业进行全部检查，并将作业成绩报送省电大。

5.考试

考试是对教与学的全面验收，是不可缺少的教学环节。

考试题目要全面，符合大纲要求，同时要做到体现重点，难度适中，题量适度，难度及题量的梯度应按照教学要求的三个不同层次安排，对未作具体教学要求的内容不作考试要求。 本课程的期末考试全国统一命题，统一评分标准，统一考试时间。

学生本课程的成绩由期末考试成绩和平时作业成绩两部分组成，其中期末考试成绩占80％，平时作业成绩占20％。

各地要严格考试纪律，统一把握评分标准，及时上报考试统计结果及分析报告。

电大教学处

20xx年2月25日 2

第二篇：经济数学基础复习教学指导

《经济数学基础》考核知识点及题型讲解

第一章 函数

一、求定义域

1. 基本初等函数的定义域

y?

y?tanf(x) ? f(x)?k??y?1f(x) ? f(x)?0f(x) ? f(x)?0y?lnf(x) ? f(x)?0?2(k?0,?1,?)y?cotf(x) ? f(x)?k? (k?0,?1,?)

2. 若一个函数式中同时出现以上的几种情形，则定义域取各个定义域的公共部分（交集）。

3. 分段函数的定义域取各段的并集。

例1. 设 f(x)?

1x?4?ln(x?1) ，求其定义域。?x?4?0?x??4??解：由 ?x?4?0 ? ?x??4 ? x?1 ?x?1?0?x?1?? 故定义域为：

x?1

?sinx , ?1?x?2 例2. 设 f(x)?? ，

?cosx , 2?x?3

则其定义域为： , ?1?x?3

例3. 设 f(x)?x ， g(x)?x?1 ，求 f?g(x)? 的定义域。 解： f?

g(x)??

二、求函数值 ?， 故定义域为：x?1

求 f(a) 1. 已知 y?f(x) ，

?f1(x) , x?D12. 已知 f(x)?? ，求 f(a)

?f2(x) , x?D2

3. 已知 f(g(x)) ， 求 f(x)22例1. 设 f(x)?x?2x?2 ， 求 f(x)解： 令 x2?t，则 x?t?2t于是 f(t)?t?2

因此 f(x)?x?2

例2. 设 f(x?1)?2xx?22?3x?1 ， 求 f(x)解： 令 x?1?t，则 x?t?1

于是 f(t)?2(t?1)2?3(t?1)?1

?2t

2?7t?62因此 f(x)?2x?7x?6

三、函数的奇偶性

另外，要求知道基本初等函数的奇偶性。 若 f(?x)?f(x) ，则 f(x) 为偶函数； 若 f(?x)??f(x) ，则 f(x) 为奇函数。

四、会将复合函数分解为基本初等函数的运算

例1. 将下列初等函数分解为基本初等函数的运算。

(1) y?ln(sin

(3) y?e

解： (1) y?

3tg(lnx)x2?1) (2) y?1?cosxtgx2lnu, u?sinv, v?w, w?x?12 (2) y?uvu, u?1?w2, w?cosx, v?tgt , t?x (3) y?e, u?3v, v?tgw, w?lnx

第二章 一元函数微分学

一、极限四则运算法则的条件和结论

lim 条件：

x?x0 f(x) ， limf(x) 同时存在。x?x0

结论： lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)x?x0x?x0x?x0

lim[f(x)g(x)]?limf(x)?limg(x)x?x0x?x0x?x0

若 lim

x?x0limc?f(x)?c?limf(x)x?x0x?x0limf(x)g(x)?x?x0limf(x)x?x0limg(x)(limg(x)?0)x?x0x?x0f(x) 存在， limg(x) 不存在，则 lim?f(x)?g(x)? 、x?x0x?x0 limf(x)g(x) 、 limx?x0f(x)g(x)x?x0 、是否存在？此时 lim?f(x)?g(x)? 一定不存在，而

x?x0 limf(x)g(x) x?x0 和 limf(x)

g(x)x?x0可能存在，也可能不存在。

1

例如 limx?0 ， lim?0(x?1)?1 ，则 x?0x 不存在， limx?0sinx

lim1

?0x?sinx?1 ，而 lim1

x?0x?(x?1) 不存在。

x

二、求极限的基本方法

1. 四则运算法则;

2. 无穷小量乘有界变量仍为无穷小量;

3. 对于 “0

0???”、“0??”型的极限，用初等变形

约去公因子；

4. 利用二个重要极限;

(1) limsinx?1 x?0x

套用条件： 1? 在某个极限过程下，属于“0 0 2? 分子等于分母取正弦，或分母等于分子取正弦 1

limx?1sin

例如

x?1

sin(x?1)?1 ， limx

x??1?1

x

limsin(lnx)

lnx?1x?1

(2) lim?11?x

?e

x?????x??

套用条件： 1? 在某个极限过程下，属于“1?”型；

2? 底数等于指数的倒数加 1 。

11

例如 limx?1

?1?x?x?e ， limx?ex?0x?1

?22x?1

limx?2??lim?12x?1

x????2x?1??x???1??2x?1??e??。

5. 求分段函数在分段点处的极限 (1) 先求该点处的左、右极限; (2) 用下面的充要条件进行判断:

11??

例1. lim(x?1)sin?sin(x?1) ?x?1?x?1x?1??

limf(x)?A ? lim?f(x)?lim?f(x)?A

x?x0

x?x0

x?x0

?lim(x?1)sin

x?1

1x?1

?lim

sin(x?1)x?1

x?1

?1

例2. lim

x?(x?2)

3x?1

22

x??

?lim

4x?43x?1

x??

?

43

例3. lim

x?5x?6x?x?2

2

2

x??2

?lim

(x?2)(x?3)(x?2)(x?1)

x??2

?lim

x?3x?1

x??2

??

13

例4. lim

x?2x?2x?1

2

lim(x?2)?

x?1

x?1

lim(x?2x?1)

x?1

2

?

?10

??

?错?

例5. lim

?

n??

?

?

2n?1?2n?1?

n?1 n?1

?

lim

n??

n2n?1?

1

2n?1n

2

??

2n?1?n?1

n?1

2n?1?

?

?lim

n??

n?1

?lim

n??

?

1n

?

1n

2

??

例7. lim1?xx22?1x?0?lim(1?x22?1)2x?0x(1?x?1)?lim11?xsin3x

2x

xxx?02??112323sin3x3x32 例8. x?0 ?例9. lim? x??

例10. limx?0

x?0lim?limx?0sin3x3x11??1???x????2x?0lim????1?x??limx??x?1e?1?x?2x?1x?lim?1?x?xx?01?2?lim?1?x?1x?1x?1?x?2?2x?0?lim?1?x??lim?1?x??e?1?ex?0?x , x?0 例11. 设 f(x)?? ,求limf(x)和limf(x)

x?0x?0 ?x?1 , x?0??

解： lim?f(x)?lim?x?0x?0x?0x?0lim?f(x)?lim?(x?1)?1x?0

三、关于函数的连续性

1. 判断分段函数在分段点的连续性

(1) 求出分段点 x0 的左右极限 lim?f(x) 和 lim?f(x)x?x0x?x0(2) 求出函数值 f(x0)(3) 判断：若 lim?f(x)?lim?f(x)?f(x0) ，则 f(x)x?x0x?x0 在 x0 处连续；否则间断。

2. 求函数的连续区间或间断点

(1) 初等函数的连续区间：即为其定义域；

(2) 分段函数的连续区间：

除了分段点需要讨论外，在定义域的其余部分 都是连续的。

?1

? ex, x?0? ?f(x)?例1．设 ? x , 0?x?1 ? ?sin2x, x?1 ??x

试讨论f(x)在点x = 0, x = 1处的连续性。

解：对于点x = 0 , f(0) = 0

?

1x?0lim?f(x)?lim?ex?0 ,x?0x?0lim?f(x)?lim?x?0x?0 ? limf(x)?0?f(0) x?0

因此f(x)在点x = 0处连续。

对于点x = 1，f(1)=1

sin2x ?limf(x)?limx?1 ,limf(x)?lim?sin2

x?1????x?1x?1x?1x

?limf(x) 不存在，故f(x)在点x = 1处间断。 x?1

四、导数的几何意义

f?(x) 函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数等于曲线

y = f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率。

例1. 求曲线 y?x3在点(?2,?8)处的切线方程。

22 解：y'?3x , y'(-2)?3?(-2)?12

因此所求切线方程为： y?(?8)?12[x?(?2)]

即 12x?y?16?0

五、函数在某一点可导、可微、连续、极限存在之间的关系

可导?可微?连续?极限存在反之未必。

六、求导方法

1. 基本求导公式（10个）

2. 导数的四则运算法则

3. 复合函数求导法则

4. 隐函数求导法则

5. 微分公式： dy?y?dx

dy6. 求导数值和微分值： y ?(x0)?y?x?x ，0x?x0?y?(x0)dx

例1. 设 y?lnsin3x, 求y'

例2. 设 y?1?ln2x, 求y'

22解：y'?1sin3x(sin3x)' ?1sin3x?3sin2x(sinx)' ?3ctgx

解:y'?

(1?ln2x)'21?ln2xln2x?12x2?2ln2x(ln2x)'21?ln2x22?2? ?ln2xx1?ln2x21?ln2x

例3. 设 y?

?xsin2xx?12, 求y'(?), [y(?4)]'解:y'?(xsin2x)'(x?1)?(xsin2x)(x?1)'(x?1)2222 ?(sin2x?xcos2x?2)(x?1)?(xsin2x)?2x(x?1)2222(sin2x?2xcos2x)(x?1)?2xsin2x(x?1)222因此 y'(?)?2?(?(?22?1)?0?1)2?2??2?1,而 [y(?4)]'?0

例4. 设 y?y(x) 由方程 yex?lny?1 确定 , 求 dy 。解：方程两边关于x求导，得

七、求高阶导数（显函数求二阶导数）

y'ex?ye?ye1?ye2x?1yy'?0xx解得 y'?因此 dy?y'dx??ye2xx1?yedx

第三章 导数应用

一、利用一阶导数判断函数在指定区间上的单调性

二、理解驻点、极值点、不可导点之间的关系

??可导?一定是驻点 ?定理3.2?极值点 ???不可导

这说明极值点不一定是驻点。反之驻点和不可导点 不一定是极值点，只是“可能极值点”。

三、掌握边际概念及弹性公式：

四、熟练掌握求经济分析中的最值问题的方法

例1. 函数 f(x)??6?3x?在区间 (?1 , 2) 内 。3 Ep?q'(p)q(p)?p ，其中 q?q(p) 为需求函数。

A. 单调增加 B. 单调减少 C. 不增不减 D. 有增有减

例2. f?(x0)?0 是函数 y?f(x) 在 x?x0 处取得极值的 。

。A. 必要条件 B. 充分条件2 C. 充要条件 D. 无关条件 例3. 设总成本函数 C(q)?3q?20q?15 ，则 q?8 时的边际成本为

A. 15 B. 47 C. 17 D. 28

例4. 设某商品的需求函数为 Q(p)?50?3p ，则需求弹性为

3p

50?3p D. ?3p

50?3p 。 A. ?3p B. 3p C.

例5.设生产某种产品q个单位的总成本函数为 C(q)?0.005q?0.2q?30q32

求：（1）使平均成本最小的产量；

（2）最小平均成本及相应的边际成本。

解： (1) C(q)?C(q)q2?0.005q?0.2q?30C'(q)?0.01q?0.2 令 C ' ( q ) ? 0 ，得唯一驻点 q?20因此由实际问题知，当产量为20个单位时， 平均成本最小。

(2)最小平均成本为: 2C(20)?0.005?20?0.2?20?30 ?28 相应的边际成本为： C'(20)?(0.015q?0.4q?30)2

q?20?28

例6. 已知生产某种彩电的总成本函数为

C(q)?2.2?10q?8?1037通过市场调查，预计这种彩电的年需求量为 5q?3.1?10?50p其中p（单位：元）是售价，q（单位：台）是需求量。 试求使利润最大的销售量和销售价格。

解： ?R(q)?pq?

3.1?10?q505?q?6200q?0.02q22?L(q)?R(q)?C(q) ?6200q?0.02q?(2200q?8?10) ?4000q?0.02q?8?10277 L'(q)?4000?0.04q,令 L '( q ) ? 0 ，得唯一驻点 q?105因此由实际问题可知，当销量q ? 10 台时利润最大， 此时的销售价格为: p?6.2?1035?0.02?105?4200(元/台)

第四章 一元函数积分学

一、理解原函数、导函数、不定积分之间的关系

1. 若 f(x) 是 g(x) 的一个原函数??g(x)dx?f(x)?C ? ? g(x) 是 f(x) 的导函数 ? f?(x)?g(x)

2. ??f(x)dx???f(x) , ?f?(x)dx?f(x)?C

二、求积分的方法

1. 熟练掌握基本积分公式及不定积分的性质；

2. 熟练掌握凑微分法；

3. 熟练掌握分部积分法；

4. 熟练掌握求定积分的牛顿 — 莱布尼兹公式。 例1. 若 f(x)dx?e2x?C ，则 f(x)??

A. 2xe2x B. 0.5e2x C. 2e2x D. e2x

例2. 若 f(x) 是 g(x) 的一个原函数，则 。 A. ?f(x)dx?g(x)?C B. ?g(x)dx?f(x)?C C.

?f?(x)dx?g(x)?C D. ?g?(x)dx?f(x)?C例3. 若 f(x) 的一个原函数是 cosx ，则 ?f?(x)dx ? 。 A. sinx?C B. cosx?C C. ?cosx?C D. ?sinx?C例4. ?3exxdx??x1?3??3???dx????C3e?e?ln??exx?3(ln3?1)ecosxx?C例5. ?1?sinx??1?sin1x(sinx)??1?sin1x(1?sinx) ?ln1?sinx?C?ln(1?sinx)?C

例7. ? 例8.

??2 ??

xln

2

例6. ?

1?1?

sindx???sind???cos?C2

xx?x?xx

111

lnxx

3

dx?

?

lnx d(lnx)?

3

14

lnx?C

4

?

e

ln

2

x

1

xx

dx?2?ln

1

e1

e

e

2

x dx

?

?

1

x d(ln

2

?

x) ??

e

?

?2? ?

e?

?

e

1

??

x?2lnx? dx??2?

x??

x?2

?

e?8

??

1

e?2?

e1

lnx

1

?

dx?x?

x d(lnx)

?

??

?2

e?8?lnx d

1

e

e

xlnx?

?

1

e

1

?2e?8e?8

?

例9. ?e

2x

1

x?

1x

dx??6

e?8?

e

1

x

dx

??6e?16x

e1

?10e?16

(1?e

2x

)dx?

4

12

?(1?e

25

2x

)d(e

42x

)

?1(1?e2x)4d(1?e2x)?1?1(1?e2x)5?C

?

2

?

(1?e

2x

)

5

10

?C

例10. 设 ?f(x) dx?lnx?C ，求 ?cosx?f(sinx) dx

?cosx?f(sinx) dx? ?f(sinx)d?sinx? 解：

?lnsinx?C

第五章 积分应用

一、利用定积分求平面图形的面积（由直线、抛物线围成）

) ? 0由定积分的几何意义知，当 f ( x ( x ? [a , b ]) 时，

?af(x)dxb, x ?表示由曲线 y ? f (

x ), y ? 0, x ? a b 所围成的 平面图形的面积。

我们可以这样来理解：

1. 将平面图形投影到 x 轴上, 则投影区间[a,b]就是定积分的积分 区间（确定积分的上、下限）

2. 被积函数为平面图形的上边函数减去下边函数，即

f(x)–0（确定被积函数）

例1. 求由曲线 y ? x 3 y ? x 所围平面图形的面积。 与

3?y?x?解：解方程组 ? 得交点坐标为(-1,-1)、(0,0)、(1,1) ??y?x

因此 A??0?1 (x?x)dx?03?10 (x?x)13?xx???????42??42?1?xx???????24??2401?11??11???????????2?42??24?

二、解一阶微分方程

1. 可分离变量的微分方程；

2. 一阶线性微分方程。

三、求经济分析中的最值问题（已知边际函数） 例1. 已知某商品每周生产 q 个单位时，总成本变化率 为 C?(q)?0.4q?8 ?元/单位?，固定成本为 300 元，求 总成本 C(q) 。如果该商品的销售单

解：C(q)?价是 30 元，求总位时才能获得最大利利润 L(q) ，并问每周生产多少单润？最大利润为多少？

??q0C?(q)dq?3002?q

0(0.4q?8)dq?300?0.2q?8q?300

L(q)?R(q)?C(q)?20q?(0.2q?8q?300)??0.2q?28q?300 L?(q)??0.4q?28令 L?(q)?0 ，得唯一驻点 q?70因此由实际问题知，当最大利润。最大利润为 L(70)??0.2?70222每周生产 70 个单位时才能获得?28?70?300?680（元） 例2. 已知某商品的边际成本为 C?(q)?1?2q ?万元/百台?， 边际收入 R?(q)?16?q ?万元/百台?，固定成本为 3 万元， 求： (1) 最大利润时的产量及最

(2) 若在最大利润的基础上

发生什么变化？大利润；再生产 300 台，总利润将 解： (1) L?(q)?R?(q)?C?(q)?15?3q

令 L?(q)?0 ，得唯一驻点 q?5 (百台）

产量为 500 台时利润最大， 因此由实际问题知，当

最大利润为： L(5)?

??50L?(q)dq?3??50(15?3q)dq?3?37.5 (万元) (2) ?L?L(8)?L(5)?8

5L?(q)dq??85(15?3q)dq??13.5 (万元)

13.5 万元。 因此总利润将减少

第六章 数据处理

掌握均值、加权平均数、中位数、众数、方差、标准差 这6个重要特征数的计算方法。

例1. 分别为 23, 25, 22, 35, 20, 24 的一组数据, 这组数 A . 22 据的中位数是 B. 23 ( C. 23.5 ). D. 24

x

1,x

(2 ，? , xin?i?1x?)2

例2. 是一组数据，则其标准差是

第七章 随机事件与概率

一、了解事件之间的运算关系

互斥：AB?φ 或 P(AB)?0

对立：AB?φ 且 A?B?U

独立：P(AB)?P(A)?P(B) 二、事件互斥、对立、独立的定义及它们之间的关系

三、会求古典概型问题

四、熟练掌握概率的加法公式和乘法公式 1. P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)2. P(A?B)?P(A)?P(B) (当 A，B 互斥时)

3. P(AB)?P(AB)?P(B)?P(BA)?P(A)

4. P(AB)?P(A)?P(B) (当 A，B 独立时)

5. 若事件 A 与 B 独立，则 A 与 B、 A 与 B、 A 与 B 也独立。 此时有 P(AB)?P(A) （P(B)?0）

（P(A)?0） P(BA)?P(B)

例1. 盒中有三个红球，两个白球，每次从中任取一球，求下列事件的概率: (1) 无放回地取两次, 两次都取到红球的概率；

(2) 无放回地取两次, 第一次取到白球, 第二次取到红球的概率； (3) 无放回地取两次, 一次取到白球, 一次取到红球的概率； (4) 有放回地取两次, 两次都取到红球的概率；

(5) 有放回地取两次, 第一次取到白球, 第二次取到红球的概率 (6) 有放回地取两次, 一次取到白球, 一次取到红球的概率； (7) 有放回地取两次, 至少有一次取到红球的概率。

解: 设 表示第 i 次取到的是红球，则

(3) P(A1A

2

(1) P(A1A

(2) P(A1A

?

310

?P(A1)P(A

(4) P(A1A

(5) P(A1A(6) P(A1A

?P(A1)P(A(7) P(A1?A ?1?

25?25?

2

A

i

2

)?

C3C5

2

2

?

310

A1)?

C2C5

11

2

)?P(A1)P(A?A1A

2

?

C3C4

1

1

?)310?

25

?

34

?

310

2

)?P(A1A A1)?

310)?

2

)?P(A1AC3C5

1

11

2

2

??

C2C4

1

1

1

?3525

?

35

?9

24

?

35

2

)?P(A1)P(A

C3C5C2C5

2

111

2

?

C3C5C3C5

111

?

3535

?

25625

2

)?P(A1)P(A?A1A

2

2

)????)

?

22

)?P(A1A

2

)?P(A1A25?35?35

2

)?P(A1)P(A

2

)??

25

?

1225)

)?1?P(A1A1925

)?1?P(A1)P(A

2

例2. 甲、乙、丙三人向同一目标射击，甲击中的概率是0.6， 乙击中的概率是0.7，丙击中的概率是0.8，三人独立进行射击， 求：（1）目标被击中的概率 P1 ；

（2）目标恰好被一人击中的概率P2 ； （3）目标没有被击中的概率P3 。

解：设 A1, A2 , A3 分别表示甲，乙，丙三

人击中目标的事件，

则 P(A1)?

0.6 ， P(A2)?0.7 ， P(A3)?0.8 ，于是

(1) P1?P(A1?A2?A3)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3) ?1?0.4?0.3?0.2?0.976

(2) P

2

?P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3)P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)

?

?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3) ?0.6?0.3?0.2?0.4?0.7?0.2?0.4?0.3?0.8?0.188

?P(A1A2A3)?1?P1?1?0.976?0.024

(3) P3

第八章 随机变量与数字特征

了解随机变量的概念，会求随机变量的数学期望与方差。

例1. 设随机变量 X 的概率密度函数为 0?x?1?2x ，

f(x)??

其它?0，

E(X)?

?x

k

k

pk X~pk

E(X)?

?

??

??

xf(x)dxX~f(x)

D(X)?E[X?E(X)]?E(X)?[E(X)]

222

求 E(X) 与 D(X) 。

解： E(X)?

2

?

1

x?2xdx?

23

x

3

10

?

23

? E(X)?

?

1

x?2xdx?

2

24

x

4

10

?

12

? D(X)?E(X)?[E(X)]?

22

12

?

49

?

118

第九章 矩阵

一、熟练掌握下列矩阵的运算及性质：

A?B、?A、AB、A

T

二、掌握对称矩阵和可逆矩阵的定义及性质

三、熟练掌握用初等行变换求矩阵的秩及逆矩阵的方法 四、会解矩阵方程 AX=B、XA=B

关于矩阵乘法的几点说

明：

1. 设矩阵 Am?s ，Br?n ，则当 s?r 时，Am?s?Br?n?(AB)m?n 当 s?r 时，Am?s?Br?n 无意义

?

例如 A3?2?B2?4?(AB)3?4 ，而 B2?4?A3?2 无意义， 这说明矩阵的乘法一般

不满足交换律

?

2. 即使 AB，BA 都有意义，也不一定有 AB?BA 。

例如 A3?2?B2?3?(AB)3?3 ，而 B2?3?A3?2?(BA)2?2 ，故 AB?BA 。

?3?-2?例1. 设矩阵A??7??2

?3?1?1?2

0022

7235

0??1

? ，求秩(A)2??3?

?3

?

?2? 解：A??7

??2

?3?1?1?20022022060220

0022

7235920

0??1??1?2?②??①????

?72?

??3??21??1

??30?④??②????

?0?5?

??1??01??1??40?④?(?3)??③

?????

?031?

??9??0

?4?1?1?2?4?3276?4?300

002202220226

923597

1?

?1?2??3?

1??4??5?

?1?1??4?4??9?

?1?

???????0

?

?0

②?①

③?①(?7)④?①(?2)

?4?9276?4?300?4?300

?60?1397319701

?60?139701

?1?③?②?9

0?②?2 ?④?????0? ?0

?1?0④?③(?3)?

??????0

??0

1?

?4

? ，故 秩(A)?44???3?

?0

例2. 设 A??1

????1

21?121?112?1120120

0012?11010

?1?

??12 ， 求 A.??1???12?12?1?1010

100010101?111

0101000?

?0?1???2??1?1???1121

?

?2?

?1?2??1??3

5???2?1?2??1??0??0?1??0??0?1??

?0

?

解： ?(AI)?1

????1?1?(①,②)

????0

????1?1?③?①

????0

???0?1?

????? 0

???0

②?③

①?③(?2)

???1

② ?

2

???? ?

???????

①?②(?1)

??????

????

10

100

110

001

0120

010

001

?

1

2120

?

2121

例3. 解矩阵方程 AX?B ，其中

??2?

A?1

?

??0

1?21

0??5

??1 ， B??2??

??2???11?21?211?2?31?210

12?21?2?4

01?210?2

010xxxxxxxxxxxx02010100?1?

?3?4??

0??(①,②)0?????1??

0??②?①?20?????1??

0?

(②,③)

?③?②?30?????1??

0?1

③?(?)

?41?????3??

? A

?1

?1

??

2?

1???2?

?0 ?

?

32121

?

5??2?1?2??1??

??2

? 解： ?(AI)?1

?

??0

?1 ??2

?? ?0

?1?

0 ?

??0

?1?

?

??0

??1

? ?0 ?

?

?0

?

?210

1?21

?

0014

10?12

?0??②?③?2

①?③(?1)

1???????3???4?3?4?1?①?②?2??????2?3??4??

?

?1

?

?0

?? 0??

?210

001

??141214?

32?1?12

?

?1

?

?0

?

?

0??

010

001

???

34

1214

12

?1?12

1???41???2?3??4??

? A

?1

?

???????????

?1

341214

?

12

?1?12

?1

1???4?3?11?????2

?2?4?3??1

?4??

B ， 得

242

1?

?2?3??

因此 由 AAX?A

?3

1??1

X?AB??2

?4??1

242

1??5

??2?2??3????1?1??12

1??

3??4??4

?4???47?

?18?17??

?

?无解?秩(A)?秩(A)

第十章 线性方程组

一、 会用高斯消元法求 AX = b 的一般解

消元法解线性方程组的主要步骤是：写出线性方程组的 增广矩阵，用初等行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵，若出现 0, ?, 0, d (d≠0) 行，则线性方程组无解；否则线性方程 组有解。有解时，进一步将阶梯形矩阵化为行简化阶梯形矩阵， 从中直接写出方程组的解。

例 1. 解线性方程组

?x1?2x2?x3?3? ?

(1) ?2x1?5x2?3x3??2 ????x1?3x2?43x?5

?1

?

解： (1) A?2

?

???1

25?3

?13?4

3??1

?

?2??0??

?5??0?

21?1

?15?5

3?

??8

?8??

?1

??0

???0

210

?150

3??1

?

?8??0

??

?0??0?

010

?1150

19?

??8

?0??

因此原方程组的一般解为：

??x1?19?11x3

(x3是自由元)?

??x2??8?5x3

二、 了解线性方程组解的判定定理

1. 对于非齐次线性方程组 AX = b,其解的情况为：

???有唯一解?秩(A)?n??有解?秩(A)?秩(A) ?

?AX?b ??有无穷多解?秩(A)?n

???无解?秩(A)?秩(A)

2.对于齐次线性方程组 AX = 0 , 一定有解，且有：

?1?

解： A?1

???2

233

36a

例2. 讨论线性方程组

??只有 0 解(唯一解)?秩(A)?n

AX?0 ?

??有非 0 解(无穷多解)?秩(A)?n

?x1?2x2?3x3?1

??

?x1?3x2?6x3?2 解的情况。???2x1?3x2?ax3?b

1??1?

2??0??b????0

21?1

33a?6

?

?1

?b?2??

1

?1

??0

???0

210

33a?3

1?

?1?b?1??

因此，当 a?3 且 b?1 时，有无穷多解；

当 a?3 时，有唯一解；当 a?3 且 b?1 时，无解。